第二章維納濾波和卡爾曼濾波演示文稿

第二章維納濾波和卡爾曼濾波演示文稿1本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第1頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分2優(yōu)選第二章維納濾波和卡爾曼濾波本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第2頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分平滑或內(nèi)插：根據(jù)過(guò)去的觀測(cè)值，估計(jì)過(guò)去的信號(hào)值。濾波：已知當(dāng)前和過(guò)去的觀測(cè)值，估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)。預(yù)測(cè)：已知過(guò)去的觀測(cè)值，估計(jì)當(dāng)前及以后時(shí)刻的信號(hào)值。

維納濾波（Wiener）和卡爾曼濾波(Kalman)解決從噪聲中提取信號(hào)的濾波或預(yù)測(cè)問(wèn)題，并以估計(jì)的結(jié)果與真值之間的誤差均方值最小作為最佳準(zhǔn)則。

維納濾波的思想是20世紀(jì)40年代初提出的，1949年正式以書(shū)的形式出版?？柭鼮V波是20世紀(jì)60年代由卡爾曼提出的。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第3頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分(1)維納濾波根據(jù)估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，它的解以系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或單位脈沖響應(yīng)形式給出。這種系統(tǒng)常稱(chēng)為最佳線(xiàn)性濾波器。卡爾曼濾波用前一個(gè)估計(jì)值和最近一個(gè)觀察數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)信號(hào)當(dāng)前值，它用狀態(tài)方程和遞推的方法進(jìn)行估計(jì)，它的解以估計(jì)值（常是狀態(tài)變量值）形式給出。系統(tǒng)常稱(chēng)為線(xiàn)性最優(yōu)估計(jì)器。(2)維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程；卡爾曼濾波適用于平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。(3)維納濾波設(shè)計(jì)時(shí)要已知信號(hào)與噪聲的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。卡爾曼濾波設(shè)計(jì)時(shí)要求已知狀態(tài)方程和量測(cè)方程。共同點(diǎn)：都解決最佳線(xiàn)性濾波和預(yù)測(cè)問(wèn)題，都以均方誤差最小為最優(yōu)準(zhǔn)則，平穩(wěn)條件下它們得到的穩(wěn)態(tài)結(jié)果一致。維納濾波和卡爾曼濾波比較：不同點(diǎn)：本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第4頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分通信的信道均衡器在通信系統(tǒng)中，為了在接收端補(bǔ)償信道傳輸引入的各種畸變，在對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)之前，通過(guò)一個(gè)濾波器對(duì)信道失真進(jìn)行校正，這個(gè)濾波器稱(chēng)為信道均衡器。圖2.1.3信道均衡器的結(jié)構(gòu)示意來(lái)自于實(shí)際的對(duì)Wiener濾波器的幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例：本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第5頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

發(fā)送端發(fā)送序列系統(tǒng)辨識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)是未知的，設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性濾波器盡可能精確的逼近這個(gè)未知系統(tǒng)，Wiener濾波器實(shí)現(xiàn)一個(gè)統(tǒng)計(jì)意義上最優(yōu)的對(duì)未知系統(tǒng)的逼近。

經(jīng)信道傳輸后，接收端的濾波器輸入信號(hào)，可能

包含畸變，加性噪聲，多徑效應(yīng)

