電磁場之恒定磁場

SteadyMagneticField下頁4.電感、能量與力的計算

重點：2.恒定磁場的基本方程和分界面銜接條件1.磁感應強度、磁通、磁化、磁場強度的概念3.磁位及其邊值問題第三章恒定磁場本文檔共98頁；當前第1頁；編輯于星期三\6點17分

Introduction引言

客觀意義下頁上頁1.研究磁場的意義

磁現(xiàn)象是客觀存在，是我們了解和認識自然不可缺少的一部分。

理論意義導體中有電流，在導體內部和它周圍的媒質中就不僅有電場還有磁場，磁的本質是動電現(xiàn)象，僅研究電場是不全面的。

工程意義許多工程問題與電流的磁效應有關，需要知道磁場分布、磁力、電感的大小。本文檔共98頁；當前第2頁；編輯于星期三\6點17分當導體中通有恒定電流時，在空間產生不隨時間變化的磁場，稱為恒定磁場。分析恒定電流產生的恒定磁場與分析靜止電荷產生的靜電場在思路和方法上有許多共同之處，可以采用類比的方法。但由于磁是動電現(xiàn)象，因此與靜電場又有本質的不同，有其本身的特點，在學習中必須掌握這些特點。下頁上頁

恒定磁場研究恒定磁場的方法本文檔共98頁；當前第3頁；編輯于星期三\6點17分1.安培力定律

(Ampere’sForceLaw)

安培經過大量的實驗確定了磁場對一個恒定電流元作用力的大小及方向：3.1磁感應強度MagneticFluxDensity下頁上頁磁感應強度或磁通密度FBIdl定義T（Wb/m2）安培力1T=104（GS）本文檔共98頁；當前第4頁；編輯于星期三\6點17分洛侖茲力電流是電荷以某一速度運動形成的，所以磁場對電流的作用可以看作是對運動電荷的作用。下頁上頁dFBv洛侖茲力洛倫茲力與庫侖力比較洛侖茲力只作用于運動電荷，而庫侖力作用于運動和靜止電荷。洛侖茲力垂直于磁感應強度，而庫侖力平行于電場強度洛侖茲力垂直于電荷運動方向，只改變電荷運動方向，對電荷不做功，而庫侖力改變電荷運動速度做功。本文檔共98頁；當前第5頁；編輯于星期三\6點17分安培力定律描述兩個電流回路之間相互作用力的規(guī)律。下頁上頁本文檔共98頁；當前第6頁；編輯于星期三\6點17分下頁上頁注意安培定律說明兩載流元之間的作用力與兩電流的乘積成正比，與它們之間的距離成反比，方向為：電流回路之間的作用力滿足牛頓第三定律：F12=F21式中0為真空中的磁導率，它與真空電容率和真空中光速滿足關系：本文檔共98頁；當前第7頁；編輯于星期三\6點17分得任一電流I在空間任意點產生的磁感應強度2.畢奧—沙伐定律?磁感應強度下頁上頁從場的觀點出發(fā)，認為電流之間的相互作用力是通過磁場傳遞的。畢奧—沙伐定律注意畢奧—沙伐定律只適用于恒定磁場中無限大均勻媒質。本文檔共98頁；當前第8頁；編輯于星期三\6點17分體電流面電流下頁上頁畢奧—沙伐定律是重要的實驗定律，它的重要性在于定量的描述了電流和它產生的磁場之間的關系，進而可以導出磁場的基本性質。對于體分布和面分布電流，畢奧—沙伐定律表述為：另幾種元電流段Idl，JdV，KdS本文檔共98頁；當前第9頁；編輯于星期三\6點17分當時，

采用圓柱坐標系，取電流

Idz，下頁上頁解試求長直載流導線產生的磁感應強度。例本文檔共98頁；當前第10頁；編輯于星期三\6點17分根據對稱性,By=0取寬度

dx

的一條無限長線電流

無限大導體平面通有面電流,試求磁感應強度B分布。下頁上頁解例本文檔共98頁；當前第11頁；編輯于星期三\6點17分3.2磁通連續(xù)性原理?安培環(huán)路定律若S面為閉合曲面1.磁通連續(xù)性原理

(MagneticFluxContinueTheorem)MagneticFluxContinueTheorem&Ampere’sCircuitalLaw下頁上頁定義穿過磁場中給定曲面S

