北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊教案全冊

第一章勾股定理

1.探索勾股定理（第1課時(shí)）

一、學(xué)生起點(diǎn)分析

八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力.在小學(xué)，他們已學(xué)習(xí)了

一些幾何圖形面積的計(jì)算方法（包括割補(bǔ)法），但運(yùn)用面積法和割補(bǔ)思想解決問題的意識(shí)

和能力還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.部分學(xué)生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認(rèn)識(shí)什么是“勾股

定理”.此外，學(xué)生普遍學(xué)習(xí)積極性較高，探究意識(shí)較強(qiáng)，課堂活動(dòng)參與較主動(dòng)，但合作

交流能力和探究能力有待加強(qiáng).

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書北師大版八年級(jí)（上）第一章《勾股定理》第一節(jié)

第1課時(shí).勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來,

在數(shù)學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的作用.本節(jié)是直角三角形相關(guān)知識(shí)的延續(xù)，同時(shí)也

是學(xué)生認(rèn)識(shí)無理數(shù)的基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)承前啟后的緊密相關(guān)性、連續(xù)性.此外，

歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，其中蘊(yùn)涵著豐富的科學(xué)與人文價(jià)值.

為此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.用數(shù)格子（或割、補(bǔ)、拼等）的辦法體驗(yàn)勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映

的直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，會(huì)初步運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算和實(shí)際運(yùn)用.

2.讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察一猜想一歸納一驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和特殊到一般

的思想方法.

3.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡單推理的意識(shí)及能力；進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊

密聯(lián)系.

4.在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理在中國古代的

研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化歷史，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí).

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)

勾股定理；第三環(huán)節(jié)：勾股定理的簡單應(yīng)用；第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

1.探究活動(dòng)一

內(nèi)容：投影顯示如下地板磚示意圖，引導(dǎo)學(xué)生從面積角度觀察圖形:

問：你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個(gè)正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？

學(xué)生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：

結(jié)論1以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊

長的正方形的面積.

意圖：從觀察實(shí)際生活中常見的地板磚入手，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊.通過

對(duì)特殊情形的探究得到結(jié)論1,為探究活動(dòng)二作鋪墊.

效果：1.探究活動(dòng)一讓學(xué)生獨(dú)立觀察，自主探究，培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣和能力；2.通

過探索發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生得到成功體驗(yàn)，激發(fā)進(jìn)一步探究的熱情和愿望.

2.探究活動(dòng)二

內(nèi)容：由結(jié)論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質(zhì)呢？

(1)觀察下面兩幅圖：

（2）填表:

A的面積B的面積C的面積

（單位面積）（單位面積）（單位面積）

左圖

右圖

（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流.（學(xué)生可能會(huì)做出多種方法，教

師應(yīng)給予充分肯定.）

學(xué)生的方法可能有：

方法一：

如圖1,將正方形C分割為四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，

Sc=4x-^x2x3+l=13.

方法二：

如圖2,在正方形C外補(bǔ)四個(gè)全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面積減

去四個(gè)直角三角形的面積，

方法三：

如圖3,正方形C中除去中間5個(gè)小正方形外，將周圍部分適當(dāng)拼接可成為正方形，如

圖3中兩塊紅色（或兩塊綠色）部分可拼成一個(gè)小正方形，按此拼法，“上、

（4）分析填表的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過分析數(shù)據(jù)，歸納出：

結(jié)論2以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的

正方形的面積.

意圖：探究活動(dòng)二意在讓學(xué)生通過觀察、計(jì)算、探討、歸納進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)一般直角三角

形的性質(zhì).由于正方形C的面積計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，為此設(shè)計(jì)了一個(gè)交流環(huán)節(jié).

效果：學(xué)生通過充分討論探究，在突破正方形C的面積計(jì)算這一難點(diǎn)后得出結(jié)論2.

3.議一議

內(nèi)容：（1）你能用直角三角形的邊長，6,c,來表示上圖中正方形的面積嗎？

（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？

（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測量斜邊的長度.2中

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用“，b,c分別表示

直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么

數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形'

中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定勾

理”因此而得名.（在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理）股

意圖：議一議意在讓學(xué)生在結(jié)論2的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)直角三

角形三邊關(guān)系，得到勾股定理.

效果：1.讓學(xué)生歸納表述結(jié)論，可培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力及語言表達(dá)能力；2.通

過作圖培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力.

第三環(huán)節(jié)：勾股定理的簡單應(yīng)用

內(nèi)容：

例題如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面10m

處折斷倒下，樹頂落在離樹根24m處.大樹在折斷之前高多少？

（教師板演解題過程）

練習(xí)：

1.基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：

求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長度（口答）：

2.生活中的應(yīng)用：

小明媽媽買了一部29in（74cm）的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有

58cm長和46cm寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了.你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什

么嗎？

意圖：練習(xí)第1題是勾股定理的直接運(yùn)用，意在鞏固基礎(chǔ)知識(shí).

效果：例題和練習(xí)第2題是實(shí)際應(yīng)用問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，

意在培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí).運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.

第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

內(nèi)容：

教師提問：

1.這一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和思想方法？

2.對(duì)這些內(nèi)容你有什么體會(huì)？與同伴進(jìn)行交流.

在學(xué)生自由發(fā)言的基礎(chǔ)上，師生共同總結(jié)：

1.知識(shí)：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用“，〃，。

分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么不+b-.

2.方法：（1）觀察—探索—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納—應(yīng)用；

（2）“割、補(bǔ)、拼、接”法.

3.思想：（1）特殊—一般—特殊；

（2）數(shù)形結(jié)合思想.

意圖：鼓勵(lì)學(xué)生積極大膽發(fā)言，可增進(jìn)師生、生生之間的交流、互動(dòng).