期望信號(hào)，

盡量確定Wiener濾波器系數(shù)，使盡可能逼近即，也就是使估計(jì)誤差的均方值最小，（均方誤差最小準(zhǔn)則）本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第6頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分圖2.1.4線(xiàn)性系統(tǒng)辨識(shí)的結(jié)構(gòu)是Wiener濾波器的期望響應(yīng)，使與間的估計(jì)誤差的均方值最小。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第7頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分最優(yōu)線(xiàn)性預(yù)測(cè)通過(guò)一個(gè)隨機(jī)信號(hào)已存在的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)一個(gè)新值，這是一步前向線(xiàn)性預(yù)測(cè)問(wèn)題。由的線(xiàn)性組合得到對(duì)的最優(yōu)估計(jì)，相當(dāng)于設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器對(duì) 進(jìn)行線(xiàn)性運(yùn)算，來(lái)估計(jì)期望響應(yīng)，Wiener濾波器可以用于設(shè)計(jì)均方誤差最小的最優(yōu)預(yù)測(cè)器。陣列波束形成，圖象編碼本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第8頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分假設(shè)濾波系統(tǒng)是一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，它的和輸入信號(hào)都是復(fù)函數(shù)，設(shè)維納濾波器設(shè)計(jì)的任務(wù)就是選擇,使其輸出信號(hào)與期望信號(hào)誤差的均方值最小，實(shí)質(zhì)是解維納－霍夫方程。2.2維納濾波器的離散形式－－時(shí)域解維納濾波器時(shí)域求解的方法考慮系統(tǒng)的因果性，可得到濾波器的輸出本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第9頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分設(shè)期望信號(hào)，誤差信號(hào)及其均方誤差分別為要使均方誤差為最小，需滿(mǎn)足：這里，表示，用，表示，。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第10頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分由于是一標(biāo)量，因此上式是一個(gè)標(biāo)量對(duì)復(fù)函數(shù)求導(dǎo)的問(wèn)題，等價(jià)于記則式可寫(xiě)為本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第11頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分得將上式展開(kāi)由于本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第12頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分將如上各項(xiàng)代入表達(dá)式，整理得：因此等價(jià)于上式說(shuō)明，均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是正交性原理。下面計(jì)算輸出信號(hào)與誤差信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第13頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分可見(jiàn)，在濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，輸出和誤差信號(hào)也是正交的。假定濾波器工作于最佳狀態(tài)，濾波器的輸出與期望信號(hào)的誤差為，則維納-霍夫方程將展開(kāi)，得整理得本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第14頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分對(duì)兩邊取共軛，并利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),得此式稱(chēng)為維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程。解此方程可得到最優(yōu)權(quán)系數(shù)，此式是Wiener濾波器的一般方程，根據(jù)權(quán)系數(shù)是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)可以分別設(shè)計(jì)IIR型和FIR型Wiener濾波器。FIR濾波器是一個(gè)長(zhǎng)度為M的因果序列(即是一個(gè)長(zhǎng)度為M的FIR濾波器)時(shí)，維納-霍夫方程表述為把的取值代入上式，得本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第15頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分則維納-霍夫方程可寫(xiě)成矩陣形式

時(shí)

時(shí)定義對(duì)上式求逆，得

時(shí)本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第16頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

此式表明，已知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。同時(shí)可以看到，直接從時(shí)域求解維納濾波器，并不是一個(gè)有效的方法，當(dāng)較大時(shí)，計(jì)算量很大，并需計(jì)算，從而要求存儲(chǔ)量也很大。另外，具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度由實(shí)驗(yàn)確定，增加，需在新基礎(chǔ)上重新計(jì)算。維納-霍夫方程矩陣形式本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第17頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分2.2.3FIR型Wiener濾波器的最小均方誤差

設(shè)所研究的信號(hào)是零均值的，濾波器為FIR型，長(zhǎng)度等于M，則本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第18頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分將代入得:

本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第19頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

經(jīng)過(guò)了一個(gè)通信信道，信道的傳輸函數(shù)，在信道輸出端加入了白噪聲，通道模型如圖，傳輸函數(shù)信道輸出，假定與，與不相關(guān)，并都是實(shí)信號(hào)。在接收端設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)度為2的FIR結(jié)構(gòu)的Wiener濾波器，目的是由恢復(fù)出。例:設(shè)期望響應(yīng)是一個(gè)過(guò)程，參數(shù)，激勵(lì)白噪聲的方差，由白噪聲驅(qū)動(dòng)的產(chǎn)生該過(guò)程的傳輸函數(shù)為本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第20頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分時(shí)域求解Wiener濾波器很困難，用Z域求解。又因?yàn)閷?shí)際的系統(tǒng)是因果的，維納-霍夫方程有個(gè)的約束條件，所以不能直接轉(zhuǎn)入Z域求解它的。這是因?yàn)檩斎胄盘?hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)序列是一個(gè)因果序列。這里我們利用將加以白化的方法來(lái)求維納-霍夫方程的Z域解(由波德(Bode)和香農(nóng)(Shannon)首先提出的方法)。2.3離散維納濾波的Z域解

