一輪復(fù)習(xí)新人教版小專(zhuān)題(二)共點(diǎn)力平衡的幾類(lèi)典型問(wèn)題學(xué)案

小專(zhuān)題(二)共點(diǎn)力平衡的幾類(lèi)典型問(wèn)題考點(diǎn)一物體的靜態(tài)平衡(1)平衡狀態(tài):物體靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。(2)平衡條件:F合=0或Fx=0,Fy=0。方法內(nèi)容合成法物體受三個(gè)共點(diǎn)力的作用而平衡,則任意兩個(gè)力的合力一定與第三個(gè)力大小相等,方向相反分解法物體受三個(gè)共點(diǎn)力的作用而平衡,將某一個(gè)力按力的作用效果分解,則其分力和其他兩個(gè)力滿足平衡條件正交分解法物體受到三個(gè)或三個(gè)以上力的作用而平衡,將物體所受的力分解為相互垂直的兩組,每組力都滿足平衡條件矢量三角形法對(duì)受三個(gè)力作用而平衡的物體,將力的矢量圖平移使三個(gè)力組成一個(gè)首尾依次相接的矢量三角形,根據(jù)正弦定理、余弦定理或相似三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)求解未知力[例1][單個(gè)物體的靜態(tài)平衡]某同學(xué)參加“筷子夾玻璃珠”游戲,如圖所示,夾起玻璃珠后,左側(cè)筷子與豎直方向的夾角θ為銳角,右側(cè)筷子豎直,且兩筷子始終在同一豎直平面內(nèi)。保持玻璃珠靜止,忽略筷子與玻璃珠間的摩擦,下列說(shuō)法正確的是(C)解析:由于玻璃珠保持靜止,所以?xún)蓚?cè)筷子對(duì)玻璃珠的合力與重力等大反向,故A、B錯(cuò)誤;作出玻璃珠的受力示意圖如圖所示,根據(jù)平行四邊形定則可知,F2一定大于mg,即左側(cè)筷子對(duì)玻璃珠的彈力一定比玻璃珠的重力大,由于θ未知,右側(cè)筷子對(duì)玻璃珠的彈力不一定比玻璃珠的重力大,故C正確,D錯(cuò)誤。[例2][多個(gè)物體的靜態(tài)平衡](2022·黑龍江鶴崗月考)如圖甲所示,A、B兩小球通過(guò)兩根輕繩連接并懸掛于O點(diǎn),已知兩輕繩OA和AB的長(zhǎng)度之比為3∶1,A、B兩小球的質(zhì)量分別為2m和m。現(xiàn)對(duì)A、B兩小球分別施加水平向右的力F1和水平向左的力F2,兩球恰好處于如圖乙的位置靜止,此時(shí)B球恰好在懸點(diǎn)O的正下方,輕繩OA與豎直方向成30°,則(C)1=F21=3F21=2F21=3F2解析:由題意知兩輕繩OA和AB的長(zhǎng)度之比為3∶1,B球恰好在懸點(diǎn)O的正下方,由幾何關(guān)系可知,OA與AB垂直;以B球?yàn)檠芯繉?duì)象,受力示意圖如圖甲所示,由平衡條件得F2=mgtan(90°-30°)=3mg,以A、B兩球整體為研究對(duì)象,受力示意圖如圖乙所示,由平衡條件得F1-F2=3mgtan30°=3mg,可得F1=23mg,即F1=2F2,故C正確。[例3][正交分解法](2023·浙江溫州模擬)如圖所示,質(zhì)量為m的物體置于傾角為θ的固定斜面上,物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,先用平行于斜面的推力F1作用于物體上,使其能沿斜面勻速上滑,若改用水平推力F2作用于物體上,也能使物體沿斜面勻速上滑。則兩次的推力之比F1A.cosθ+μsinθ B.cosθ-μsinθC.1+μtanθ D.1-μtanθ解析:物體在力F1作用下和力F2作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力分別如圖甲、乙所示。將物體受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解,由平衡條件可得F1=mgsinθ+Ff1,FN1=mgcosθ,Ff1=μFN1;F2cosθ=mgsinθ+Ff2,FN2=mgcosθ+F2sinθ;Ff2=μFN2,解得F1=mgsinθ+μmgcosθ,F2=mgsinθ+[例4][矢量三角形法](2022·云南昆明模擬)如圖所示,小圓環(huán)吊著一個(gè)質(zhì)量為m2的物塊并套在另一個(gè)豎直放置的大圓環(huán)上A處,有一細(xì)繩一端拴在小圓環(huán)上,另一端跨過(guò)固定在大圓環(huán)最高點(diǎn)B的一個(gè)小滑輪后吊著一個(gè)質(zhì)量為m1的物塊。