初中數(shù)學(xué)-1.4角平分線教學(xué)課件設(shè)計

第一章

三角形的證明

4角平分線（2）

學(xué)習(xí)目標

1.能夠證明三角形的三條角平分線交于一點且這一點到三條邊的距離相等；2.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運用知識回顧1.角平分線的性質(zhì)定理定理：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.如圖,∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等)這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.CB1A2PDEO2.角平分線的判定定理定理：在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.2.角平分線的判定定理定理：在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.這個結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.CB1A2PDEO剪一個三角形紙片通過折疊找出每個角的平分線.觀察這三條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么?你想證明這個命題嗎?你能證明這個命題嗎?結(jié)論:三角形三個角的平分線相交于一點.利用尺規(guī)作出三角形三個角的角平分線.觀察這三條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么?結(jié)論:三角形三個角的角平分線相交于一點.你想證明這個命題嗎?你能證明這個命題嗎?探究新知

如何證三條直線交于一點？命題:三角形三個角的平分線相交于一點.基本思路:我們知道,兩條直線相交只有一個交點.要想證明三條直線相交于一點,只要能證明兩條直線的交點在第三條直線上即可.這時可以考慮前面剛剛學(xué)到的逆定理.如圖,設(shè)△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,過點P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別E,F,D.∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.思考分析∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部,且到角兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上)，并且PD=PE=PF.∴△ABC的三條角平分線相交于一點P，并且P點到三條邊的距離相等.DEFABCPMN定理:三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC∴BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等).這又是一個證明三條直線交于一點的根據(jù)之一，這個交點叫做三角形的內(nèi)心.ABCPMNHDEF例3.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,垂足為E.(1)如果CD=4cm,求AC的長;解（1）∵AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等邊對等角)∵∠C=90°∴∠B=45°∴∠BDE=90°-

45°=45°∴BE=DE

在等腰直角三角形BDE中EDABC隨堂練習(xí)1.如圖：直線L1、L2、L3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？l3l21lCBA2.

已知:如圖,∠C=90°,∠B=30°,AD是Rt△ABC的角平分線.

求證:BD=2CD.證明：

∵∠C=90°，

∠B=30°

∴Rt△ABC中，AB=2AC,∠BAC=60°

∵AD是△ABC的角平分線

∴∠BAD=∠DAC=30°,AD=BD

∴Rt△ACD中，AD=2CD

∴BD=2CDABCD3.已知:如圖,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分線相交于點F.

求證:點F在∠DAE的平分線上.證明：

∵

BF是∠CBD的角平分線∴

F到BC,AD的距離相等

∵

CF是∠BCE的角平分線∴

F到BC,AE的距離相等∴

F到AD,AE的距離相等從而點F在∠DAE的平分線上.ABCFDE4.

已知:如圖,P是∠AOB平分線上的一個點，并且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D.求證:(1)OC=OD;證明：(1)∵P是∠AOB平分線上的一個點，PC⊥OA,PD⊥OB∴PC=PD

在

Rt△POC和Rt△POD，OP=OP

∴Rt△POC≌

Rt△POD

∴OC=ODBAPDCO課堂小結(jié)1.定理:三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.2.比較三角形三邊的垂直