效果：通過暢談收獲和體會(huì)，意在培養(yǎng)學(xué)生口頭表達(dá)和交流的能力，增強(qiáng)不斷反思總

結(jié)的意識(shí).

第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

內(nèi)容：布置作業(yè)：1.教科書習(xí)題1.1.

2.觀察下圖，探究圖中三角形的三邊長是否滿足學(xué)。?

意圖：課后作業(yè)設(shè)計(jì)包括了三個(gè)層面：作業(yè)1是為了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)而設(shè)計(jì)；作業(yè)2是為

了擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面；作業(yè)3是為了拓廣知識(shí)，進(jìn)行課后探究而設(shè)計(jì)，通過此題可讓學(xué)生進(jìn)

一步認(rèn)識(shí)勾股定理的前提條件.

效果：學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)本課知識(shí)的理解和掌握.

五、教學(xué)反思

第一章勾股定理

1.探索勾股定理（第2課時(shí)）

一、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加、減、乘、除運(yùn)算和等式的

基本性質(zhì)，并能進(jìn)行簡單的恒等變形；上節(jié)課又已經(jīng)通過測量和數(shù)格子的方法，對(duì)具體的

直角三角形探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但沒有對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行驗(yàn)證.

學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生在以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)經(jīng)歷了很多獨(dú)立探究和合作學(xué)習(xí)的過

程，具有了一定的自主探究經(jīng)驗(yàn)和合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的探究能力和合作與交流

的能力；學(xué)生在七年級(jí)《七巧板》及《圖案設(shè)計(jì)》的學(xué)習(xí)中已經(jīng)具備了一定的拼圖活動(dòng)經(jīng)

驗(yàn).

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課是八（上）勾股定理第1節(jié)第2課時(shí)，是在上節(jié)課已探索得到勾股定理之后的

內(nèi)容，具體學(xué)習(xí)任務(wù)：通過拼圖驗(yàn)證勾股定理并體會(huì)其中數(shù)形結(jié)合的思想；應(yīng)用勾股定理

解決一些實(shí)際問題，體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值并逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題意識(shí)

和能力，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).為此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.掌握勾股定理及其驗(yàn)證，并能應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.

2.在上節(jié)課對(duì)具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷勾股定理的驗(yàn)證

過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的驗(yàn)證活動(dòng)中，培養(yǎng)探究能力和合作精神；通過對(duì)勾股定理歷史的了解,

感受數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)愛國情感，并通過應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

用面積法驗(yàn)證勾股定理，應(yīng)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題是本節(jié)課的重點(diǎn).

三、教學(xué)過程

本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：（一）復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入；（二）小組活動(dòng)，拼圖驗(yàn)證;

（三）延伸拓展，能力提升（四）例題講解，初步應(yīng)用；（五）追溯歷史，激發(fā)情感；；

（六）回顧反思，提煉升華；（七）布置作業(yè)，課堂延伸.

第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入

內(nèi)容：教師提出問題：

（1）勾股定理的內(nèi)容是什么？（請(qǐng)一名學(xué)生回答）

（2）上節(jié)課我們僅僅是通過測量和數(shù)格子，對(duì)具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理,

對(duì)一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？這需要進(jìn)一步驗(yàn)證，如何驗(yàn)證勾股定理呢？

事實(shí)上，現(xiàn)在已經(jīng)有幾百種勾股定理的驗(yàn)證方法，這節(jié)課我們也將去驗(yàn)證勾股定理.

意圖：（1）復(fù)習(xí)勾股定理內(nèi)容；（2）回顧上節(jié)課探索過程，強(qiáng)調(diào)仍需對(duì)一般的直角三

角形進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；（3）介紹世界上有數(shù)百種驗(yàn)證方法，激發(fā)學(xué)生

興趣.

效果：通過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需進(jìn)行驗(yàn)證.

當(dāng)學(xué)生聽到有數(shù)百種驗(yàn)證方法時(shí)，馬上就有了去尋求屬于自己的方法的渴望.

第二環(huán)節(jié)：小組活動(dòng)，拼圖驗(yàn)證.

內(nèi)容：活動(dòng)1:教師導(dǎo)入，小組拼圖.

教師：今天我們將研究利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全

等的直角三角形，拼出一個(gè)以斜邊為邊長的正方形.（請(qǐng)每位同學(xué)用2分鐘時(shí)間獨(dú)立拼圖，

然后再4人小組討論.）

活動(dòng)2：層層設(shè)問，完成驗(yàn)證一.

學(xué)生通過自主探究，小組討論得到兩個(gè)圖形:

??

圖1圖2

在此基礎(chǔ)上教師提問：

（1）如圖1你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？（學(xué)生先獨(dú)立思考，再

4人小組交流）；

（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上板書（a+b）2=4X

lab+c2.并得到莘，f）

從而利用圖1驗(yàn)證了勾股定理.

活動(dòng)3：自主探究，完成驗(yàn)證二.

教師小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，聯(lián)系整式運(yùn)算

的有關(guān)知識(shí)，從理論上驗(yàn)證了勾股定理，你還能利用圖2驗(yàn)證勾股定理嗎？

（學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組交流，最后請(qǐng)一個(gè)小組同學(xué)上臺(tái)講解驗(yàn)證方法二）

意圖：設(shè)計(jì)活動(dòng)1的目的是為了讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的驗(yàn)

證作鋪墊，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、創(chuàng)新能力.在活動(dòng)2中，學(xué)生在教師的層層設(shè)問引導(dǎo)下

完成對(duì)勾股定理的驗(yàn)證，完成本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.設(shè)計(jì)活動(dòng)3,讓學(xué)生利用另一個(gè)拼圖

獨(dú)立驗(yàn)證勾股定理的目的是讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想并體會(huì)成功的快樂.