的磁感應強度B的通量為磁通：Wb(韋伯)磁通連續(xù)性原理本文檔共98頁；當前第12頁；編輯于星期三\6點17分下頁上頁注意磁通連續(xù)性原理也稱磁場的高斯定理，表明磁力線是無頭無尾的閉合曲線，這一性質建立在自然界不存在磁荷的基礎上，原理適用于恒定磁場也適用于時變場。由散度定理表明恒定磁場是無源場可作為判斷一個矢量場是否為恒定磁場的必要條件。磁通連續(xù)性原理可以從畢奧—沙伐定律中導出本文檔共98頁；當前第13頁；編輯于星期三\6點17分2.磁力線下頁上頁磁場分布可以用表示磁感應強度的磁力線來形象的描述。規(guī)定：磁力線是一些有方向的曲線，曲線上任一點的切線方向與該點磁感應強度B的方向。磁力線的疏密程度與磁感應強度的大小成正比。磁力線的性質：B線是閉合曲線；B線與電流方向成右螺旋關系；B線不能相交磁場強處，磁力線密集，否則稀疏。本文檔共98頁；當前第14頁；編輯于星期三\6點17分直角坐標系B線方程下頁上頁B

線微分方程導線位于鐵板上方長直螺線管的磁場本文檔共98頁；當前第15頁；編輯于星期三\6點17分一對反向電流傳輸線一對同向電流傳輸線兩對反相電流傳輸線兩對同向電流傳輸線下頁上頁本文檔共98頁；當前第16頁；編輯于星期三\6點17分下頁上頁3.真空中的安培環(huán)路定律以無限長直載流導線的磁場為例IBdldIBdld若積分回路沒有和電流交鏈本文檔共98頁；當前第17頁；編輯于星期三\6點17分下頁上頁由于積分路徑是任意的，所以有一般規(guī)律交鏈多個電流真空中的安培環(huán)路定律注意定律中電流I的正負取決于電流的方向與積分回路的繞行方向是否符合右螺旋關系，符合時為正，否則為負。表明在真空的磁場中，沿任意回路磁感應強度B的線積分等于真空磁導率乘以穿過回路限定面積上電流的代數和。定律中的B是整個場域中所有電流的貢獻。本文檔共98頁；當前第18頁；編輯于星期三\6點17分下頁上頁由斯托克斯定理恒定磁場是有旋場上式兩邊取旋度表明安培環(huán)路定律反映了電流連續(xù)性原理。本文檔共98頁；當前第19頁；編輯于星期三\6點17分圖設真空中無限長直導線,電流為I,沿z軸放置,如圖所示。求:（1）空間各處的磁感應強度（2）畫出其磁力線，并標出其方向。例本文檔共98頁；當前第20頁；編輯于星期三\6點17分解：由電流的柱對稱性可知，柱內離軸心r任一點處的磁場強度大小處處相等，方向為沿柱面切向由安培環(huán)路定律：空間各處的磁感應強度為：

本文檔共98頁；當前第21頁；編輯于星期三\6點17分

(2)磁力線如圖所示

本文檔共98頁；當前第22頁；編輯于星期三\6點17分根據對稱性試求無限大截流導板產生的磁感應強度

B。定性分析場分布，取安培環(huán)路與電流呈右手螺旋下頁上頁解例本文檔共98頁；當前第23頁；編輯于星期三\6點17分

平行平面磁場,試求載流無限長同軸電纜產生的磁感應強度。故安培定律示意圖安培環(huán)路定律下頁上頁解例本文檔共98頁；當前第24頁；編輯于星期三\6點17分得到得到下頁上頁同軸電纜的磁場分布本文檔共98頁；當前第25頁；編輯于星期三\6點17分4.媒質的磁化（magnetization）下頁上頁幾乎所有的氣體、液體和固體，不論其內部結構如何，放入磁場中都會對磁場產生影響，表明所有的物質都有磁性，但大部分媒質的磁性較弱，只有鐵磁物體才有較強的磁性。引入磁場中感受輕微推斥力的物質。所有的有機化合物和大部分無機化合物是抗磁體。抗磁體引入磁場中感受輕微吸引力拉向強磁場的物質。鋁和銅等金屬是順磁體。順磁體鐵磁體引入磁場中感受到強吸引力的物質（所受磁力是順磁物質的5000倍）。鐵和磁鐵礦等是鐵磁體。注意抗磁體和順磁體在磁場中所受的力很弱，統(tǒng)稱為非磁性物質，其磁導率近似為0。本文檔共98頁；當前第26頁；編輯于星期三\6點17分1）磁偶極子