如果小圓環(huán)、滑輪、繩子的大小和質(zhì)量以及相互之間的摩擦都可以忽略不計(jì),繩子不可伸長(zhǎng),平衡時(shí)弦AB所對(duì)的圓心角為α,則兩物塊的質(zhì)量之比m1∶m2應(yīng)為(C)A.cosα2 B.sinC.2sinα2 D.2cos解析:對(duì)小圓環(huán)受力分析,如圖所示,FT2與FN的合力F與FT1大小相等,由矢量三角形與幾何三角形相似,可知FT2R=F2Rsinα2,其中FT2=m2g,F=F考點(diǎn)二物體的動(dòng)態(tài)平衡“動(dòng)態(tài)平衡”是指物體所受的力一部分是變力,是動(dòng)態(tài)力,力的大小或方向發(fā)生變化,但變化過(guò)程中的每一個(gè)狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài),所以叫動(dòng)態(tài)平衡。在問(wèn)題的描述中常用“緩慢”等語(yǔ)言敘述。方法步驟解析法(1)列平衡方程得出未知量與已知量的關(guān)系表達(dá)式。(2)根據(jù)已知量的變化情況來(lái)確定未知量的變化情況圖解法(1)根據(jù)已知量的變化情況,畫(huà)出平行四邊形邊、角的變化。(2)確定未知量大小、方向的變化相似三角形法(1)根據(jù)已知條件畫(huà)出兩個(gè)不同情況對(duì)應(yīng)的力的三角形和空間幾何三角形,確定對(duì)應(yīng)邊,利用三角形相似知識(shí)列出比例式。(2)確定未知量大小的變化情況[例5](多選)如圖所示,不計(jì)質(zhì)量的光滑小滑輪用細(xì)繩懸掛于墻上O點(diǎn),跨過(guò)滑輪的細(xì)繩連接物塊甲、乙,甲、乙都處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)將物塊乙移至C點(diǎn)后,甲、乙仍保持靜止,下列說(shuō)法正確的是(ABD)D.甲、乙靜止時(shí),圖中α、β、θ三角始終相等解析:對(duì)物塊甲受力分析可知,細(xì)繩的拉力等于物塊甲受的重力,當(dāng)把物塊乙移至C點(diǎn)后,細(xì)繩與水平方向的夾角變小,但細(xì)繩的拉力不變,對(duì)物塊乙受力分析,受重力、支持力、拉力和靜摩擦力,如圖所示。根據(jù)平衡條件,有FTcosγ=Ff,FTsinγ+FN=mg,由于角γ變小,故乙與水平面間的靜摩擦力變大,地面對(duì)乙的彈力增大,故A、B正確;對(duì)滑輪受力分析,受繩子的拉力FT以及懸于墻上的繩子的拉力F,由于繩子的拉力與甲受到的重力相等且?jiàn)A角變大,故其合力變小,故墻上的繩子的拉力F也變小,故C錯(cuò)誤;由于繩子的拉力大小相等,故合力在角平分線上,故α=β,由幾何關(guān)系可知α=θ,故α=β=θ,故D正確。[例6][圖解法]如圖所示,用OA、OB兩根輕繩將物體懸于兩豎直墻之間,開(kāi)始時(shí)OB繩水平?，F(xiàn)保持O點(diǎn)位置不變,改變OB繩長(zhǎng)使繩末端由B點(diǎn)緩慢上移至B′點(diǎn),此時(shí)OB′與OA之間的夾角θ<90°。設(shè)此過(guò)程中OA、OB的拉力分別為FOA、FOB,下列說(shuō)法正確的是(B)OA逐漸增大OA逐漸減小OB逐漸增大OB逐漸減小解析:以結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象,受力分析,根據(jù)平衡條件知,兩繩的拉力的合力與重力大小相等、方向相反,作出OB繩在三個(gè)位置時(shí)力的合成圖,如圖,由圖看出,FOA逐漸減小,FOB先減小后增大,當(dāng)θ=90°時(shí),FOB最小,選項(xiàng)B正確。[例7][圖解法的拓展應(yīng)用](多選)如圖所示裝置,兩根細(xì)繩拴住一小球,保持兩細(xì)繩間的夾角θ=120°不變,若把整個(gè)裝置在紙面內(nèi)順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)90°,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,CA繩的拉力F1、CB繩的拉力F2的大小變化情況是(BCD)1先變小后變大1先變大后變小2一直變小2最終變?yōu)榱憬馕?畫(huà)出小球的受力分析圖如圖。構(gòu)建力的矢量三角形,由于這個(gè)三角形中重力不變,另兩個(gè)力間的夾角(180°-θ)保持不變,這類(lèi)似于圓周角與對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)的關(guān)系,作初始三角形的外接圓(任意兩邊的中垂線交點(diǎn)即外接圓圓心),然后讓另兩個(gè)力的交點(diǎn)在圓周上按F1、F2的方向變化規(guī)律滑動(dòng),力的三角形的外接圓正好是以初態(tài)時(shí)的F2為直徑的圓周,知F1先變大后變小,F2一直變小,最終CA沿豎直方向,此時(shí)F1=mg,F2變?yōu)榱?B、C、D正確,A錯(cuò)誤。