效果：學(xué)生通過先拼圖從形上感知，再分析面積驗(yàn)證，比較容易地掌握了本節(jié)課的重

點(diǎn)內(nèi)容之一，并突破了本節(jié)課的難點(diǎn).

第三環(huán)節(jié)延伸拓展，能力提升

1.議一議:觀察下圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足。2+乂=/

2.一個(gè)直角三角形的斜邊為20cm，且兩直角邊長度比為3:4,求兩直角邊的長。

意圖：在前面已經(jīng)討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系，那么銳角三角形或鈍角三角

形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？學(xué)生通過數(shù)格子的方法可以得出：如果一個(gè)三角形不

是直角三角形，那么它的三邊"c不滿足。2+/=。2。通過這個(gè)結(jié)論，學(xué)生將對(duì)直角三角

形三邊的關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，并為后續(xù)直角三角形的判別打下基礎(chǔ)。

第四環(huán)節(jié)：例題講解初步應(yīng)用

內(nèi)容：例題：飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩子頭頂上方4000米

處，過了20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩子頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？

意圖：（1）初步運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力；（2）

體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值.

效果：學(xué)生對(duì)這樣的實(shí)際問題很感興趣，基本能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并順利解

決.

第五環(huán)節(jié)：追溯歷史激發(fā)情感

活動(dòng)內(nèi)容：由學(xué)生利用所搜集的與勾股定理相關(guān)的資料進(jìn)行介紹.

國內(nèi)調(diào)查組報(bào)告：用圖2驗(yàn)證勾股定理的方法，據(jù)載最早是三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在為

《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，我國歷史上將圖2弦上的正方形稱為弦圖.2002年的數(shù)學(xué)家

大會(huì)（ICM-2002）在北京召開，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的弦圖，這既

標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們！

國際調(diào)查組報(bào)告：勾股定理與第一次數(shù)學(xué)危機(jī).

約公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希帕索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí),

一個(gè)正方形的對(duì)角線的長度是不可公度的.按照畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形邊長

是1,則對(duì)角線的長不是一個(gè)有理數(shù)，它不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比，這一事實(shí)不但與畢氏

學(xué)派的哲學(xué)信念大相徑庭，而且建立在任何兩個(gè)線段都可以公度基礎(chǔ)上的幾何學(xué)面臨被推

翻的威脅，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)由此爆發(fā).據(jù)說，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)希帕索斯的發(fā)現(xiàn)十分惶恐、

惱怒，為了保守秘密，最后將希帕索斯投入大海.

不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá).芬奇稱之為“無理的數(shù)”，

無理數(shù)的英文“irrational”原義就是“不可比”.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)一直持續(xù)到19世紀(jì)實(shí)

數(shù)的基礎(chǔ)建立以后才圓滿解決.我們將在下一章學(xué)習(xí)有關(guān)實(shí)數(shù)的知識(shí).

趣聞?wù){(diào)查組報(bào)告：勾股定理的總統(tǒng)證法.

在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞

黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地

談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討.由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個(gè)小孩走去，想

搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么.只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在

地上畫著一個(gè)直角三角形……

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下

的難題.他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理,并給

出了簡潔的證明方法.

1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理

的這一證法.

1881年，這位中年人一伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾

股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法.

說明：這個(gè)環(huán)節(jié)完全由學(xué)生來組織開展，教師可在兩天前布置任務(wù)，讓部分同學(xué)收集

勾股定理的資料，并在上課前拷貝到教師用的課件中便于展示，內(nèi)容可靈活安排.

意圖：（1）介紹與勾股定理有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情；（2）學(xué)生加強(qiáng)了對(duì)數(shù)

學(xué)史的了解，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；（3）通過讓部分學(xué)生搜集材料，展示材料，既讓學(xué)生

得到充分的鍛煉，同時(shí)也活躍了課堂氣氛.

效果：學(xué)生熱情高漲，對(duì)勾股定理的歷史充滿了濃厚的興趣，同時(shí)也為中國古代數(shù)學(xué)

的成就感到自豪.也有同學(xué)提出：當(dāng)代中國數(shù)學(xué)成就不夠強(qiáng)，還應(yīng)發(fā)奮努力.有同學(xué)能意識(shí)

這一點(diǎn)，這讓我喜出望外.

第六環(huán)節(jié)：回顧反思提煉升華

內(nèi)容：教師提問：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么樣的收獲？師生共同暢談收獲.

目的：（1）歸納出本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）教師了解學(xué)生對(duì)本

節(jié)課的感受并進(jìn)行總結(jié)；（3）培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.

效果：由于這節(jié)課自始至終都注意了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，所以學(xué)生談的收獲很多，

包括利用拼圖驗(yàn)證勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生對(duì)勾股定理的歷史的感悟及對(duì)勾

股定理應(yīng)用的認(rèn)識(shí)等等.

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，課堂延伸

內(nèi)容：教師布置作業(yè)

1.習(xí)題1.21,2,3

2.上網(wǎng)或查閱有關(guān)書籍，搜集至少1種勾股定理的其它證法，至少1個(gè)勾股定理的應(yīng)

用問題，一周后進(jìn)行展評(píng).

意圖：（1）鞏固本節(jié)課的內(nèi)容.（2）充分發(fā)揮勾股定理的育人價(jià)值.