(magneticdipole)Am2

磁偶極矩(magneticdipolemoment

)下頁上頁可以用原子模型來解釋物質的磁性面積為dS的很小的載流回路，場中任意點到回路中心的距離都遠大于回路的線性尺度。2）媒質的磁化軌道磁矩電子自旋磁矩原子的凈磁矩為所有電子的軌道磁矩和自旋磁矩所組成。本文檔共98頁；當前第27頁；編輯于星期三\6點17分無外磁場作用時，媒質對外不顯磁性，在外磁場作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉，下頁上頁媒質中原子的凈磁矩對外的效應相當于一個磁偶極子。本文檔共98頁；當前第28頁；編輯于星期三\6點17分轉矩為Ti=mi×B

，旋轉方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致或相反，對外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。磁化強度（magnetizationIntensity）（A/m）圖磁偶極子受磁場力而轉動下頁上頁單位體積內的凈偶極距本文檔共98頁；當前第29頁；編輯于星期三\6點17分3）磁化電流媒質磁化的結果是在表面形成磁化電流。下頁上頁本文檔共98頁；當前第30頁；編輯于星期三\6點17分體磁化電流可以證明面磁化電流

有磁介質存在時，場中的B

是傳導電流和磁化電流共同作用在真空中產生的磁場。磁化電流是一種等效電流，是大量分子電流磁效應的表示。下頁上頁斯托克斯定理注意本文檔共98頁；當前第31頁；編輯于星期三\6點17分4）磁偶極子與電偶極子對比下頁上頁模型電量電場與磁場電偶極子磁偶極子注意電偶極子總是削弱外電場，磁偶極子則不然。本文檔共98頁；當前第32頁；編輯于星期三\6點17分5.一般形式的安培環(huán)路定律移項后定義：磁場強度

A/m則有下頁上頁安培環(huán)路定律若考慮磁化電流的作用本文檔共98頁；當前第33頁；編輯于星期三\6點17分下頁上頁對于線性均勻各向同性的磁介質磁化率相對磁導率

B與

H的關系H的旋度Stokes’表明恒定磁場是有旋場，電流是恒定磁場的漩渦源。本文檔共98頁；當前第34頁；編輯于星期三\6點17分=下頁上頁本文檔共98頁；當前第35頁；編輯于星期三\6點17分平行平面磁場，且軸對稱，故

有一磁導率為

μ

，半徑為

a

的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流

I，圓柱外是空氣

μ0

，試求

B，H

與

M

的分布，并求磁化電流。下頁上頁解例本文檔共98頁；當前第36頁；編輯于星期三\6點17分

導磁圓柱

=0及

=a

處有面磁化電流下頁上頁方向本文檔共98頁；當前第37頁；編輯于星期三\6點17分例：導磁率為無限長磁介質圓管中通有電流I，求：空間各處0Iab解：①0＜r＜a：②

a＜r＜b：a＜r＜ba≤r≤b邊界條件法向：切向：本文檔共98頁；當前第38頁；編輯于星期三\6點17分③

r＞b：0Iab(r≥b)(r>b)④鐵中的磁化強度：本文檔共98頁；當前第39頁；編輯于星期三\6點17分總磁化電流：本文檔共98頁；當前第40頁；編輯于星期三\6點17分1.恒定磁場的基本方程：§3－3

恒定磁場基本方程構成方程恒定磁場的性質是有旋無源,電流是激發(fā)磁場的渦旋源。（磁通連續(xù)原理）（安培環(huán)路定律）本文檔共98頁；當前第41頁；編輯于星期三\6點17分F2不能表示恒定磁場。F1可以表示恒定磁場。試判斷下列矢量能否表示為一個恒定磁場？下頁上頁解例本文檔共98頁；當前第42頁；編輯于星期三\6點17分2分界面上的邊界條件在如圖分界面上的P點周圍作積分回路，并令。討論:

場量在通過分界面時

的躍變規(guī)律切向條件法向條件本文檔共98頁；當前第43頁；編輯于星期三\6點17分根據分界面上有面電流分界面上無面電流分界面上H的銜接條件本文檔共98頁；當前第44頁；編輯于星期三\6點17分如圖作封閉積分曲面，并令

根據B磁感應強度法向分量連續(xù),

H

的法向分量在分界面不連續(xù).分界面上B

的銜接條件本文檔共98頁；當前第45頁；編輯于星期三\6點17分分析鐵磁媒質與空氣分界面情況。3.折射定律設媒質均勻、各向同性，分界面

K=0折射定律

表明只要，空氣側的B

與分界面近似垂直。下頁上頁解例本文檔共98頁；當前第46頁；編輯于星期三\6點17分

一般非鐵磁質材料的磁導率2近似為真空磁導率0，而鐵磁質材料（鐵，鎳，鈷及合金等）的磁導率1比0大得多。如果磁感應強度從鐵磁質進入非鐵磁質，只要190，20。即非鐵磁質中的磁感應強度垂直于分界面.如設1＝88，1＝30000，20。本文檔共98頁；當前第47頁；編輯于星期三\6點17分即A/mT已知兩種媒質分界面

