離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金

重點和難點

本章的重點是信號DFT的數(shù)學概念和物理概念，以及DFT在信號分析和系統(tǒng)分析中的重要作用本章的難點是利用DFT分析連續(xù)信號頻譜過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象DFT本文檔共67頁；當前第1頁；編輯于星期二\17點57分問題的提出信號的頻域分析在信息技術領域廣泛應用為什么進行信號頻譜的數(shù)值化分析?1.許多實際信號不存在數(shù)學解析式2.利用計算機數(shù)值計算,簡單快捷DFT本文檔共67頁；當前第2頁；編輯于星期二\17點57分

有限長序列的傅里葉分析四種信號傅里葉表示有限長序列離散傅里葉變換DFT矩陣表示利用MATLAB計算DFTDFT本文檔共67頁；當前第3頁；編輯于星期二\17點57分四種信號傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點：離散非周期譜DFT本文檔共67頁；當前第4頁；編輯于星期二\17點57分四種信號傅里葉表示2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點：連續(xù)非周期譜DFT本文檔共67頁；當前第5頁；編輯于星期二\17點57分四種信號傅里葉表示3.離散非周期信號頻譜特點：周期為2的連續(xù)譜DFT本文檔共67頁；當前第6頁；編輯于星期二\17點57分四種信號傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號頻譜特點：周期為N的離散譜DFT本文檔共67頁；當前第7頁；編輯于星期二\17點57分有限長序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號表示DFT本文檔共67頁；當前第8頁；編輯于星期二\17點57分有限長序列DFT與DTFT關系

有限長序列x[k]離散傅里葉變換X[m]是其離散時間傅里葉變換X(ejW)在一個周期[0,2p)的等間隔抽樣DFT本文檔共67頁；當前第9頁；編輯于星期二\17點57分DFT與DFS關系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構成的變換對DFT本文檔共67頁；當前第10頁；編輯于星期二\17點57分例3:求有限長4點序列的DFT。例題：例4有限長4點序列DFT矩陣表示。DFT本文檔共67頁；當前第11頁；編輯于星期二\17點57分DFT本文檔共67頁；當前第12頁；編輯于星期二\17點57分例4:求有限長4點序列的DFT。如果序列后補零，其DFT有何變化?解:DFT本文檔共67頁；當前第13頁；編輯于星期二\17點57分X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限長4點序列DFT矩陣表示:DFT矩陣表示DFT本文檔共67頁；當前第14頁；編輯于星期二\17點57分DFT矩陣表示DFT本文檔共67頁；當前第15頁；編輯于星期二\17點57分利用MATLAB計算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

計算M點的DFT。M是序列x的長度。fft(x,N)

計算N點的DFT。M>N，將原序列裁為N點計算N點的DFT；M<N，將原序列補零至N點，然后計算N點DFT。DFT本文檔共67頁；當前第16頁；編輯于星期二\17點57分x=[11-11];xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm));axis([04-13]);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1));axis([08-13]);xm2=fft(x,16);subplot(313);stem(0:15,abs(xm2));axis([016-13]);利用MATLAB計算DFT---N=4、8、16DFT本文檔共67頁；當前第17頁；編輯于星期二\17點57分x=[0000011111100000];xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm));axis([016-17]);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1));axis([064-17]);subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2));axis([0256-17]);利用MATLAB計算DFT---N=16、64、256DFT本文檔共67頁；當前第18頁；編輯于星期二\17點57分x=[0000011111100000];x1=[000001];N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1));xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));x2=[0000011];N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2));gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx3=[00000111];N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3));xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx4=[000001111];N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4));gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm));DFT本文檔共67頁；當前第19頁；編輯于星期二\17點57分DFT本文檔共67頁；當前第20頁；編輯于星期二\17點57分離散傅里葉變換的性質(zhì)

1.線性

2.循環(huán)位移

3.對稱性

4.序列的循環(huán)卷積5.Parseval定理6.序列DFT與z變換的關系DFT本文檔共67頁；當前第21頁；編輯于星期二\17點57分1.線性需將較短序列補零后，再按長序列的點數(shù)做DFTDFT本文檔共67頁；當前第22頁；編輯于星期二\17點57分2.循環(huán)位移(圓周移位)循環(huán)位移定義為:注意：隱含的周期性DFT本文檔共67頁；當前第23頁；編輯于星期二\17點57分時移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{xp[kn]RN[k]}=WNnm

X[m]表明：序列在時域上圓周移位，頻域上將產(chǎn)生附加相移。證明：DFT{xp[kn]RN

[k]}DFT本文檔共67頁；當前第24頁；編輯于星期二\17點57分頻移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{x[k]WNlk}=Xp[ml]