六、教學(xué)反思

第一章勾股定理

2.一定是直角三角形嗎

一、學(xué)生知識(shí)狀況分析

學(xué)生已經(jīng)了勾股定理，并在先前其他內(nèi)容學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了一定的逆向思維、逆向研

究的經(jīng)驗(yàn)，如：已知兩直線平行，有什么樣的結(jié)論？反之，滿足什么條件的兩直線是平行？

因而，本課時(shí)由勾股定理出發(fā)逆向思考獲得逆命題，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)具備這樣的意識(shí)，但具

體研究中，可能要用到反證等思路，對(duì)現(xiàn)階段學(xué)生而言可能還具有一定困難，需要教師適

時(shí)的引導(dǎo)。

二、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)（上）第一章《勾股定理》第2節(jié)。教學(xué)任務(wù)有：探索勾股

定理的逆定理，并利用該定理根據(jù)邊長判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，利用該定理解

決一些簡單的實(shí)際問題；通過具體的數(shù)，增加對(duì)勾股數(shù)的直觀體驗(yàn)。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是:

1.理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容及勾股數(shù)的概念；

2.能根據(jù)所給三角形三邊的條件判斷三角形是否是直角三角形；

3.經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力、歸納能力；

4.體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、

用數(shù)學(xué)的興趣；

教學(xué)重點(diǎn)

理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容。

三、教法學(xué)法

1.教學(xué)方法：實(shí)驗(yàn)一猜想一歸納一論證

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是初二學(xué)生,他們的參與意識(shí)較強(qiáng)，思維活躍,對(duì)通過實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)

結(jié)論已有一定的體驗(yàn)，但數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑢W(xué)總是心存疑慮，利用邏輯推理的方式，讓同

學(xué)心服口服顯得非常迫切，為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，我力求從以下三個(gè)方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行

引導(dǎo)：

(1)從創(chuàng)設(shè)問題情景入手,通過知識(shí)再現(xiàn),孕育教學(xué)過程;

(2)從學(xué)生活動(dòng)出發(fā),通過以舊引新，順勢教學(xué)過程；

(3)利用探索,研究手段,通過思維深入，領(lǐng)悟教學(xué)過程。

2.課前準(zhǔn)備

教具：教材、電腦、多媒體課件。

學(xué)具：教材、筆記本、課堂練習(xí)本、文具。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：小

試牛刀；第四環(huán)節(jié)：登高望遠(yuǎn)；第五環(huán)節(jié)：鞏固提高；第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：

布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：情境引入

內(nèi)容：

情境：1.直角三角形中，三邊長度之間滿足什么樣的關(guān)系？

2.如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是否

就是直角三角形呢？

意圖：通過情境的創(chuàng)設(shè)引入新課，激發(fā)學(xué)生探究熱情。

效果：從勾股定理逆向思維這一情景引入，提出問題，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，為下一

環(huán)節(jié)奠定了良好的基礎(chǔ)。

第二環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容1:探究

下面有三組數(shù)，分別是一個(gè)三角形的三邊長“也C,①5,12,13；②7,24,25；③8,

15,17；并回答這樣兩個(gè)問題：

1.這三組數(shù)都滿足嗎？

2.分別以每組數(shù)為三邊作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？學(xué)生

分為4人活動(dòng)小組，每個(gè)小組可以任選其中的一組數(shù)。

意圖：通過學(xué)生的合作探究，得出“若一個(gè)三角形的三邊長八,滿足;則

這個(gè)三角形是直角三角形”這一結(jié)論；在活動(dòng)中體驗(yàn)出數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、

歸納、猜想和驗(yàn)證的過程，同時(shí)遵循由“特殊一一般一特殊”的發(fā)展規(guī)律。

效果：經(jīng)過學(xué)生充分討論后，匯總各小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：①5,12,13滿足/+/=小

可以構(gòu)成直角三角形；②7,24,25滿足可以構(gòu)成直角三角形；③8,15,17

滿足標(biāo)+%2=5,可以構(gòu)成直角三角形。

從上面的分組實(shí)驗(yàn)很容易得出如下結(jié)論：

如果一個(gè)三角形的三邊長a,0,c,滿足/+/=/,那么這個(gè)三角形是直角三角形

內(nèi)容2：說理

提問：有同學(xué)認(rèn)為測量結(jié)果可能有誤差，不同意這個(gè)發(fā)現(xiàn)。你認(rèn)為這個(gè)發(fā)現(xiàn)正確嗎？

你能給出一個(gè)更有說服力的理由嗎？

意圖：讓學(xué)生明確，僅僅基于測量結(jié)果得到的結(jié)論未必可靠，需要進(jìn)一步通過說理等方

式使學(xué)生確信結(jié)論的可靠性，同時(shí)明晰結(jié)論：

如果一個(gè)三角形的三邊長a,4c,滿足42+/=?2,那么這個(gè)三角形是直角三角形

滿足a2+b-=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

注意事項(xiàng)：為了讓學(xué)生確認(rèn)該結(jié)論，需要進(jìn)行說理，有條件的班級(jí)，還可利用幾何畫

板動(dòng)畫演示，讓同學(xué)有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。

活動(dòng)3：反思總結(jié)

提問：

1.同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？

2.今天的結(jié)論與前面學(xué)習(xí)勾股定理有哪些異同呢？

3.到今天為止，你能用哪些方法判斷一個(gè)三角形是直角三角形呢？

4.通過今天同學(xué)們合作探究，你能體驗(yàn)出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)要經(jīng)歷哪些過程呢？

意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)該定理與勾股定理之間的關(guān)系

第三環(huán)節(jié)：小試牛刀

內(nèi)容:

1.下列哪幾組數(shù)據(jù)能作為直角三角形的三邊長？請(qǐng)說明理由。

①9,12,15；②15,36,39；③12,35,36；④12,18,22

解答:①②

2.一個(gè)三角形的三邊長分別是——，則這個(gè)三角形的面積是（）

A250SB150c加C200cm2D不能確定

解答:B

3.如圖，在AA8C中，AO_L8c于。，8￡>=9,4）=12,AC=2O,則18。是（）

A等腰三角形B銳角三角形A

C直角三角形D鈍角三角形/

解答:cL

4.將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三尾形魅（）C

A直角三角形B銳角三角形

C鈍角三角形D不能確定

解答:A

意圖：通過練習(xí)，加強(qiáng)對(duì)勾股定理及勾股定理逆定理認(rèn)識(shí)及應(yīng)用

效果：每題都要求學(xué)生獨(dú)立完成（5分鐘），并指出各題分別用了哪些知識(shí)。

第四環(huán)節(jié)：登高望遠(yuǎn)