是一個(gè)因果(物理可實(shí)現(xiàn))的最小相位系統(tǒng)。把信號(hào)轉(zhuǎn)化為白噪聲的過(guò)程稱(chēng)為白化。白化濾波器本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第21頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分設(shè)計(jì)維納濾波器的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求的問(wèn)題。非因果維納濾波器的求解該信號(hào)為實(shí)信號(hào)。是的逆Z變換。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第22頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分要使均方誤差最小，當(dāng)且僅當(dāng)因此的最佳值為本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第23頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分兩邊取Z變換非因果維納濾波器的最佳解為因?yàn)?，且根?jù)相關(guān)卷積定理，得兩邊取Z變換本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第24頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分代入假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即，有兩邊取Z變換，得代入表達(dá)式，得本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第25頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分代入式，非因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解非因果維納濾波器的頻率響應(yīng)為幅頻特性本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第26頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分推導(dǎo)濾波器的最小均方誤差(信號(hào)不失真，因?yàn)闆](méi)有噪聲)有誤差，誤差是由于信號(hào)譜和噪聲譜交叉造成。信噪比越小，越小噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波器有濾除噪聲的能力根據(jù)圍線(xiàn)積分求逆Z變換的公式，得本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第27頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分同理由帕塞伐爾定理取有把，代入公式，得本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第28頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分將代入上式，得因?yàn)閷?shí)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即，因此假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即，則可見(jiàn)，維納濾波的最小均方誤差不僅與輸入信號(hào)的功率譜本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第29頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分有關(guān)，而且與信號(hào)和噪聲的功率譜的乘積有關(guān)。也就是說(shuō)，最小均方誤差與信號(hào)和噪聲功率譜的重疊部分的大小有關(guān)。若維納濾波器是一個(gè)因果濾波器，要求因果維納濾波器的求解則濾波器輸出估計(jì)誤差的均方值類(lèi)似于前面的推導(dǎo)，得本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第30頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分令又由于得要使均方誤差最小，當(dāng)且僅當(dāng)本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第31頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分所以因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為維納濾波的最小均方誤差為本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第32頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分非因果情況因果情況

由于取值不同，可說(shuō)明非因果情況的一定小于等于因果情況。具體計(jì)算中，可選單位圓作為積分曲線(xiàn)，應(yīng)用留數(shù)定理，計(jì)算積分函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)的留數(shù)來(lái)求得。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第33頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

因果濾波器的設(shè)計(jì)步驟：（1）根據(jù)觀測(cè)信號(hào)的功率譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到。具體方法為。把單位圓內(nèi)的極零點(diǎn)分配給，單位圓外的極零點(diǎn)分配給，系數(shù)分配給。（2）求的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得。（3）積分曲線(xiàn)取單位圓，應(yīng)用和計(jì)算公式，計(jì)算和。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第34頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分例:已知,信號(hào)和噪聲不相關(guān),即，噪聲零均值，單位功率的白噪聲，求和。解：根據(jù)白噪聲特點(diǎn)得出，由信號(hào)和噪聲不相關(guān)得兩邊取Z變換，代入已知條件，對(duì)進(jìn)行功率譜分解：本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第35頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

必須為因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，得分析物理可實(shí)現(xiàn)情況,令,本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第36頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

的極點(diǎn)為0.8和2，考慮因果性，穩(wěn)定性，僅取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)，為的Z反變換，應(yīng)用留數(shù)定理，有取的因果部分本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第37頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分取單位圓為積分圍線(xiàn)，上式等于單位圓內(nèi)極點(diǎn)及的留數(shù)之和，即求本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第38頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分未經(jīng)濾波器的均方誤差（2）對(duì)于非物理可實(shí)現(xiàn)情況應(yīng)用留數(shù)定理，有可以看出，非物理可實(shí)現(xiàn)情況的最小均方誤差小于物理可實(shí)現(xiàn)情況的均方誤差。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第39頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

已知：。P個(gè)以前時(shí)刻的觀測(cè)值

估計(jì)：。當(dāng)前，未來(lái)時(shí)刻的信號(hào)值。估計(jì)準(zhǔn)則：均方誤差最小。信號(hào)為什么是可以預(yù)測(cè)的？