RN[m]表明：若序列在時域上乘以復數(shù)指數(shù)序列WNlk，則在頻域上，X[m]將圓周移位l位，也稱“調(diào)制定理”。DFT本文檔共67頁；當前第25頁；編輯于星期二\17點57分設x[k]為實序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對稱的特點，即X[m]=X*[Nm]3.對稱性(symmetry)---1）實數(shù)序列x[k]DFT本文檔共67頁；當前第26頁；編輯于星期二\17點57分x=[0001111000];xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm));subplot(222);stem(0:9,angle(xm));subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1));subplot(224);stem(0:10,angle(xm1));設x[k]為實序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對稱的特點，即X[m]=X*[Nm]DFT本文檔共67頁；當前第27頁；編輯于星期二\17點57分3.對稱性---2）復數(shù)序列x[k]DFT本文檔共67頁；當前第28頁；編輯于星期二\17點57分若x*[k]是有限長序列x[k]的共軛復數(shù)序列，并設x[k]=xR[k]+jxI[k],x*[k]=xR[k]

jxI[k]有DFT{x*[k]}=X*[Nm]且Xep[m]

=DFT{xR[k]}={X[m]+X*[Nm]}/2

Xop[m]

=DFT{jxI[k]}={X[m]X*[Nm]}/23.對稱性---2）復數(shù)序列證明：DFT本文檔共67頁；當前第29頁；編輯于星期二\17點57分循環(huán)卷積DFT本文檔共67頁；當前第30頁；編輯于星期二\17點57分4.循環(huán)卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理時域的循環(huán)卷積對應頻域的乘積時域的乘積對應頻域的循環(huán)卷積5.Parseval定理DFT本文檔共67頁；當前第31頁；編輯于星期二\17點57分序列DFT與z變換的關系有限長序列x[k]的DFT：有限長序列x[k]的z變換：DFT本文檔共67頁；當前第32頁；編輯于星期二\17點57分序列DFT與z變換的關系：x[k]的X[m]等于其z變換X(z)在單位圓上等間隔抽樣DFT本文檔共67頁；當前第33頁；編輯于星期二\17點57分兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計算序列線性卷積h(n)x(n)y(n)如果序列x(n)的長度為N1、序列h(n)的長度為N2，那么線性卷積y(n)也是一個有限長序列，且其長度為N1+N21。每個x(n)的樣值都必須與每個h(n)的樣值相乘，需N1N2次乘法運算，在N1=

N2=

N時，需N2次乘法運算。能否用圓周卷積代替線性卷積??將進行卷積的兩序列長度均加長至N

N1+

N21，然后再進行圓卷積，則其圓卷積的結果與線卷積的結果相同。DFT本文檔共67頁；當前第34頁；編輯于星期二\17點57分序列線性卷積DFT本文檔共67頁；當前第35頁；編輯于星期二\17點57分序列線性卷積能否用圓周卷積代替線性卷積??序列圓周卷積DFT本文檔共67頁；當前第36頁；編輯于星期二\17點57分DFT本文檔共67頁；當前第37頁；編輯于星期二\17點57分利用DFT計算序列線性卷積的步驟若x[k]的長度為N，h[k]的長度為M，則L=N+M-1點循環(huán)卷積等于x[k]與h[k]的線性卷積。序列補零加長至Lx[k]N點L點DFTX[k]L

N

+

M

1序列補零加長至Lh[k]M點L點DFTH[k]IFFTy[k]相乘直接線卷積：N1N2次乘運算，N1

N2=

N時，需N2乘。利用圓卷積：兩次FFT，一次IFFTDFT本文檔共67頁；當前第38頁；編輯于星期二\17點57分在一般的數(shù)字濾波器中，由于h(k)或H(m)是預先設計好的，已置于存儲器中，故實際只需二次FFT的運算量。假定N