內(nèi)容：

1.一個(gè)零件的形狀如圖2所示，按規(guī)定這個(gè)零件中都應(yīng)是直角。工人師傅量

得這個(gè)零件各邊尺寸如圖3所示，這個(gè)零件符合要求嗎？

圖3

222

解答:符合要求=S,.?.ZZMB=90。J?v5+12=13,AZDBC=90°

2.一艘在海上朝正北方向航行的輪船，航行240海里時(shí)方位儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長指

揮船左傳90°,繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你能判斷船轉(zhuǎn)彎后，是否沿正

西方向航行？

解答:由題意畫出相應(yīng)的圖形

AB=240海里,BC=70海里,,AC=250海里;在ANBC中

AC2-AB2=2502-2402=(250+240)(250-240)

=4900=7N=BC2即+BC)=AC2.,.△ABC是RtA

答:船轉(zhuǎn)彎后，是沿正西方向航行的。

意圖：利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問題，進(jìn)一步鞏固該定理。

效果：學(xué)生能用自己的語言表達(dá)清楚解決問題的過程即可；利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系

/+/=C2判斷一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，當(dāng)遇見數(shù)據(jù)較大時(shí)，要懂得將/+/=/作適當(dāng)

變形(。2-/=冷,以便于計(jì)算。

第五環(huán)節(jié)：鞏固提高

內(nèi)容：

1.如圖4,在正方形ABCD中，AB=4,AE=2,DF=1,圖中有幾個(gè)直角三角形，

你是如何判斷的？與你的同伴交流。

解答:4個(gè)直角三角形,它們分別是AABE、ADEF.ABCF.ABEF

2.如圖5,哪些是直角三角形，哪些不是，說說你的理由？

圖4圖5

解答:④⑤是直角三角形,①②③⑥不是直角三角形

意圖：

第一題考查學(xué)生充分利用所學(xué)知識(shí)解決問題時(shí)，考慮問題要全面，不要漏解；第二題

在于考查學(xué)生如何利用網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算，從而解決問題。

效果：

學(xué)生在對(duì)所學(xué)知識(shí)有一定的熟悉度后，能夠快速做答并能簡要說明理由即可。注意防

漏解及網(wǎng)格的應(yīng)用。

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

內(nèi)容：

師生相互交流總結(jié)出：

1.今天所學(xué)內(nèi)容①會(huì)利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角

形；②滿足標(biāo)+。2=^的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；

2.從今天所學(xué)內(nèi)容及所作練習(xí)中總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)與方法：①數(shù)學(xué)是源于生活又服務(wù)于生

活的；②數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過程，同時(shí)遵循由“特殊

f一般一特殊”的發(fā)展規(guī)律；③利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角

三角形時(shí)，當(dāng)遇見數(shù)據(jù)較大時(shí)，要懂得將作適當(dāng)變形，便于計(jì)算。

意圖：

鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會(huì)到勾股定理及其逆定理的廣泛

應(yīng)用及它們的悠久歷史；敢于面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，并有獨(dú)立克服困難和運(yùn)用知識(shí)解決

問題的成功經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)的信心和能力，初步形成積

極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí)。

效果：

學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)出利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系標(biāo)+/=,2

判斷一個(gè)三角形是直角三角形從古至今在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用。

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

課本習(xí)題1.3第1,2,4題。

五、教學(xué)反思：

第一章勾股定理

3.勾股定理的應(yīng)用

一、學(xué)生知識(shí)狀況分析

本節(jié)將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實(shí)際問題，其中需要學(xué)生了解空間圖

形、對(duì)一些空間圖形進(jìn)行展開、折疊等活動(dòng).學(xué)生在學(xué)習(xí)七年級(jí)上第一章時(shí)對(duì)生活中的立

體圖形已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，并從事過相應(yīng)的實(shí)踐活動(dòng)，因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問題

所需的知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)（上）第一章《勾股定理》第3

節(jié).具體內(nèi)容是運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題.當(dāng)然，在這些具體問題的

解決過程中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實(shí)踐活動(dòng)，這些都有

助于發(fā)展學(xué)生的分析問題、解決問題能力和應(yīng)用意識(shí)；一些探究活動(dòng)具體一定的難度，需

要學(xué)生相互間的合作交流，有助于發(fā)展學(xué)生合作交流的能力.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

2.在將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)

建模的思想.

3.在利用勾股定理解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性.

利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題是本

節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).

四、教法學(xué)法

1.教學(xué)方法

引導(dǎo)一探究一歸納

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是初二學(xué)生，他們的參與意識(shí)教強(qiáng)，思維活躍，為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的

教學(xué)目標(biāo)，我力求以下三個(gè)方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：

(1)從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過知識(shí)再現(xiàn)，孕育教學(xué)過程；

(2)從學(xué)生活動(dòng)出發(fā)，順勢教學(xué)過程；

(3)利用探索研究手段，通過思維深入，領(lǐng)悟教學(xué)過程.

2.課前準(zhǔn)備

教具：教材、電腦、多媒體課件.

學(xué)具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習(xí)本、文具.

五、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：做

一做；第四環(huán)節(jié)：小試牛刀；第五環(huán)節(jié)：舉一反三；第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：布

置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)：情境引入

內(nèi)容：

情景1：多媒體展示：

提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？

情景2：

如圖：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在

8處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處/人工三J爬向

B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

意圖：

通過情景1復(fù)習(xí)公理：兩點(diǎn)之間線段最短；情景2的創(chuàng)設(shè)引入新課，激發(fā)學(xué)生探究熱

情.

