北京市通州區(qū)2022-2023高一上學期期末數(shù)學試卷及答案

通州區(qū)2022-2023學年第一學期高一年級期末質量檢測

數(shù)學試卷2023年1月

本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分.）在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項.

l.sinl20°=

A.-j-B.當C.—1D.一日

2.設S=[aa=^7t+j,^ezj.S）=jQa=2^7t+j^ez[,S2=a=2五一冷決ez；,則下

列結論隼送的是

A.S|三SB.Sz=SC.S1us2=sD.S|C|Sz=S

3.已知角a的頂點在原點，始邊與z軸的非負半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于點

P（一農(nóng),m）,則sina=

0

A.一喀B.§C.一筆D.宇

DDDD

4.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調遞增的是

A.y=—B.y=sirtrC?y=cos/D.y=lar

5.將函數(shù)y=sinz的圖象C向左平移壓個單位長度得到曲線C.，然后再使曲線C,上各點的橫坐

標變?yōu)樵瓉淼摹兜玫角€G，最后再把曲線C2上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線C3.

則曲線C3對應的函數(shù)是

A.?=2§由卜/一*）B.y=2sin3卜一看）

C.y=2sin卜1+菅）D.y=2sin3（z+看）

高一數(shù)學試卷第1頁（共4頁）

6.“tana>0"是、是第一象限角”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.函數(shù)y=log05x與y=IogzN的圖象

A.關于工軸對稱B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱D.關于直線〉=工對稱

8.函數(shù)/（z）=lnz+2z-6的零點所在的區(qū)間是

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

3.2.

9.已知a=(y)7,6=(1)3,c=log||,?lja,6,c的大小關系是

A.a<b<cB.bVa<cC.c<b<aD.cVaVb

10.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經(jīng)驗表明，有一種茶用85匕的

水泡制，再等到茶水溫度降至55t時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.某研究人員在室溫下.每隔

Imin測量一次茶水溫度，得到數(shù)據(jù)如下：

放置時間/min012345

茶水溫度/t85.0079.0073.6068.7464.3760.43

為了描述茶水溫度與放置時間-rmin的關系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：

①;y=4a*+25（46R,0<a<l.■!>（））,②_y=4z+ba,66R.z20）.

選擇最符合實際的函數(shù)模型，可求得剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置時間大約為

（參考數(shù)據(jù)：lg2?s0.301,lg3*0.477）

A.6minB.6.5minC.7minD.7.5min

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）

11.半徑為1,圓心角為1弧度的扇形的面積為.

13.若函數(shù)》=43水3工+6（3>0,049〈式）的部分圖象如圖所示.則此

函數(shù)的解析式為.

14.已知了2+丁=1,則x+>的最大值為,最小值為

（j.2+21—3,z40,

15.已知函數(shù)〃工）=1'''''若方程"工）=々有3個實數(shù)解，則實數(shù)4的取值范圍是

I—2+lnx,z>0,

高一數(shù)學試卷第2頁（共4頁）

三、解答題：（本大題共6小題，共85分.）解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.（本小題13分）

已知tana=-號.a是第四象限角.

4

（I）求cosa-sina的值；

（II）求cos（：+a）.tan（a+孑）的值.

17.（本小題13分）

已知函數(shù)/（x）=tan^yx+yj.

（I）求函數(shù)/（H）的定義域；

（n）求函數(shù)/（工）的最小正周期;

（山）求函數(shù)人工）的單調區(qū)間.

18.（本小題14分）

已知函數(shù)/（N）=Asin（sz+w）（A>0,s>0,|同〈手）的最小正周期為兀

（I）求3的值；

（11）從下面四個條件中選擇兩個作為已知，求/（Z）的解析式，并求其在區(qū)間「一孑，件一上的

最大值和最小值.

條件①：/（工）的值域是［-2,2>

條件②：/（外在區(qū)間［一專日］上單調遞增；

條件③：/（工）的圖象經(jīng)過點（0」）；

條件④J（H）的圖象關于直線工=一^■對稱.

注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分.

高一數(shù)學試卷第3頁（共4頁）

19.（本小題15分）

已知函數(shù)/（X）=ln（1—cos2x）+cos（z+。）,06［°，/），

（I）求函數(shù)八工）的定義域；

（n）若函數(shù)八工）為偶函數(shù)，求。的值；

（III）是否存在。，使得函數(shù)/（工）是奇函數(shù)？若存在，求出。的值;若不存在,請說明理由.

21.（本小題15分）

已知函數(shù)/（z）=lg（az+3）的零點是x=2.

（I）求實數(shù)a的值；

（n）判斷函數(shù)/（工）的單調性，并說明理由；

（山）設4>0,若不等式2/（z）>lg（A/）在區(qū)間［-4,一3］上有解，求々的取值范圍.

高一數(shù)學試卷第4頁（共4頁）

通州區(qū)2022—2023學年第一學期高一年級期末質量檢測

數(shù)學參考答案及評分標準2023年1月

第一部分

一、選擇題

題號12345678910

答案BDCBCBACDB

第二部分

二、填空題

12.-213.y=3sin(2z+?