[例8][相似三角形法](多選)(2022·江蘇連云港模擬)如圖所示,質(zhì)量均為m的小球A、B用勁度系數(shù)為k1的輕彈簧相連,B球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛于O點(diǎn),A球固定在O點(diǎn)正下方,當(dāng)小球B平衡時(shí),細(xì)繩所受的拉力為FT1,彈簧的彈力為F1;現(xiàn)把A、B間的彈簧換成原長(zhǎng)相同但勁度系數(shù)為k2(k2>k1)的另一輕彈簧,在其他條件不變的情況下仍使系統(tǒng)平衡,此時(shí)細(xì)繩所受的拉力為FT2,彈簧的彈力為F2。則下列關(guān)于FT1與FT2、F1與F2大小的比較,正確的是(BC)T1>FT2T1=FT21<F21=F2解析:以B為研究對(duì)象,分析受力情況,如圖所示。由平衡條件可知,彈簧的彈力F和細(xì)繩的拉力FT的合力F合與其重力mg大小相等、方向相反,即F合=mg,由三角形相似得mgOA=FAB=FTOB。當(dāng)彈簧勁度系數(shù)變大時(shí),彈簧的壓縮量減小,故AB的長(zhǎng)度增加,而OB、OA的長(zhǎng)度不變,故FT不變,F變大,則FT1=F考點(diǎn)三平衡中的臨界、極值問(wèn)題當(dāng)某物理量變化時(shí),會(huì)引起其他幾個(gè)物理量的變化,從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”,在問(wèn)題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語(yǔ)言敘述。平衡物體的極值,一般指在力的變化過(guò)程中的最大值和最小值問(wèn)題。(1)極限法:首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過(guò)程分析,找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn);臨界條件必須在變化中去尋找,不能停留在一個(gè)狀態(tài)來(lái)研究臨界問(wèn)題,而要把某個(gè)物理量推向極端,即極大或極小。(2)數(shù)學(xué)分析法:通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析,依據(jù)物體的平衡條件寫(xiě)出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(畫(huà)出函數(shù)圖像),用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。(3)物理分析方法:根據(jù)物體的平衡條件,作出力的矢量圖,通過(guò)對(duì)物理過(guò)程的分析,利用圖解法進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析,確定最大值與最小值。[例9][臨界問(wèn)題]如圖所示,兩個(gè)完全相同的球,重力大小均為G,兩球與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ,假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,一根輕繩兩端分別固定在兩個(gè)球上,在繩的中點(diǎn)施加一個(gè)豎直向上的拉力,當(dāng)繩被拉直后,兩段繩間的夾角為α。問(wèn)當(dāng)F至少為多大時(shí),兩球?qū)?huì)發(fā)生滑動(dòng)?解析:對(duì)O點(diǎn)受力分析,如圖甲所示,由平衡條件得F1=F2=F2cos對(duì)任一球(如右球)受力分析如圖乙所示,球發(fā)生滑動(dòng)的臨界條件是F2′sinα2=μFN又F2′cosα2+FN=G,F2′=F2聯(lián)立解得F=2μG答案:2四步法解決臨界極值問(wèn)題[例10][物理分析方法解決極值問(wèn)題]如圖所示,重力都為G的兩個(gè)小球A和B用三段輕繩連接后懸掛在O點(diǎn)上,O、B間的繩子長(zhǎng)度是2l,A、B間的繩子長(zhǎng)度是l。