效果：

從學(xué)生熟悉的生活場景引入，提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好

基礎(chǔ).

第二環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容：

學(xué)生分為4人活動(dòng)小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的

方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線.讓

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點(diǎn)連

線最短問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的方法.

意圖：

通過學(xué)生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)

化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解.在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建摸，培養(yǎng)學(xué)生與人合作

交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念.

效果：

學(xué)生匯總了四種方案：

（1）（2）（3）（4）

學(xué)生很容易算出：情形（1）中A-8的路線長為：AA'+d,

情形（2）中Af8的路線長為：

所以情形（1）的路線比情形（2）要短.

學(xué)生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學(xué)生提出用剪刀沿母線41剪開

圓柱得到矩形，情形（3）A—3是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可

判斷（4）較短，最后通過計(jì)算比較（1）和（4）

如圖：

(1)中A-8的路線長為:

(2)中A-6的路線長為：>48.

(3)中A-8的路線長為：AO+OB>AB.

(4)中A-3的路線長為：AB.

得出結(jié)論：利用展開圖中兩點(diǎn)之間，線段最短解問

題.在這個(gè)環(huán)節(jié)中，可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體，具觀

察.接下來后提問：怎樣計(jì)算A3?

在心△AA'B中，利用勾股定理可得

AB'=AA!2+AB2,若已知圓柱體高為12cm,底面半徑為3加，加取3,則

A52=122+(3X3)2,/.AB=15.

注意事項(xiàng)：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側(cè)面尋最短路徑拓展到了圓柱表面，目的僅僅是讓學(xué)

生感知最短路徑的不同存在可能.但這一拓展使學(xué)生無法去論證最短路徑究竟是哪條.因

此教學(xué)時(shí)因該在學(xué)生在圓柱表面感知后，把探究集中到對(duì)圓柱側(cè)面最短路徑的探究上.

方法提煉：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決這一類幾

何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：

1.審題--分析實(shí)際問題；

2.建模一一建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

3.求解一一運(yùn)用勾股定理計(jì)算；

4.檢驗(yàn)一一是否符合實(shí)際問題的真實(shí)性.

第三環(huán)節(jié)：做一做

內(nèi)容：

李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AO邊和8c邊是否分別垂直于底

邊AB,但他隨身只帶了卷尺，

(1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

(2)李叔叔量得AD長是30厘米，A3長是40厘米，BO長是50厘

米，邊垂直于A8邊嗎？為什么？

(3)小明隨身只有一個(gè)長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AO邊是否垂直于A3

邊嗎？8C邊與A3邊呢？

解答：(2)AD2+AB2=302+402=2500

g=25OO

AD2+AB2=BDr

：.AD和AB垂直.

意圖：

運(yùn)用勾股定理逆定理來解決實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，利用允許的工具靈活處

理問題.

效果：

先鼓勵(lì)學(xué)生自己尋找辦法，再讓學(xué)生說明李叔叔的辦法的合理性.當(dāng)刻度尺較短時(shí)，

學(xué)生可能會(huì)在上面解決問題的基礎(chǔ)上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AB,AD

和8。的長度，或在AB,邊上各量一段較小長度，再去量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌?/p>

邊，從而得到結(jié)論.

第四環(huán)節(jié)：小試牛刀

內(nèi)容：

1.甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h的速

度向正東行走，1時(shí)后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00,甲、乙兩人

相距多遠(yuǎn)？

解答：如圖:已知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10:00甲到達(dá)8點(diǎn)，乙到達(dá)。點(diǎn).則：

AB=2X6=12(km)

AC=1X5=5(km)

在Rt/\ABC中：

BC2=/1C2+AB2=52+122=169=132.

ABC=13(km).

即甲乙兩人相距13km.

2.如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到3處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離.

解答：.-.AB2=152+202=625=252.

3.有一個(gè)高為1.5m,半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插

入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5m,問這根鐵棒有多長？

解答：設(shè)伸入油桶中的長度為xm.#

則最長時(shí)：八4+級(jí)./

x=2.5.6

.??最長是2.5+85=3(m)./

最短時(shí)「禽苗..

???最短是1.5+0.5=2(m).

答:這根鐵棒的長應(yīng)在2?3m之間.

意圖：

對(duì)本節(jié)知識(shí)進(jìn)行鞏固練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)實(shí)際情形畫出示意圖并計(jì)算.

效果：

學(xué)生能獨(dú)立地畫出示意圖，將現(xiàn)實(shí)情形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并求解.

第五環(huán)節(jié)：舉一反三

內(nèi)容：

1.如圖，在棱長為10cm的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點(diǎn)8處爬行,

已知螞蟻爬行的速度是1cm/s,且速度保持不變，問螞蟻能否在20s內(nèi)從A爬到B?

V500>202.

，不能在20s內(nèi)從A爬到B.

2.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：

有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出

水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問這個(gè)水池

的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？

解答：設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長為

AD=AB=(x+1)尺，

在直角三角形ABC中，BC=5尺.

由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.

即52+/=(x+1)2.

25+/=X2+2X+1.

2x=24.

??x~12,x+1=13.

答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.

意圖：

第1題旨在對(duì)“螞蟻怎樣走最近”進(jìn)行拓展，從圓柱側(cè)面到棱柱側(cè)面，都是將空間問

題平面化；第2題，學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代

人民的聰明才智；運(yùn)用方程的思想并利用勾股定理建立方程.

效果：

學(xué)生能畫出棱柱的側(cè)面展開圖，確定出AB位置，并正確計(jì)算.如有可能，還可把正

方體換成長方體進(jìn)行討論.

