數(shù)學學案（新人教B版）第三章37利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點考試要求函數(shù)零點問題在高考中占有很重要的地位，主要涉及判斷函數(shù)零點的個數(shù)或范圍．高考常考查三次函數(shù)與復合函數(shù)的零點問題，以及函數(shù)零點與其他知識的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)．題型一利用函數(shù)性質研究函數(shù)的零點例1已知函數(shù)f(x)＝xsinx－1.(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的單調性；(2)證明：函數(shù)y＝f(x)在[0，π]上有兩個零點．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用函數(shù)性質研究函數(shù)的零點，主要是根據(jù)函數(shù)單調性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結合的方法確定函數(shù)存在零點的條件．跟蹤訓練1(2023·蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a－1)lnx＋eq\f(1,x)－2，a∈R.(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)只有一個零點，求a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二數(shù)形結合法研究函數(shù)的零點例2(2023·鄭州質檢)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)求函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù)，可轉化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點個數(shù)．跟蹤訓練2(2023·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx－2eq\r(x).(1)若a＝2，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在(0,16]上有兩個零點，求a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三構造函數(shù)法研究函數(shù)的零點例3(12分)(2022·新高考全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－lnx有相同的最小值．(1)求a；[切入點：求f(x)，g(x)的最小值](2)證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．[關鍵點：利用函數(shù)的性質與圖象判斷ex－x＝b，x－lnx＝b的解的個數(shù)及解的關系]思維升華涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題，主要利用導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間內的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關系，從而求得參數(shù)的取值范圍．跟蹤訓練3(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\f(xa,ax)(x>0)．(1)當a＝2時，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________