①信號(hào)內(nèi)部存在關(guān)聯(lián)性。數(shù)據(jù)間關(guān)聯(lián)越密切，預(yù)測(cè)愈準(zhǔn)確；完全不關(guān)聯(lián)，則無(wú)法預(yù)測(cè)。周期信號(hào)關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，從一個(gè)周期可完全無(wú)誤地預(yù)測(cè)出以后的信號(hào)。2.4維納預(yù)測(cè)本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第40頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

白噪聲：前后數(shù)據(jù)不相關(guān)，無(wú)法預(yù)測(cè)。平穩(wěn)信號(hào)：均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，說(shuō)明信號(hào)內(nèi)部是關(guān)聯(lián)的，可以預(yù)測(cè)。但預(yù)測(cè)越遠(yuǎn)時(shí)刻的信號(hào)，誤差越大，因?yàn)殛P(guān)聯(lián)性越差。

②系統(tǒng)具有慣性。

輸入無(wú)關(guān)聯(lián)信號(hào)，輸出一個(gè)關(guān)聯(lián)信號(hào)（非白色的信號(hào)）。表明系統(tǒng)是有慣性的。因此，隨機(jī)信號(hào)之所以能夠預(yù)測(cè)，在于信號(hào)存在某些統(tǒng)計(jì)上的規(guī)律，預(yù)測(cè)正是利用這些規(guī)律，因而不能做到精確預(yù)測(cè)，使預(yù)測(cè)誤差等于0，但可從統(tǒng)計(jì)意義上做到最優(yōu)。這里使預(yù)測(cè)具有有理譜密度本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第41頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分誤差的均方值最小作為最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)。預(yù)測(cè)濾波：考慮實(shí)際獲得的信號(hào)是帶噪聲干擾的，這時(shí)預(yù)測(cè)和濾波緊密相連，成為帶濾波的預(yù)測(cè)。純預(yù)測(cè)：不考慮噪聲干擾的預(yù)測(cè)，或不帶濾波的預(yù)測(cè)。維納預(yù)測(cè)的計(jì)算

維納濾波的最佳解為

維納預(yù)測(cè)器，輸出信號(hào)，預(yù)測(cè)誤差本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第42頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分要使預(yù)測(cè)誤差均方值為最小，需滿(mǎn)足

非因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望輸出的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度為：本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第43頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分可見(jiàn)，維納預(yù)測(cè)和維納濾波器的求解方法是一致的。純預(yù)測(cè)

假設(shè)，且，故，期望信號(hào)為，假定維納預(yù)測(cè)器是因果的。維納預(yù)測(cè)器的最小均方誤差為因果純預(yù)測(cè)器的最佳解為本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第44頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分應(yīng)用帕塞伐爾定理：純預(yù)測(cè)器的最小均方誤差為取本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第45頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

可見(jiàn)，隨著N增加，也增加。預(yù)測(cè)距離越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)效果越差。例，已知，其中，求（1）最小均方誤差下的；（2）?？紤]是因果系統(tǒng)本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第46頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分解：對(duì)進(jìn)行譜分解

求的Z反變換

應(yīng)用Z變換的性質(zhì)，得：本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第47頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分最小均方誤差：它說(shuō)明，N越大，誤差越大。如果N＝0則沒(méi)有誤差。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第48頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分又，將通過(guò)純預(yù)測(cè)維納濾波器，得根據(jù)的信號(hào)模型此時(shí)，可把純預(yù)測(cè)的維納濾波器看作一個(gè)線(xiàn)性比例放大器。當(dāng)當(dāng)當(dāng)可得含義？本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第49頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分由此可見(jiàn)，的結(jié)果相當(dāng)于認(rèn)為時(shí)刻，，因而僅由的慣性就能完全決定估計(jì)值。此時(shí)從統(tǒng)計(jì)意義上講，當(dāng)時(shí)，白噪聲信號(hào)對(duì)無(wú)影響。以上結(jié)論可推廣，對(duì)于任何均值為零的，要估計(jì) 時(shí)，只需考慮的慣性，即可認(rèn)為，這樣估計(jì)出來(lái)的結(jié)果將有最小均方誤差。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第50頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分一步線(xiàn)性預(yù)測(cè)的時(shí)域解