學(xué)生能畫出示意圖，找等量關(guān)系，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)建立方程.

注意事項(xiàng)：對(duì)于普通班級(jí)而言，學(xué)生完成“小試牛刀”，己經(jīng)基本完成課堂教學(xué)任務(wù).因

此本環(huán)節(jié)可以作為教學(xué)中的一個(gè)備選環(huán)節(jié)，共老師們根據(jù)學(xué)生狀況選用.

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

內(nèi)容：

師生相互交流總結(jié)：

1.解決實(shí)際問題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解.

2.在尋求最短路徑時(shí)，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問

題.

意圖：

鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會(huì)到勾股定理及其逆定理的廣泛

應(yīng)用及它們的悠久歷史.

效果：

學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)出在尋求曲面最短路徑時(shí)，往往考慮

其展開圖，利用兩點(diǎn)之間，線段最短進(jìn)行求解.并贊嘆我國古代數(shù)學(xué)的成就.

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1.課本習(xí)題1.4第1,2,3題.

2.如圖是學(xué)校的旗桿，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出了

現(xiàn)在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個(gè)辦法嗎?請(qǐng)你與同伴

計(jì)方案？

注意事項(xiàng)：作業(yè)2作為學(xué)有余力的學(xué)生的思考題.

六、教學(xué)反思

第一章勾股定理

回顧與思考

一、學(xué)生起點(diǎn)分析

通過前面三節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了勾股定理及逆定理的知識(shí)，并能應(yīng)用勾股

定理及其逆定理解決一些具體的實(shí)際問題，因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問題所需的知識(shí)基

礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有

了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力.

八年級(jí)學(xué)生已初步具有幾何圖形的觀察，幾何證明的理論思維能力.他們希望老師創(chuàng)

設(shè)便于他們進(jìn)行觀察的幾何環(huán)境，給他們發(fā)表自己見解和表現(xiàn)自己才華的機(jī)會(huì)，希望老師

滿足他們的創(chuàng)造愿望，讓他們實(shí)際操作，使他們獲得施展自己創(chuàng)造才能的機(jī)會(huì).但對(duì)于勾

股定理的綜合應(yīng)用，還需要學(xué)生具備一定的分析、歸納的思維方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想意識(shí)，

但學(xué)生在這一方面的可預(yù)見性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同學(xué)會(huì)有一些困難.

二、教學(xué)任務(wù)分析

勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)

量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)

展中起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文

化價(jià)值.勾股定理也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和代數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，具有學(xué)科的基礎(chǔ)性

與廣泛的應(yīng)用.

本課時(shí)教學(xué)是復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程，鼓勵(lì)學(xué)生自主探

索與合作交流，以學(xué)生自主探索為主，并強(qiáng)調(diào)同桌之間的合作與交流，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，培

養(yǎng)學(xué)生多方面的能力.讓學(xué)生通過動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口自主探索，感受數(shù)學(xué)的美，以提高學(xué)

習(xí)興趣.

為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

①讓學(xué)生回顧本章的知識(shí)，同時(shí)重溫這些知識(shí)尤其是勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過程，

體會(huì)勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用.

②在回顧與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力.

③在反思和交流的過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)帶來的無盡的樂趣.通過對(duì)勾股定理歷史的再認(rèn)

識(shí)，培養(yǎng)愛國主義精神，體驗(yàn)科學(xué)給人來帶來的力量.

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理；第三環(huán)節(jié)：

合作探究；第四環(huán)節(jié)：拓展提升；第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)情境引入

勾股定理，我們把它稱為世界第一定理.它的重要性，通過這一章的學(xué)習(xí)己深有體驗(yàn),

首先，勾股定理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學(xué)知道，正是

由于勾股定理得發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)，這一點(diǎn)，我們將在

《實(shí)數(shù)》一章里講到，第三，勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，有許許多多的數(shù)滿足

這個(gè)方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最為著名的就是費(fèi)馬大定理，直到1995

年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明.

勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個(gè)先人給我們留下來的

寶貴的財(cái)富，這節(jié)課，我們將通過回顧與思考中的幾個(gè)問題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史,

勾股定理的應(yīng)用.

目的：

通過對(duì)勾股定理歷史及地位的解讀，讓學(xué)生了解知識(shí)脈絡(luò)及前后聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)探究

熱情.

效果：

從歷史的深度提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎(chǔ).

第二環(huán)節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理

本章知識(shí)要點(diǎn)及結(jié)構(gòu)：

（第1—6題由學(xué)生獨(dú)立思考完成，小組代表展示）

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用。乃和c分別表

示直角三角形的直角邊和斜邊，那么=/.

2.勾股定理各種表達(dá)式：

在中，ZC=90°,NA,ZB,NC的對(duì)邊也分別為a,仇c,則。=_________,

b=，c-?

3.勾股定理的逆定理：

在AABC中，若a,仇c三邊滿足，則AABC為.

4.勾股數(shù):

滿足的三個(gè),稱為勾股數(shù).

5.幾何體上的最短路程是將立體圖形的展開，轉(zhuǎn)化為________上的路程問

題，再利用兩點(diǎn)之間，解決最短線路問題.

6.直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系？

（教師引導(dǎo)，小組討論、總結(jié)）

從邊的關(guān)系來說，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來說，由于直角三角形中有一個(gè)

特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形.如果又有一個(gè)銳角是30。，那么30。的角所對(duì)的直

角邊時(shí)斜邊的一半.

7.舉例說明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形.

判斷一個(gè)三角形是直角三角形可以從角、邊兩個(gè)方面去判斷.

（1）從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形.

例如：①在△ABC中，NB=75。，NC=15。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得NA=90。,

根據(jù)定義可判斷△ABC是直角三角形.