試求

B1，B2與H2

的分布。（x=0平面是分界面）面電流A/mA/m，下頁上頁解例本文檔共98頁；當前第48頁；編輯于星期三\6點17分矢量磁位唯一不唯一§3－4

磁矢位靜電場:無旋性恒定磁場的無散性本文檔共98頁；當前第49頁；編輯于星期三\6點17分注意A是從矢量恒等式得出，是引入的輔助計算量，無明確的物理意義；A適用于整個磁場區(qū)域；因Stokes’A的單位Wb/m（韋伯/米）確定一個矢量必須同時知道其散度與旋度恒定磁場中A滿足庫侖規(guī)范本文檔共98頁；當前第50頁；編輯于星期三\6點17分2.磁矢位

A

的求解應用磁矢位A求解恒定磁場問題也可以分為場源問題和邊值問題。1）磁矢位A的場源問題本文檔共98頁；當前第51頁；編輯于星期三\6點17分矢量運算下頁上頁對場點坐標求導本文檔共98頁；當前第52頁；編輯于星期三\6點17分面電流與線電流引起的磁矢位為下頁上頁注意上式應用的條件為媒質均勻且各向同性；從上式可以證明從上式可以看出磁矢位的方向與電流方向一致。本文檔共98頁；當前第53頁；編輯于星期三\6點17分無源區(qū)域：矢量位的泊松方程矢量位的拉普拉斯方程2）磁矢位A的邊值問題本文檔共98頁；當前第54頁；編輯于星期三\6點17分直角坐標系下：對比的解為：∴本文檔共98頁；當前第55頁；編輯于星期三\6點17分體電流：面電流：線電流：磁矢位的方向與電流方向一致。本文檔共98頁；當前第56頁；編輯于星期三\6點17分在如圖分界面上的P點周圍作積分回路，并令。A1A2磁矢位切線分量連續(xù)3.4.2磁矢位的邊值問題本文檔共98頁；當前第57頁；編輯于星期三\6點17分A1A2磁矢位法向分量連續(xù)。則本文檔共98頁；當前第58頁；編輯于星期三\6點17分例：空氣中一根通有電流I直導線平行于鐵平面，與表面相距h，求空氣中的磁場。線電流對理想鐵磁物質的鏡向問題Ih邊界條件分析：鐵磁物質表面磁場只有法向分量本文檔共98頁；當前第59頁；編輯于星期三\6點17分12無限長線電流：12場分布與z無關：本文檔共98頁；當前第60頁；編輯于星期三\6點17分所討論區(qū)域沒有自由電流：保守場m求解方法完全同靜電場§3－5標量磁位本文檔共98頁；當前第61頁；編輯于星期三\6點17分用標量磁位表示邊界條件：適合：已知邊界條件無源區(qū)域磁場的求解主要用來處理磁化物質尤其是永久磁鐵

產生的磁場本文檔共98頁；當前第62頁；編輯于星期三\6點17分(有源或無源）位函數比較內容引入位函數依據位與場的關系微分方程位與源的關系電位磁位磁矢位A(有源或無源）(無源）3.磁位、磁矢位與電位的比較下頁上頁本文檔共98頁；當前第63頁；編輯于星期三\6點17分例：一根通有電流I的無限長直導線在周圍空間產生的m①：參考點?、冢簠⒖键c取本文檔共98頁；當前第64頁；編輯于星期三\6點17分ImageMethod下頁上頁磁場中也可以應用鏡像法鏡像法的理論依據是：鏡像法的目的是：唯一性定理；將未知的復雜分布的磁化電流用虛設的簡單分布的鏡像電流替代，使計算場域為無限大均勻媒質；鏡像法的關鍵是：確定鏡像電流的個數，大小、位置及方向以保證原場的邊值問題不變；鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。應用鏡像法解題時注意：3.6磁場中的鏡像法

本文檔共98頁；當前第65頁；編輯于星期三\6點17分rrr本文檔共98頁；當前第66頁；編輯于星期三\6點17分根據分界面上的邊界條件H1t=H2t和B1n=B2n，可得:三電流參考方向規(guī)定一致?？倿檎?方向要看的正負而定.本文檔共98頁；當前第67頁；編輯于星期三\6點17分思考題：與靜電場的鏡像法進行對照。本文檔共98頁；當前第68頁；編輯于星期三\6點17分磁場分布的特點：鏡像電流空氣中的磁場為無鐵磁物質情況下的二倍。鐵磁表面不是等磁位面。下頁上頁若空氣與鐵磁物質交界，載流導體