表示一個(gè)信號(hào)的功率譜在單位圓上沒(méi)有極點(diǎn)與信號(hào)均值等于零等價(jià)，因此對(duì)于功率譜在單位圓上沒(méi)有極點(diǎn)的信號(hào)，要估計(jì)時(shí)，可認(rèn)為，即僅需要考慮的慣性，這樣估計(jì)出來(lái)的結(jié)果將有最小均方誤差。一步線(xiàn)性預(yù)測(cè)：假設(shè)，已知，預(yù)測(cè)。終值定理時(shí)域求解利用正交原理。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第51頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分令，則要使均方誤差為最小值，要求預(yù)測(cè)誤差其中系統(tǒng),輸出信號(hào)本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第52頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分同維納濾波器的推導(dǎo)過(guò)程一樣，可以得到代入可得由于預(yù)測(cè)器的輸出是輸入信號(hào)的線(xiàn)性組合，可得此式說(shuō)明，誤差信號(hào)與輸入信號(hào)正交。此式說(shuō)明，預(yù)測(cè)誤差與預(yù)測(cè)的信號(hào)正交。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第53頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分預(yù)測(cè)誤差的最小均方值得聯(lián)立方程組本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第54頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分寫(xiě)成矩陣形式除了第一個(gè)方程外，其余都是齊次方程與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。這就是著名的Yule-Walker方程。該方程組共P+1個(gè)方程，可確定和共P+1個(gè)未知數(shù)。可用Levinson-Durbin(萊文森-杜賓)遞推算法求得。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第55頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分則維納-霍夫方程可寫(xiě)成矩陣形式定義本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第56頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

是測(cè)量引入的白噪聲，通過(guò)各的值估計(jì)。這類(lèi)最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題稱(chēng)為卡爾曼濾波。例如：對(duì)一個(gè)一階AR模型，的輸出狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。觀測(cè)方程是2.5卡爾曼(Kalman)濾波

在信號(hào)處理，通信和現(xiàn)代控制系統(tǒng)中，需要對(duì)一個(gè)隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，由一個(gè)測(cè)量裝置對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)記錄的測(cè)量值對(duì)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)?？柭鼮V波用前一個(gè)狀態(tài)的估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量的當(dāng)前值。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第57頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分卡爾曼濾波的特點(diǎn)：（1）算法是遞推的，時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器，適用于多維隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)；（2）用遞推法計(jì)算，不需要知道全部過(guò)去的值。用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，因此，信號(hào)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的；（3）誤差準(zhǔn)則仍為均方誤差最小準(zhǔn)則。本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第58頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分：時(shí)間，指第步迭代時(shí)，相應(yīng)信號(hào)的取值假設(shè)某系統(tǒng)時(shí)刻的狀態(tài)變量為，狀態(tài)方程和量測(cè)方程（也稱(chēng)為輸出方程），表示為卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測(cè)方程：第K步迭代時(shí)，狀態(tài)變量與輸出信號(hào)之間的增益：白噪聲：第步迭代時(shí)，狀態(tài)變量之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間變化（非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）矩陣，可隨時(shí)間變化本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第59頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分圖卡爾曼濾波器的信號(hào)模型其中，狀態(tài)變量，表示輸入信號(hào)，是白噪聲觀測(cè)噪聲，觀測(cè)數(shù)據(jù)狀態(tài)方程中用代替，得狀態(tài)方程和量測(cè)方程本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第60頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分為推導(dǎo)簡(jiǎn)化，假設(shè)A不隨時(shí)間變化，都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別為和。初始狀態(tài)與都不相關(guān)，表示相關(guān)系數(shù)。即其中本文檔共72頁(yè)；當(dāng)前第61頁(yè)；編輯于星期三\11點(diǎn)54分

基本思想：先不考慮輸入信號(hào)和觀測(cè)噪聲的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號(hào)（即觀測(cè)數(shù)據(jù)）的估計(jì)值，再用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差加權(quán)后校正狀態(tài)變量的估計(jì)值，使?fàn)顟B(tài)變量估計(jì)誤差的均方值最小?？柭鼮V波的