=

M=

L，補零后長度N

+

M

12L，需要2(L

log22L)次乘。此外完成X(k)與H(k)兩序列相乘，全部復運算次數(shù)為2(L

log22L)+2L=2L(1+

log22L)比如L=210=1024L=26=64直接線卷積：10485766464=4096利用圓卷積：24576896

顯然，隨L，利用圓卷積比L2顯著減小，所以采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運算。利用DFT計算序列線性卷積的步驟DFT本文檔共67頁；當前第39頁；編輯于星期二\17點57分利用DFT計算序列線性卷積的步驟兩序列長度接近或相等的情況下，采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運算。如果其中一個序列較短，而另一序列很長，圓卷積方案的相對運算量可能減小不多，甚至增多。這時，可采用分段卷積（分段過濾）的方法。其基本原理是：將較長的一個序列，比如x[n]分成許多小段，每小段長度都與h[n]接近，將x[n]的每個小段分別與h[n]作卷積，最后取和。這時，仍有可能發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。此方案的具體實現(xiàn)不是唯一的。DFT本文檔共67頁；當前第40頁；編輯于星期二\17點57分長序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計算的缺點：(1)信號要全部輸入后才能進行計算，延遲太多。(2)內(nèi)存要求大。(3)算法效率不高。解決問題方法：采用分段卷積分段卷積可采用重疊相加法和重疊保留法。DFT本文檔共67頁；當前第41頁；編輯于星期二\17點57分長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）將長序列x[k]分為若干段長度為L的序列長度、起止點？？？DFT本文檔共67頁；當前第42頁；編輯于星期二\17點57分長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）y0[k]的長度及起止點：y1[k-L]的長度及起止點：注意：序列y0[k],y1[k]的重疊部分重疊的點數(shù)：L+M-2-L+1=M-1依次將相鄰兩段的M-1個重疊點相加？？？，即得到最終的線性卷積結果。DFT本文檔共67頁；當前第43頁；編輯于星期二\17點57分DFT本文檔共67頁；當前第44頁；編輯于星期二\17點57分2.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的線性卷積方法：

(1)將x[k]長序列分段，每段長度為L。

(2)各段序列xn[k]與

M點短序列h[k]循環(huán)卷積。

(3)從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結果。因yn[k]=xn[k]h[k]前M-1個點不是線性卷積的點，故分段時，每段與其前一段有M-1個點重疊。第一段前需補M-1個零DFT本文檔共67頁；當前第45頁；編輯于星期二\17點57分2.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的線性卷積記：yn[k]=xn[k]Lh[k]01-Lk0k1-LM-1M-1DFT本文檔共67頁；當前第46頁；編輯于星期二\17點57分DFT本文檔共67頁；當前第47頁；編輯于星期二\17點57分例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。解法一：使用重疊相加法---時域序列按L個點連續(xù)分段、計算L+M-1點圓周卷積（或計算L、M個點線性卷積）、前一個分段卷積結果的后M-1個點的序列值與后一個分段卷積結果的前M-1個點的序列值對應相加，構成要求的卷積結果。解法二：使用重疊保留法---時域序列以前后兩段重疊M-1個點的形式按L個點分段、計算L點圓周卷積、保留每個分段卷積結果的后L-(M-1)個點的序列值，由他們按順序構成要求的卷積結果。DFT本文檔共67頁；當前第48頁；編輯于星期二\17點57分例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。1）重疊相加法DFT本文檔共67頁；當前第49頁；編輯于星期二\17點57分例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。2）重疊保留法DFT本文檔共67頁；當前第50頁；編輯于星期二\17點57分利用DFT分析信號頻譜問題的提出四種信號頻譜之間的關系利用DFT分析連續(xù)非周期信號頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象DFT參數(shù)選取DFT本文檔共67頁；當前第51頁；編輯于星期二\17點57分四種信號頻譜之間的關系：公式？利用DFT分析信號頻譜DFT本文檔共67頁；當前第52頁；編輯于星期二\17點57分四種信號的時域與頻域對應關系DFT本文檔共67頁；當前第53頁；編輯于星期二\17點57分利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜假設連續(xù)信號持續(xù)時間有限，頻帶有限離散化抽樣N點DFTDFT本文檔共67頁；當前第54頁；編輯于星期二\17點57分例：已知語音信號x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用fsam=8kHz對x(t)進行抽樣。如對抽樣信號做N=1600點的DFT，試確定X[m]中m=600和m=1200點所分別對應原連續(xù)信號的連續(xù)頻譜點f1

和f2(kHz)。

解：DFT本文檔共67頁；當前第55頁；編輯于星期二\17點57分利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜求x(t)=e-tu(t)的幅度譜fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);DFT本文檔共67頁；當前第56頁；編輯于星期二\17點57分N=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));gridDFT本文檔共67頁；當前第57頁；編輯于星期二\17點57分N=100;fs=16;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));gridDFT本文檔共67頁；當前第58頁；編輯于星期二\17點57分討論1：x(t)無限長，其頻帶有限加窗抽樣DFT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜DFT本文檔共67頁；當前第59頁；編輯于星期二\17點57分討論2：x(t)有限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜抽樣DFTDFT本文檔共67頁；當前第60頁；編輯于星期二\17點57分討論3：x(t)無限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜出現(xiàn)三種現(xiàn)象：混疊(抽樣頻率)、泄漏(加窗截斷)、柵欄(離散頻率點)抽樣DFT加窗DFT本文檔共67頁；當前第61頁；編輯于星期二\17點57分混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(1)混疊現(xiàn)象DFT本文檔共67頁；當前第62頁；編輯于星期二\17點57分f1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;t=-10:1/fs:10;x=-cos(w1*t);forn=1:19x=x-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(311);plot(t,x);N1=400;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(312);stem(