曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)-《微分幾何》復(fù)習(xí)資料

《微分幾何》復(fù)習(xí)資料1一判斷題1.曲面的結(jié)構(gòu)方程指的是Gauss-Bonnet公式（）。2.任何曲面上的直線都是測地線（）。3.曲面的第一基本形式與參數(shù)的選取無關(guān)()。4.圓柱面上的直線都是測地線（）。5.兩曲面的第二基本形式不同則其Gauss曲率不同()。6.如果一個一一對應(yīng)保持兩張曲面間的任意曲線的長度不變，則稱該對應(yīng)為這兩個曲面的等距變換（）。7.曲面的第一、二基本形式都與參數(shù)的選取無關(guān)()。8.兩曲面的第二基本形式與其主曲率沒有關(guān)系()。9.可以作為曲面的第一基本形式（）。0.曲面的協(xié)變微分是平面上普通微分的推廣()。二計算題1.求曲面上曲線的曲率、沿此曲線切方向曲面的法曲率、以及此曲線的測地曲率.2.求二次曲面的法曲率。3.求曲線在原點的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。三問答題證明如果曲線的切線過定點，則該曲線一定是直線。答案一判斷題1-5FTTTF6-10TFFFT二計算題1.求曲面上曲線的曲率、沿此曲線切方向曲面的法曲率、以及此曲線的測地曲率.2.求二次曲面的法曲率。3.求曲線在原點的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。三問答題證明如果曲線的切線過定點，則該曲線一定是直線?！段⒎謳缀巍窂?fù)習(xí)資料2一、計算題1、在曲線x=coscost，y=cossint，z=tsin的副法線的正向取單位長，求其端點組成的新曲線的密切平面。2、已知曲線，=1\*GB2⑴求基本向量；=2\*GB2⑵曲率和撓率。3、求出拋物面在(0，0)點沿方向(dx:dy)的法曲率。4、求曲面上曲線的曲率、沿此曲線切方向曲面的法曲率、以及此曲線的測地曲率.二、證明題1、證明曲面是可展曲面。2、向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是（）=0。

答案一、計算題1、解：={-cossint，coscost，sin}，={-coscost，-cossint，0}{sinsint，-sincost，cos}新曲線的方程為={coscost+sinsint，cossint-sincost，tsin+cos}對于新曲線={-cossint+sincost，coscost+sinsint，sin}={sin(-t)，cos(-t)，sin}，={-cos(-t)，sin(-t)，0}，其密切平面的方程是即sinsin(t-)x–sincos(t-)y+z–tsin–cos=0.10分2、=1\*GB2⑴，（設(shè)sintcost>0），則，，，，=2\*GB2⑵，，由于與方向相反，所以3、解，，，，E=1，F(xiàn)=0，G=1，L=a，M=0，N=b，沿方向dx:dy的法曲率4、曲線，易見，，計算曲線的兩個基本向量可得：，曲面沿曲線的法向量為，所以所求的法曲率為：曲線的測地曲率為：二、證明題1、證明：我們證明曲面是一個高斯曲率為零的直紋面。由于從而曲面是直紋面。又因為，所以高斯曲率為零故曲面是可展曲面2、若平行于一固定平面π，設(shè)是平面π的一個單位法向量，則為常向量，且·=0。兩次求微商得·=0，·=0，即向量，，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0反之，若（）=0，則有×=或×。若×=，由上題知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若×，則存在數(shù)量函數(shù)、，使=+①令=×，則，且⊥。對=×求微商并將①式代入得=×=（×）=，于是×=，由上題知有固定方向，而⊥，即平行于固定平面

《微分幾何》復(fù)習(xí)資料3一、填空題1、設(shè)曲線C是連接曲面上兩點的長度最短的曲面上的曲線，則C是。2、曲面S在點沿非零切向量的法曲率定義為。3、設(shè)空間曲線的曲率，則該空間曲線落在某個平面上的充要條件是。4、可展曲面的高斯曲率等于。5、曲面的內(nèi)蘊量是____變換下的不變量。6、利用主曲率計算曲面法曲率的Euler公式是。二、計算題求雙曲面的第一、第二基本形式。求雙曲面在（0，0）點的平均曲率和高斯曲率。求曲線的曲率和撓率。求拋物面在（0，0）點的主曲率。

答案一、填空題1、測地線2、3、4