②在△ABC中，ZA=-ZB=-ZC,由三角形的內(nèi)角和定理可知，NA=30。，

23

ZB=2ZA=60°,ZC=3ZA=90°,△ABC是直角三角形.

（2）從邊出發(fā)來判斷一個(gè)三角形是直角三角形.其實(shí)從邊來判斷直角三角形它的理論

依據(jù)就是判定直角三角形的條件（即勾股定理的逆定理）.

例如：①△ABC的三條邊分別為a=7,b=25,c=24,而

^+^=72+242=625=252=^＞根據(jù)勾股定理的逆定理可知△A3。是直角三角形，但這

里要注意的是b所對(duì)的角NB=90。.

②在△ABC三條邊的比為a:0:c=5:12:13,△ABC是直角三角形.

8.通過回顧與思考中的問題的交流，由同學(xué)們自己建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

（小組內(nèi)展示自己總結(jié)的知識(shí)框圖，相互交流完善知識(shí)框圖；每個(gè)小組選取一名代表,

展示本組的知識(shí)框圖.）

三邊的關(guān)系-勾股定理一歷史、應(yīng)用

直角三角形（

I直角三角形的判別一應(yīng)用

目的：

復(fù)習(xí)與直角三有形有關(guān)的知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)的前后聯(lián)系，把勾股定理及判定納入直角三

角形的知識(shí)體系中，把以前的零散的知識(shí)形成知識(shí)體系.通過學(xué)生相互交流，整理知識(shí)框

圖復(fù)習(xí)本章知識(shí)點(diǎn)，自覺內(nèi)化到自身的知識(shí)體系中.

效果：

學(xué)生有獨(dú)立思考的空間，與有合作交流的舞臺(tái)，動(dòng)靜結(jié)合，相得益彰.

第三環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容：

探究一：利用勾股定理求邊長

已知直角三角形的兩邊長分別為3、4,求第三邊長的平方.

解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長的平方為25；

（2）當(dāng)斜邊為4,一直角邊為3時(shí)，第三邊長的平方為7.

注意事項(xiàng)：

因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí)，斜邊長為5.但

這一理解的前提是3、4為直角邊.而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為

斜邊，但也可能為直角邊.

探究二：利用勾股定理求圖形面積：

1.求出下列各圖中陰影部分的面積.

圖（1）陰影部分的面積為；（答案：1）

圖（2）陰影部分的面積為；（答案：81）

圖（3）陰影部分的面積為；（答案：5）

2.已知RSABC中，NC=90。，若a+b=14cm,c=lOcm,求RtaABC的面積.

解:SMBC=

=；［(a+0)2_(/+町

=苴(。+小

22

=1X(14-1O)

=24.

探究三：利用勾股定理逆定理判定AABC的形狀或求角度

1.在△ABC中，NA,NB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,，且(a+》)(a—6)=c2,則().

（A）NA為直角（B）NC為直角（C）NB為直角（D）不是直角三角

形

解：a2-b~=c1a2=b2-}-c2.故選(A).

注意事項(xiàng)：

因?yàn)槌Ｒ姷闹苯侨切伪硎緯r(shí)，一般將直角標(biāo)注為NC,因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為

NC就一定表示直角，加之對(duì)本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯(cuò)誤.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化

為小一”=c2,即。2=〃+。2,因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷.

2.已知△ABC的三邊為a,b,c,有下列各組條件，判定△ABC的形狀.

(1)a=41,b=40,c=9；

(2)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(m>n>0).

解：(1)(2)均為直角三角形.

探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用：

B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60。方向以每小時(shí)8nmile的速度前進(jìn)，乙船

沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15nmile的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，

兩島相距34nmile,你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？

解：甲船航行的距離為BM=8x2=16(nmile),

乙船航行的距離為BP=15x2=30(nmile).

V162+302=1156,342=1156,BM2+BP2=MP2,

.?.△MBP為直角三角形，ZMBP=90。，.?.乙船是沿著南偏東30。方向航行的.

注意事項(xiàng)：

勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對(duì)三角形做出判斷，判斷的依據(jù)是勾定

理的逆定理，其形式為“若。2+6=,2,則/c=90。.學(xué)生容易不先對(duì)三角形做出判斷而

直接應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

目的：

通過對(duì)四大問題的探究，培養(yǎng)同學(xué)們歸納知識(shí)的能力，并將各種數(shù)學(xué)基本思想方法滲

透其中，如對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，鼓勵(lì)學(xué)生由代數(shù)表示聯(lián)想到幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)

想到有關(guān)代數(shù)表示，從而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系.如對(duì)分類討論的滲透，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)

學(xué)態(tài)度.

效果：

探究四綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題，這種貼近生活的實(shí)例，訓(xùn)練學(xué)生

解決實(shí)際問題的能力，通過學(xué)生的解答和討論，讓學(xué)生自我解決疑難，既是對(duì)所學(xué)知識(shí)的

鞏固應(yīng)用，又讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅.

第四環(huán)節(jié)：拓展提升

內(nèi)容：

我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”

（如圖1）.圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正

方形ABCD,正方形EFG”，正方形MNKT的面積分別為S],S2>S3，若Si+S2+S3=10，則

S2的值是.

圖1圖2

（答案為此）

3

目的：

學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民的聰明才智,

在我們的數(shù)學(xué)史上，好多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個(gè)過程，都是從幾個(gè)或大量的特例中發(fā)現(xiàn)

規(guī)律，大膽猜想出結(jié)論，然后以前面的理論作為基礎(chǔ)，證明猜想，一個(gè)偉大的成果就誕生

了，掌握這種研究數(shù)學(xué)的方法，大膽創(chuàng)新，刻苦鉆研，說不一定你就是未來的商高，第二

個(gè)趙爽.

效果：

運(yùn)用勾股定理和方程思想解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)生活中處處皆數(shù)學(xué)，并且使新知