新教材2023版高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.2三角恒等變換8.2.2兩角和與差的正弦正切第1課時兩角和與差的正弦學(xué)案新人教B版必修第三冊

8．2.2兩角和與差的正弦、正切第1課時兩角和與差的正弦【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．2．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點知識點一兩角和與差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝______________________．(2)Sα－β：sin(α－β)＝______________________．知識點二輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝____________sin(x＋θ)(a，b不同時為0)，其中cosθ＝____________，sinθ＝____________.狀元隨筆根據(jù)公式C(α±β)的識記規(guī)律，你能總結(jié)出公式S(α±β)的記憶規(guī)律嗎？[提示]對比公式C(α±β)的識記規(guī)律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的記憶規(guī)律：“正余余正，和差相同”．基礎(chǔ)自測1．cos17°sin13°＋sin17°cos13°的值為()A．12 B．C．32 D2．若cosα＝－45，α是第三象限的角，則sin(α＋π4)＝(A．－7210 B．7210 C．－2103．函數(shù)y＝sinx－cosx的最小正周期是()A．π2 B．π C．2π D．4．已知α為銳角，sinα＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45，則sin(α＋β)＝課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1利用公式化簡求值例1(1)sin47°-sinA．－32 B．－C．12 D．(2)求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．狀元隨筆(1)化簡求值應(yīng)注意公式的逆用．(2)(3)對于非特殊角的三角函數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值．方法歸納(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式，要想利用兩角和與差的正弦、余弦公式求出具體數(shù)值，一般有以下三種途徑：①化為特殊角的三角函數(shù)值；②化為正負(fù)相消的項，消去，求值；③化為分子、分母形式，進(jìn)行約分再求值．(2)在進(jìn)行求值過程的變換中，一定要本著先整體后局部的基本原則，先整體分析三角函數(shù)式的特點，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變換．跟蹤訓(xùn)練1化簡下列各式：(1)sin(x＋π3)＋2sin(x－π3)－3cos(2π3(2)sin2α+βsinα－題型2給值(式)求值例2(1)設(shè)α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cosα＝－12，sinβ＝－32，求sin(應(yīng)用公式?注意角的范圍?求出所給角的正弦值．(2)已知sinα＝437，cos(α＋β)＝－1114且α①求sin(2α＋β)；②求β.跟蹤訓(xùn)練2已知0<β<α<π2，點P(1，43)為角α的終邊上一點，且sinαsin(π2－β)＋cosαcos(π2＋β)＝3314，則角A．π12 B．C．π4 D．方法歸納(1)當(dāng)“已知角”有兩個或多個時，“所求角”一般可以表示為其中兩個“已知角”的和或差的形式．(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根據(jù)題目合理選擇拆分方式．提醒：解題時要重視角的范圍對三角函數(shù)值的制約，從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出三角函數(shù)值．題型3輔助角公式的應(yīng)用【思考探究】(1)函數(shù)y＝sinx＋cosx(x∈R)的最大值為2對嗎？為什么？[提示]不對．因為sinx＋cosx＝2(22sinx＋2＝2(sinx·cosπ4＋cosx·sinπ＝2sin(x＋π4)所以函數(shù)的最大值為2.(2)函數(shù)y＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？[提示]因為y＝3sinx＋4cosx＝5(35sinx＋45cosx令cosφ＝35，sinφ＝4則y＝5(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝5sin(x＋φ)，所以函數(shù)y的最大值為5.(3)如何推導(dǎo)asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋φ)(tanφ[提示]asinx＋bcosx＝a2+b2(aa2+令cosφ＝aa2+b2，sinasinx＋bcosx＝a2+b2(sinxcosφ＋cos＝a2+b2sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符號確定，φ角的值由tanφ＝ba確定，或由sinφ＝ba2+b例3(1)函數(shù)f(x)＝sin2x＋3cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．[kπ－5π12，kπ＋π12](kB．[2kπ－π3，2kπ＋π6](k∈C．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈D．[2kπ－5π12，2kπ＋π12](k(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx＋sin(x＋π3)①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；②不畫圖，說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．狀元隨筆輔助角公式?