用傅里葉變換解偏微分方程

用傅里葉變換解偏微分方程一、傅里葉變換二、偏微分方程三、方程的求解本文檔共38頁；當(dāng)前第1頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分一、傅里葉變換1.傅里葉級數(shù)2.積分變換3.傅里葉變換4.離散傅里葉變換5.快速傅里葉變換（FFT）本文檔共38頁；當(dāng)前第2頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)形式an和bn稱為f(x)的傅里葉系數(shù)本文檔共38頁；當(dāng)前第3頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉級數(shù)一般意義下：假設(shè)f(x)是定義在(-∞,+∞)內(nèi)的實函數(shù)，它在任一有限區(qū)間[?l,+l]內(nèi)是分段光滑的,則f(x)可以展開為傅里葉級數(shù)：

本文檔共38頁；當(dāng)前第4頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分積分變換對于一般的積分變換，我們有如下定義：令I(lǐng)為一實數(shù)集，K(s,w)是定義在I×[a,b]上的函數(shù)，如果函數(shù)f(w)滿足：

(1)在[a,b]上有定義；(2)對每個s∈I,K(s,w)f(w)作為w∈[a,b]的函數(shù)是可積的。則帶有參變量的積分就定義了一個“從f(w)到F(s)”的變換。這種通過積分運(yùn)算把一個函數(shù)變?yōu)榱硪粋€函數(shù)的方法稱為積分變換。

本文檔共38頁；當(dāng)前第5頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分積分變換每給定一個函數(shù)K(s,w)就確定了一個積分變換，因此積分變換是由函數(shù)K(s,w)生成的。通常稱K(s,w)為（積分變換的）核函數(shù)，稱參與變換的f(w)為初始函數(shù)或者原象函數(shù)，把變換成的F(s)稱為變換函數(shù)或者象函數(shù)。積分變換是作用是把初始函數(shù)變成另一類比較容易求解的象函數(shù)，因此用積分變換求解偏微分方程的方法與我們

采用對數(shù)來計算數(shù)的乘、除、乘方和開方的技巧是完全類似的。本文檔共38頁；當(dāng)前第6頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉變換傅里葉變換傅里葉逆變換由傅里葉級數(shù)推導(dǎo)出傅里葉積分，再推導(dǎo)出傅里葉變換，過程如下本文檔共38頁；當(dāng)前第7頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉變換將上兩式代入前式，并利用三角恒等式：可以得到本文檔共38頁；當(dāng)前第8頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉變換現(xiàn)在假定f(x)在(?∞,+∞)內(nèi)絕對可積，那么當(dāng)l→+∞時，就有：上述積分的極限為：令以及當(dāng)時，我們把上述積分表達(dá)式稱之為傅里葉積分。

本文檔共38頁；當(dāng)前第9頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉變換傅里葉積分的兩種形式：一種是另一種是本文檔共38頁；當(dāng)前第10頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉變換引進(jìn)新函數(shù)：便可以得出：本文檔共38頁；當(dāng)前第11頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉變換(1)線性性質(zhì)。假定a、b為任意兩個實數(shù),函數(shù)f1(x)、f2(x)滿足傅里葉變換條件，則有：

(2)卷積性質(zhì)。假定函數(shù)f1(x)、f2(x)滿足傅里葉變換條件，則稱函數(shù)稱為f1(x)和f2(x)卷積如果f1(x)、f2(x)和f1*f2均滿足傅里葉變換條件，那么就有：本文檔共38頁；當(dāng)前第12頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分傅里葉變換(3)微商性質(zhì)。如果和均滿足傅里葉變換條件，而且當(dāng)|x|→+∞時f(x)→0，那么：進(jìn)一步，如果滿足傅里葉變換條件，就有：

本文檔共38頁；當(dāng)前第13頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分二、偏微分方程1.什么是偏微分方程2.定解條件與定解問題3.二階線性偏微分本文檔共38頁；當(dāng)前第14頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分偏微分方程的概念偏微分方程是指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)的等式。偏微分方程的一般形式：本文檔共38頁；當(dāng)前第15頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分偏微分方程的分類如果一個偏微分方程對未知函數(shù)及它的所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，且它們的系數(shù)都是僅依賴于自變量的已知函數(shù)，則這樣的偏微分方程稱為線性偏微分方程。對于一個非線性偏微分方程，如果它關(guān)于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱它是擬線性偏微分方程。本文檔共38頁；當(dāng)前第16頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分偏微分方程的例子本文檔共38頁；當(dāng)前第17頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分定解條件常見的定解條件，可分為初始條件與邊界條件。本文檔共38頁；當(dāng)前第18頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分定解條件本文檔共38頁；當(dāng)前第19頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分定解條件本文檔共38頁；當(dāng)前第20頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分定解條件本文檔共38頁；當(dāng)前第21頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分定解問題一個偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對于具體問題的完整描述，稱為定解問題。本文檔共38頁；當(dāng)前第22頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分二階線性偏微分表達(dá)式為：其中A,B,C為參數(shù)并且取決于x,y。如果在xy平面上有，該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程?？勺冃螢椋涸摱A偏微分方程可分類為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程，起分類方式為：

:橢圓方程；

:拋物線方程；:雙曲線方程。本文檔共38頁；當(dāng)前第23頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分三、傅里葉變換解偏微分1.熱傳導(dǎo)問題2.波動問題3.基本步驟本文檔共38頁；當(dāng)前第24頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分熱傳導(dǎo)問題一維的齊次熱傳導(dǎo)方程柯西問題本文檔共38頁；當(dāng)前第25頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分熱傳導(dǎo)問題（一）將t視為參數(shù)，對（1）（2）兩式兩端進(jìn)行對于x的傅里葉變換：記,則有

本文檔共38頁；當(dāng)前第26頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分熱傳導(dǎo)問題·······················（微分性質(zhì)）本文檔共38頁；當(dāng)前第27頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分熱傳導(dǎo)問題（二）解（3）（4）式合并后帶有參數(shù)w的的常微分方程的初值問題，得

本文檔共38頁；當(dāng)前第28頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分熱傳導(dǎo)問題（三）利用對w的傅里葉逆變換，來求原函數(shù)（5）式的左端：

右端：本文檔共38頁；當(dāng)前第29頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分熱傳導(dǎo)問題考慮（5）的右端：由于故只考慮，而

本文檔共38頁；當(dāng)前第30頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分熱傳導(dǎo)問題················卷積性質(zhì)所以解為本文檔共38頁；當(dāng)前第31頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分波動問題由于時間問題，此問題是從網(wǎng)上照抄下來的，沒有自己打。本文檔共38頁；當(dāng)前第32頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分本文檔共38頁；當(dāng)前第33頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分本文檔共38頁；當(dāng)前第34頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分本文檔共38頁；當(dāng)前第35頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分本文檔共38頁；當(dāng)前第36頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分本文檔共38頁；當(dāng)前第37頁；編輯于星期一\17點(diǎn)49分基本步驟一般化用傅里葉變換求解偏微分方程的4個基本步驟：（1）選用偏微