I

置于鐵磁物質中，此時磁場分布有什么特點呢？討論本文檔共98頁；當前第69頁；編輯于星期三\6點17分磁鏈：電流線圈各匝交鏈的磁通的總和稱為磁鏈(亦稱自感磁鏈)。線圈的總磁鏈為相應線匝磁鏈的總和，即§3－7電感

3.7.1自感線性媒質中，線圈的自感磁鏈

與其激磁電流I成正比，定義:線圈的自感系數(簡稱自感)L亨利（H）本文檔共98頁；當前第70頁；編輯于星期三\6點17分內磁鏈：導線內部,僅與部分電流相交鏈的磁通稱內磁通,相應的磁鏈稱內磁鏈。亨利（H）內自感外磁鏈：完全在導線外部閉合的磁通稱外磁通,相應的磁鏈稱外磁鏈。外自感亨利（H）內自感載流導線內的磁通載流導線外的磁通本文檔共98頁；當前第71頁；編輯于星期三\6點17分自感系數L只與載流回路的形狀、尺寸以及空間媒質的磁性質有關。本文檔共98頁；當前第72頁；編輯于星期三\6點17分3.電感的計算下頁上頁電感的計算是場的計算，一般步驟為設A1、外自感

試求圖示長為l

的同軸電纜的自感

L。例解同軸電纜截面本文檔共98頁；當前第73頁；編輯于星期三\6點17分2、內導體的內自感

磁通匝數內自感因此，下頁上頁1I’本文檔共98頁；當前第74頁；編輯于星期三\6點17分3、外導體內自感匝數下頁上頁總自感本文檔共98頁；當前第75頁；編輯于星期三\6點17分【例2】兩線傳輸線的自感。解：x處的磁場強度

其外磁鏈

本文檔共98頁；當前第76頁；編輯于星期三\6點17分外自感為

通常，因有D>>R，可進一步簡化為：

考慮內自感，則兩線傳輸線的自感為：

本文檔共98頁；當前第77頁；編輯于星期三\6點17分3.7.2互感

互感磁鏈：在線性媒質中，互感磁鏈kh

與電流Ih

的比值定義為線圈h對線圈k的靜態(tài)互感系數(簡稱互感)Mkh，即

亨利（H）線圈k對線圈h的互感可表示為

互感是一個回路電流與其在另一個回路所產生的磁鏈之比值，它與兩個回路的幾何尺寸，相對位置及周圍媒質有關。注意自感始終為正，互感可正可負?；ジ芯哂谢ヒ仔?。本文檔共98頁；當前第78頁；編輯于星期三\6點17分設傳輸線

AB

帶電，求穿過

CD回路的磁鏈導線

B

作用合成后導線A作用試求圖示兩對傳輸線的互感。兩對傳輸線的互感下頁上頁例解本文檔共98頁；當前第79頁；編輯于星期三\6點17分用類比法求電感在一定的條件下，電場和恒定磁場的場量滿足相似的方程，所以兩個場的參數可以通過類比的方法加以聯(lián)系。可以證明在均勻媒質的平行平面場中，載流導體每單位長度的外電感與相應的電場中每單位長度的電容滿足關系：下頁上頁本文檔共98頁；當前第80頁；編輯于星期三\6點17分3.7.3.聶以曼公式dldlllrI外磁鏈

：外自感為

：本文檔共98頁；當前第81頁；編輯于星期三\6點17分兩個線型回路間的互感：dl1l1dl2l2I2rP電流I2在P處產生的矢量磁位為

與回路1相交鏈的互感磁鏈為

于是

同理可得可見

本文檔共98頁；當前第82頁；編輯于星期三\6點17分C1(I1)C2(I2)單回路:互感M:小結:電感本文檔共98頁；當前第83頁；編輯于星期三\6點17分諾伊曼公式C1C2C1:認為電流集中于軸線回路計算磁通回路C2:取導線邊沿回路自感L:本文檔共98頁；當前第84頁；編輯于星期三\6點17分多線圈回路互感:互感與兩線圈匝數乘積成正比自感:自感與線圈匝數平方成正比▼：電感的大小取決于兩回路形狀、尺寸、匝數、

介質的磁導率、兩回路的相對位置。

與回路電