轉(zhuǎn)化成“一角一函數(shù)”的形式?將所給函數(shù)展開與合并．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知a＝(3，－1)，b＝(sinx，cosx)，x∈R，f(x)＝a·b，求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間；狀元隨筆解答此類問題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)建公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β的右側(cè)，逆用公式化成一個角的一種三角函數(shù)值．(2)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移π4個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則函數(shù)y＝g(x)圖象的一個對稱中心是(A．(3π8，0)B．(πC．(5π8，0)D．(3方法歸納(1)把所給函數(shù)展開，合并化簡，然后利用輔助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．(2)函數(shù)圖象可通過y＝sinx→y＝sin(x＋π6)→y＝3sin(x＋π6教材反思(1)兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特點①公式中的α，β均為任意角．②兩角和與差的正弦公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式可以看成是兩角和與差的正弦公式的特例．③兩角和與差的正弦公式結(jié)構(gòu)是“正余余正，加減相同”，兩角和與差的余弦公式結(jié)構(gòu)是“余余正正，加減相反”．(2)兩角和與差的正弦、余弦公式的內(nèi)在聯(lián)系(3)使用和差公式時不僅要會正用，還要能夠逆用公式．8．2.2兩角和與差的正弦、正切第1課時兩角和與差的正弦新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點]知識點一(1)sinαcosβ＋cosαsinβ(2)sinαcosβ－cosαsinβ知識點二a2+b2[基礎(chǔ)自測]1．解析：原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12答案：A2．解析：∵cosα＝－45，α為第三象限角，∴sinα＝－35，由兩角和的正弦公式得sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosα·sinπ4＝(－35)×22＋(－答案：A3．解析：y＝sinx－cosx＝2(22sinx－22cosx)＝2sin(x－π4)，答案：C4．解析：∵α為銳角，且sinα＝35，∴cosα＝4又β為第四象限角，且cos(π＋β)＝－cosβ＝－45∴cosβ＝45，sinβ＝－3∴sin(α＋β)＝35×45+45答案：0課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)sin＝sin＝sin＝cos17°sin30°(2)原式＝sin(180°－23°)cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)·cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ【答案】(1)C(2)見解析(3)見解析跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3-3cos2π3＝12sinx＋32cosx＋sinx－3cosx＋32cosx－＝(12＋1－32)sinx＋(32-(2)原式＝sin＝sin＝sin＝sinβ例2【解析】(1)因為α∈(π2，π)，cosα＝－1所以sinα＝32因為β∈(3π2，2π)，sinβ＝－所以cosβ＝12所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝32×12＋(－12)×(－(2)①因為α，β∈(0，π2)，sinα＝4所以cosα＝1-sin2又因為α，β均為銳角，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1-cos2所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝437×(－1114)＋1②sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314·17+1114·又因為β∈(0，π2)，所以β＝π跟蹤訓(xùn)練2解析：因為|OP|＝7，所以sinα＝437，cosα＝由已知sinαsin(π2－β)＋cosαcos(π2＋β)＝根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得sinαcosβ－cosαsinβ＝33所以sin(α－β)＝33因為0<β<α<π2，所以0<α－β<π所以cos(α－β)＝1-sin2所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝437×因為0<β<π2，所以角β＝π答案：D例3【解析】(1)f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，(k∈即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈(2)①f(x)＝sinx＋sinxcosπ3＋cosxsinπ3＝sinx＋12sinx＋32cosx＝32sin＝3(sinxcosπ6＋cosxsinπ6)＝3sin(x＋π當(dāng)sin(x＋π6)＝－1時，f(x)min＝－3此時x＋π6＝3π2＋2kπ(k∈Z)，所以x＝4π3＋2kπ(所以f(x)的最小值為－3，x的集合為{x|x＝4π3＋2kπ，k∈Z②將y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得y＝3sinx的圖象；然后將y＝3sinx的圖象上所有的點向左平移π6個單位長度，得f(x)＝3sin(x＋π6【答案】(1)A(2)見解析跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)f(x)＝3sinx－cosx＝2(sinx·32－cosx·1＝2(sinxcos