線性代數(shù)期末考試重點

PAGEPAGE1《線性代數(shù)》的主要知識點第一部分行列式概念：n階行列式展開式的特點：①共有n!項，正負(fù)各半；②每項有n個元素相乘，且覆蓋所有的行與列；③每一項的符號為元素的余子式以及代數(shù)余子式行列式的性質(zhì)計算方法：對角線法則行列式的按行（列）展開(另有異乘變零定理)第二部分矩陣矩陣的乘積注意：①不滿足交換率（一般情況下）②不滿足消去率（由AB=AC不能得出B=C）③由AB=0不能得出A=0或B=0④若AB=BA，則稱A與B是可換矩陣2．矩陣的轉(zhuǎn)置滿足的法則：，3．矩陣的多項式設(shè)，A為n階方陣，則稱為A的n次多項式。對與對角矩陣有關(guān)的多項式有結(jié)論如下：（1）如果，則=（2）若，則4．逆矩陣：階矩陣A,，若，則A,B互為逆矩陣。n階矩陣A可逆；（或表示為）即A為滿秩矩陣；A與E等價；A可以表示成若干個初等矩陣的乘積；A的列（行）向量組線性無關(guān)；A的所有的特征值均不等于零求法：①伴隨矩陣法：②初等變換法：或，E是單位矩陣性質(zhì)：（1）矩陣可逆，則的逆矩陣是唯一的（2）設(shè)是階矩陣，則有下列結(jié)論①若可逆，則也可逆，且②若可逆，則也可逆，且③若可逆，數(shù)，則可逆，且④若為同階矩陣且均可逆，則也可逆，且5．方陣A的行列式：滿足下述運算規(guī)律（設(shè)為階方陣，為數(shù)）①②③6．伴隨矩陣：行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下的矩陣，稱為矩陣的伴隨矩陣（注意行與列的標(biāo)記的不同）伴隨矩陣具有性質(zhì)：常見的公式有：①②③④等7．初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換后所得的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣，分別記為：（1）（互換E的第、列）（2）（E的第行乘以不為零的數(shù)）（3）（把E的行的倍加到第行上）初等矩陣具有下述性質(zhì)：初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣；初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣仍為初等矩陣且、、；初等矩陣的行列式分別是-1，k,1。2．等價：設(shè)有兩個向量組A：及B：，若B中的每個向量都可以由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。記為：（）≌（）主要結(jié)論：（1）矩陣A與B若行等價，則A的行向量組與B的行向量組等價；若矩陣A與B若列等價，則A的列向量組與B的列向量組等價（2）向量組B：能由向量組A:線性表示存在矩陣K，使得B=AK方程AX=B有解 （3）向量組A:與向量組B：等價，其中，A,B是向量組構(gòu)成的矩陣（4）向量組B：能由向量組A:線性表示，則R()R()3．線性相關(guān)與線性無關(guān)對向量組A：，如果存在不全為零的一組數(shù)，使得：則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān)，也就是說當(dāng)且僅當(dāng)都是零時才能使（Ⅲ）式成立，則線性無關(guān)。主要結(jié)論：（1）向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解它所構(gòu)成的矩陣=（）的秩小于；同樣線性無關(guān)僅有零解（2）n個n維向量，線性相關(guān)行列式，線性無關(guān)行列式（3）m個n維向量，當(dāng)維數(shù)時，向量組一定線性相關(guān)。特別地，個維向量必線性相關(guān)；（4）若向量組A：線性相關(guān)向量組B:一定線性相關(guān)；反之，向量組B若線性無關(guān)向量組A線性無關(guān)或敘述為：整體無關(guān)，則任意部分無關(guān)；只要有一部分相關(guān)，則整體相關(guān)；（5）若向量組A：線性無關(guān)，而向量組B:,線性相關(guān)必能由向量組A線性表示，且表達(dá)式唯一（6）若維向量組線性無關(guān)，則在每一個向量上再添加個分量所得到的維向量組也是線性無關(guān)的（7）向量組A：線性相關(guān)其中至少有一個向量是其余個向量的線性組合；線性無關(guān)每一個向量都不能由其余向量線性表示。（8）如果向量組A：可由向量組B:線性表示，并且向量組A：線性相關(guān)；（逆否命題:A：線性無關(guān)且可由向量組B線性表示）4．最大（極大）線性無關(guān)組：設(shè)有向量組A，如果在A中能選出個向量，滿足（1）向量組：線性無關(guān)；（2）向量組A中任意個向量（如果A中有個向量的話）都是線性相關(guān)的那么稱是向量組A的一個最大（極大）線性無關(guān)部分組條件（2）也可以改為：向量組A中任意一個向量都可以由線性表示，結(jié)論:①一個向量組的極大無關(guān)組是它的線性無關(guān)部分組中個數(shù)最多的那一個②一個向量組的極大無關(guān)組不是唯一的③向量組的任意一個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是唯一確定的④若向量組線性無關(guān)，其極大無關(guān)組就是其本身⑤任一向量組和它的極大無關(guān)組等價⑥向量組中任意兩個極大無關(guān)組等價5．向量組的秩：向量組中極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為向量組A的秩。記為：（）主要結(jié)論：（1）如果向量組與向量組等價，則它們的秩相等（2）如果向量組可由向量組線性表示，且，，則（3）矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩6．向量空間：設(shè)V為維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱V為向量空間。（1）設(shè)是兩個已知的維向量，則集合是一個向量空間。稱為由向量所生成的向量空間。（2）向量空間的基設(shè)為向量空間，如果個向量，且滿足①線性無關(guān)；②中任何一個向量都可以由線性表示則稱向量組是向量空間的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為維向量空間。（3）在中取定一個基，再取一個新基，設(shè)（），（），則=稱為從舊基到新基的過渡矩陣7．向量的內(nèi)積：(1)設(shè)有維向量，，令，稱為向量與的內(nèi)積.當(dāng)與都是列向量時，有.(2)內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中為維向量，為實數(shù)）：①；②；③.④當(dāng)時，；當(dāng)時，⑤施瓦茨（Schwarz）不等式(3)向量的長度：=，稱為維向量的長度。（范數(shù)）.(4)向量的正交當(dāng)時，稱向量與正交.(5)正交向量組兩兩正交的非零向量組稱為正交向量組.正交向量組的性質(zhì)若維向量是一組兩兩正交的非零向量組，則線性無關(guān).（6）施密特（Schimidt）正交化過程：設(shè)是線性無關(guān)的：??；，….兩兩正交，且與等價第四部分線性方程組解的判定：線性方程組其系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別記為：，或（A,b）=則方程組的矩陣表示形式為：若記：，，，則方程組的向量形式為：判定定理：元非齊次線性方程組有解且有唯一解，有無窮多解對應(yīng)的齊次線性方程組，稱謂原方程組的導(dǎo)出組。有結(jié)論：①元齊次線性方程組僅有零解系數(shù)矩陣的秩元齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的秩②若系數(shù)矩陣A為方陣，則有：元齊次線性方程組僅有零解元齊次線性方程組有非零解2．基礎(chǔ)解系：設(shè)都是齊次線性方程組的解，且：①線性無關(guān)②的任