將一個(gè)拉力F作用到小球B上,使三段輕繩都伸直,同時(shí)O、A間和A、B間的兩段輕繩分別處于豎直和水平方向上,則拉力F的最小值為(A)A.12G B.33G D.解析:對(duì)小球A受力分析可知,因O、A間輕繩豎直,則A、B間輕繩上的拉力為0。對(duì)小球B受力分析如圖所示,則可知當(dāng)F與O、B間輕繩垂直時(shí)F最小,Fmin=Gsinθ,其中sinθ=l2l=12,則Fmin[例11][數(shù)學(xué)分析法解決極值問(wèn)題]如圖所示,質(zhì)量為M的木楔傾角為θ,在水平面上保持靜止,當(dāng)將一質(zhì)量為m的木塊放在木楔斜面上時(shí),它正好勻速下滑。如果用與木楔斜面成α角的力F拉著木塊,木塊能勻速上升,已知木楔在整個(gè)過(guò)程中始終靜止。(1)當(dāng)α為多大時(shí),F有最小值,求此時(shí)α的大小及F的最小值;(2)當(dāng)α=θ時(shí),木楔對(duì)水平面的摩擦力是多大?解析:(1)木塊在木楔斜面上勻速下滑時(shí),有mgsinθ=μmgcosθ,解得μ=tanθ。木塊在F作用下沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng),有Fcosα=mgsinθ+Ff,Fsinα+FN=mgcosθ,Ff=μFN,解得F=2=2=mgsin2則當(dāng)α=θ時(shí),F有最小值,為Fmin=mgsin2θ。(2)因?yàn)槟緣K及木楔均處于平衡狀態(tài),整體受到地面的摩擦力等于F的水平分力,即Ff′=Fcos(α+θ),當(dāng)α=θ,即F取最小值mgsin2θ時(shí),Ff′=Fmincos2θ=mgsin2θcos2θ=12答案:(1)θmgsin2θ(2)121.(2022·廣東廣州三模)如圖所示,為一種傾斜放置的裝取臺(tái)球的裝置,圓筒底部有一輕質(zhì)彈簧,每個(gè)臺(tái)球的質(zhì)量為m,半徑為R,圓筒直徑略大于臺(tái)球的直徑。當(dāng)將筒口處臺(tái)球緩慢取走后,又會(huì)冒出一個(gè)臺(tái)球,剛好到達(dá)被取走臺(tái)球的位置。若圓筒與水平面之間的夾角為θ,重力加速度為g,忽略球與筒間的摩擦力,則彈簧的勁度系數(shù)k的值為(A)A.mgsinθC.mgcosθ解析:球、筒整體處于平衡狀態(tài),受力分析,沿筒方向受力平衡有mgsinθ=ΔF=k·2R,解得k=mgsin2.(2022·廣東卷,1)如圖是可用來(lái)制作豆腐的石磨。木柄AB靜止時(shí),連接AB的輕繩處于繃緊狀態(tài)。O點(diǎn)是三根輕繩的結(jié)點(diǎn),F、F1和F2分別表示三根繩的拉力大小,F1=F2且∠AOB=60°。下列關(guān)系式正確的是(D)A.F=F1 B.F=2F1 C.F=3F1 D.F=3F1解析:以結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象,進(jìn)行受力分析,由平衡條件可得F=2F1cos30°=3F1。3.(2022·廣東廣州階段檢測(cè))元代《王禎農(nóng)書(shū)》記載了戽斗,它是一種小型的人力提水灌田農(nóng)具,形狀像斗,兩邊有繩,靠?jī)扇死K牽斗取水,如圖所示。忽略繩子質(zhì)量,人拉繩子的作用點(diǎn)高度不變,繩子長(zhǎng)度不變,戽斗處于平衡狀態(tài)時(shí),兩人站得越近,則(B)A.繩子越短、繩子對(duì)人的作用力越大B.繩子越長(zhǎng),繩子對(duì)人的作用力越大C.繩子越短,繩子對(duì)戽斗的作用力越大D.繩子越長(zhǎng),繩子對(duì)戽斗的作用力越大解析:戽斗受重力和兩個(gè)拉力,設(shè)拉力與豎直方向的夾角為α,根據(jù)平衡條件,有2Fcosα=mg,解得F=mg2cosα。設(shè)每邊繩子的長(zhǎng)度為L(zhǎng),人的手到水面的距離為h,由幾何關(guān)系可得cosα=4.(多選)如圖,物塊a、b疊放在斜面上,物塊b通過(guò)細(xì)繩跨過(guò)定滑輪與物塊c相連,初始時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。緩慢增大斜面傾角θ,仍保持物塊a、b相對(duì)斜面靜止,忽略繩與滑輪間摩擦,下列說(shuō)法正確的是(BC)解析:物塊b對(duì)物塊a的作用力與a受到的重力平衡,所以物塊b對(duì)物塊a的作用力不變,A錯(cuò)誤;物塊a受到的摩擦力為Ff=magsinθ,隨著傾角θ增大,物塊a受到的摩擦力增大,所以物塊a對(duì)物塊b的摩擦力一定增大,B正確;系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),所以繩子拉力與重物c受到的重力平衡,C正確;如果開(kāi)始斜面對(duì)b的摩擦力方向向下,則對(duì)a、b有(ma+mb)gsinθ+Ff′=mcg,隨著傾角θ增大,斜面對(duì)物塊b的摩擦力先減小再增大,D錯(cuò)誤。