14.方■，-W（第1空3分，第2空2分）15.(-4,3]

三、解答題

sing_

16.解：（I）由已知可得《cosa42分

sin2a+cos2a=1

Zb

所以《4分

2_16

COSa=25-

又a是第四象限角，

.3

sina=——

o

所以《6分

_4

cosa—

□

、.7

所以cosa—sina=—.7分

□

TT7t.

（n）cos菅+a=cos-cosa—sin-sina9分

44

-724V2/_3\7V2

10分

tana+tan=

____________4_

tan(a+￡12分

1-tanatan工

4

+1

413分

__3_7,

1-了

高一數(shù)學參考答案及評分標準第1頁（共5頁）

17.解：（I）自變量工的取值應滿足

多工+勺#47r+手，4CZ,........................................................3分

即zW2爪+母，&ez............................................................4分

所以函數(shù)“Z）的定義域為卜Z卉2標+等/ez）...............................5分

（n）T=Y=2^................................................................8分

7

（in）由一?^■+4〈十工+等?+4k,eez解得..............................11分

一￥+2版VzV告+2時/GZ.................................................12分

0J

因此，函數(shù)/（工）的單調遞增區(qū)間為（一竽+2標號+2^）,&ez..................13分

18.解：（I）因為T=%=?r,所以3=2..............................................2分

3

（口）方案一：選擇條件①③.

因為/（#）的值域是［―2,2］,所以A=2..........................................4分

所以/（H）=2sin（2z+a）.

因為/（外的圖象經(jīng)過點（0,1）,

所以2sinw=l,即sinq=/.....................................................5分

又⑷〈會所以味小......................................................7分

所以/⑺的解析式為/（1r）=2sin僅工+給....................................8分

因為zG「一手,等］，所以2#+看6「一晟"，號］...............................10分

L40JbL§b」

當2N+5=一等，即工=一千時，

/（了）取得最小值/（一￡）=2sin（一等）=一后..............................12分

當27+看=5,即2=看時，

八工）取得最大值f0）=2sin.=2............................................14分

方案二:選擇條件①④.

因為/（工）的值域是［-2,2］,所以A=2..........................................4分

所以/（G=2sin（2z+w）.

因為/（幻的圖象關于直線z=一會對稱，

高一數(shù)學參考答案及評分標準第2頁（共5頁）

所以2（一冷）+卯=板+冷（4ez）,.......................................................................................5分

所以少=左汗+誓.

又I?，所以9=看.......................................................7分

所以/（了）的解析式為/（z）=2sin僅7+看）....................................8分

以下同方案一.

方案三:選擇條件③④.

因為人工）的圖象關于直線工=一會對稱，

所以2（—號）+卯=板+手（4CZ）,.......................................................................................3分

所以少=4江+卷.

又I少|"，所以少=專.......................................................5分

因為/（H）的圖象經(jīng)過點（0,1）,

所以Asinq=l,即A=2........................................................................................................7分

6

所以/（工）的解析式為/（z）=2sin（2z+^）.......................................................................8分

以下同方案一.

19.解：（I）自變量工的取值應滿足1一cos2z>0,......................................................................2分

解這個不等式，得了￥時決GZ................................................................................................4分

所以函數(shù)=—COS27）+COS（I+0）的定義域是｛1|1#4汗/￡2｝?.....................5分

（n）因為/（工）是偶函數(shù)，

所以/（I）=/（一%）對于中標/GZ｝恒成立，

即ln（l—cos2x）+cos（z+。）=ln［l—cos2（-x）］+cos（-z+d）.................................7分

由此可得cos（?r+0）=cos（—%+。），

所以2sinzsinJ=0.

所以sin0=O.............................................................................................................................9分

因為OS），

所以0=0..................................................................................................................................10分

（111）不存在心使得函數(shù)/（1）是奇函數(shù).原因如下：............................11分

/（%）是奇函數(shù)，等價于/（］）+/（—］）=0對于7￡（川%中標/GZ）恒成立......12分

因為de［o號），所以cosdwo.

所以

高一數(shù)學參考答案及評分標準第3頁（共5頁）

=2cosrcosj

4

=A/2COS0#O.................................................14分

即vje[o,^）,/（x）+/（-x）=o對于丈e｛川掙版》ez｝不恒成立.

所以不存在。，使得函數(shù)f（z）是奇函數(shù)........................................15分

20.解：（I）連接OC,設NPOC=a，則aG（0，于）...............

在RtAOBC中?BC=sina,OB=cos?......................

在Rt/\OA。中，OA=AD=BC.

所以AB=OB-OA=OB-BC=cosa-sina.

因為矩形ABC。為正方形，

所以AB=BC,即cosa—sina=sina,

所以cosa=2sina................................................................5分

由sin'a+cos2a=1（0,孑），得

sina=^，即AB=BC=g.....................................................7分

00

所以正方形ABCD的面積$物的詠；,=482=￡.................................8分

0

（II）由（I）知，矩形ABCD的面積

S姮形ABCD=AB?BC=（cosa-sina）sina

=sinacos?-sin2a......................................................9分

=*sin2?！?（1—cos2a）.............................................11分

=y（sin2a+cos2a）-y

=ysin^2a+yy...............................................13分

因為aS