5.(2023·廣東深圳測(cè)試)如圖所示,一小球被豎直放置的光滑擋板擋在光滑半球面上?，F(xiàn)水平向右緩慢地移動(dòng)擋板,則在小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中(該過(guò)程小球未脫離球面且球面始終靜止),擋板對(duì)小球的支持力F1、半球面對(duì)小球的支持力F2的變化情況是(B)1增大,F2減小1增大,F2增大1減小,F2減小1減小,F2增大F2=mgcosθ,小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,θ增大,所以F1和F6.(2022·浙江6月選考,10)如圖所示,一輕質(zhì)曬衣架靜置于水平地面上,水平橫桿與四根相同的斜桿垂直,兩斜桿夾角θ=60°。一重為G的物體懸掛在橫桿中點(diǎn),則每根斜桿受到地面的(B)33G334G3解析:根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,四根斜桿對(duì)橫桿的作用力大小相等,設(shè)為F,選擇橫桿和物體為研究對(duì)象,根據(jù)平衡條件有4Fcosθ2=G,解得F=36G,故每根斜桿受到地面的作用力也為對(duì)某根斜桿受力分析如圖,Fsin30°=Ff,解得Ff=3G7.(多選)如圖甲所示,一名登山愛(ài)好者正沿著豎直崖壁向上攀爬,繩的一端固定在較高處的A點(diǎn),另一端拴在人的腰間C點(diǎn)(重心處)。在人向上攀爬的過(guò)程中可以把人簡(jiǎn)化為圖乙所示的物理模型:腳與崖壁接觸點(diǎn)為O點(diǎn),人的重力G全部集中在C點(diǎn),O到C點(diǎn)可簡(jiǎn)化為輕桿,AC為輕繩。已知OC長(zhǎng)度不變,人向上攀爬過(guò)程中的某時(shí)刻AOC構(gòu)成等邊三角形,則(BD)B.在此時(shí)刻,輕繩對(duì)人的拉力大小等于GC.在虛線位置時(shí),輕繩AC承受的拉力更小D.在虛線位置時(shí),OC段承受的壓力大小不變解析:輕繩對(duì)人的拉力與人對(duì)輕繩的拉力是一對(duì)作用力和反作用力,故A錯(cuò)誤;重力、輕繩對(duì)人的拉力、OC的支持力構(gòu)成等邊三角形,所以輕繩對(duì)人的拉力和OC的支持力大小都等于人受到的重力大小G,故B正確;根據(jù)相似三角形,有GOA=FNOC8.(2022·廣東深圳月考)(多選)建筑工地上,工人用滑輪來(lái)提升物體,如圖所示,工人的質(zhì)量為M,物體的質(zhì)量為m,且M>m,若不計(jì)繩與滑輪的摩擦,則當(dāng)人拉著繩向前跨出一步后,人和物體仍保持靜止,則下列說(shuō)法正確的是(BCD)解析:物體始終處于靜止?fàn)顟B(tài),所以繩子對(duì)物體的拉力始終等于mg,則人對(duì)繩的拉力始終等于mg,A錯(cuò)誤;對(duì)人受力分析并正交分解如圖。由平衡條件得FN+mgsinθ=Mg,Ff=mgcosθ,當(dāng)人拉著繩向前跨出一步后,θ將變小,所以Ff=mgcosθ會(huì)變大;又FN=Mg-mgsinθ,故FN也將變大,C、D正確;地面對(duì)人的作用力即摩擦力與支持力的合力,由于Ff和FN都是增大的,所以地面對(duì)人的作用力也是增大的,由牛頓第三定律知,人對(duì)地面的作用力增大,B正確。9.(多選)如圖所示,質(zhì)量為m=5kg的物體放在水平面上,物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=33,g取10m/s2下列說(shuō)法正確的是(AD)A.牽引力F的最小值為25N253°°解析:物體受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff和拉力F的共同作用,將聯(lián)立解得F=μmgcosθ+μsinθ,設(shè)tan=μ,則cos=11+μ2,所以有F=μmgFmin=μmg1+μ2=25N,tan=μ=33,得=30°,θ=3010.(2022·廣東廣州階段檢測(cè))如圖甲為某種家用雙層晾衣籃,可用于晾曬襪子、手套、小玩具等輕小物品或羊毛衫等容易變形的衣物。圖中上、下