空間向量和立體幾何

空間向量和立體幾何

空間向量及運(yùn)算空間向量和平面向量的加、減、數(shù)乘操作相同。1.1空間向量的定義空間中既有大小又有方向的向量叫做空間向量，用有向線段表示?？臻g向量的定義為AB或a，是自由向量，不講究起點(diǎn)?？臻g向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或者模，記作AB或者a。1.2空間向量的夾角過空間一點(diǎn)O作OA=a，OB=b，則∠AOB叫做a與b的夾角，記作a,b，且0≤a,b≤π。當(dāng)a,b=π/2時(shí)，a與b垂直，記a⊥b。當(dāng)a,b=0或π時(shí)，a//b。1.3特殊空間向量當(dāng)a=0時(shí)，稱a為零向量，記a=，與任意向量平行和垂直。當(dāng)a=1時(shí)，稱a為單位向量，對(duì)任意非零向量a，a/|a|叫做a的單位向量。當(dāng)a=-b時(shí)，稱a與b互為相反向量。1.4方向向量與法向量當(dāng)a與l平行時(shí)，稱a(≠0)是l的方向向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè)。當(dāng)a與平面α垂直時(shí)，稱a(≠0)是平面α的法向量，一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)。1.5向量的線性運(yùn)算1.5.1向量的加法向量的加法符合平行四邊形法則，減法符合三角形法則，又滿足規(guī)律：(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a，若n個(gè)向量相加且首尾相接，則其和向量以開始起點(diǎn)為起點(diǎn)，以最終的終點(diǎn)為終點(diǎn)一樣，即A1+A2+...+An=An。1.5.2向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘滿足如下規(guī)律：λa與平面向量意義相同。當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同向；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反向；滿足λa=aλ；λ(a+b)=λa+λb；(μ+λ)a=μa+λa；(λμ)a=λ(μa)。1.5.3向量的共線定理當(dāng)b≠0時(shí)，a//b當(dāng)且僅當(dāng)a=λb，其中λ為實(shí)數(shù)。1.6空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積定義為a·b=|a||b|cos(α)，其中α為a與b之間的夾角，且a·b=b·a?？臻g向量的數(shù)量積滿足如下規(guī)律：a·(b+c)=a·b+a·c；λa·b=λ(a·b)。2.空間向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算2.1空間向量基本定理若向量e1,e2,e3是空間三個(gè)不共面向量，a是空間任意向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1,λ2,λ3使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3，其中空間中不共面的向量e1,e2,e3叫做這空間的一組基底。2.2單位正交基當(dāng)一組基底$i,j,k$兩兩垂直，且$i=j=k=1$，則$i,j,k$叫做單位正交基底。對(duì)于任一向量$a$，有$a=xi+yj+zk$，其中$x=a\cdoti$，$y=a\cdotj$，$z=a\cdotk$，叫做$a$在$x,y,z$軸上的投影。2.3空間向量坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$，則：$a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$$a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$$\lambdaa=(\lambdax_1,\lambday_1,\lambdaz_1)$$a\cdotb=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2)$2.4向量坐標(biāo)的應(yīng)用設(shè)$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$，則：若$b\neq0$，則$a//b$當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$。$a\perpb$當(dāng)且僅當(dāng)$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。$a$的模長(zhǎng)為$\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$。2.5待定系數(shù)法求平面法向量步驟：（1）設(shè)平面法向量為$n=(x,y,z)$。（2）找出平面內(nèi)兩不共線向量坐標(biāo)$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$。（3）法向量$n$與$a,b$都垂直，即$n\cdota=0$，$n\cdotb=0$。（4）解方程組，取其中一個(gè)解，就為法向量的坐標(biāo)。3.用向量解決平行和垂直問題直線$l_1$的方向向量設(shè)為$s_1$，直線$l_2$的方向向量設(shè)為$s_2$，平面$\alpha$的法向量設(shè)為$n_1$，平面$\beta$的法向量設(shè)為$n_2$，則：$l_1//l_2\iffs_1//s_2$，$l_1\perpl_2\iffs_1\perps_2$，$l_1//\alpha\iffs_1\perpn_1$，$l_1\perp\alpha\iffs_1//n_1$，$\alpha//\beta\iffn_1//n_2$，$\alpha\perp\beta\iffn_1\perpn_2$。4.用向量求夾角4.1直線間夾角當(dāng)$l_1$，$l_2$共面時(shí)，把兩直線夾角中范圍在$[0,\frac{\pi}{2}]$內(nèi)的角叫做$l_1$，$l_2$間的夾角。當(dāng)$l_1$，$l_2$互為異面直線時(shí)，在$l_1$上任取一點(diǎn)$A$，作$AB//l_2$，把$l_1$和$AB$間的夾角叫做異面直線$l_1$和$l_2$的夾角。向量與夾角的關(guān)系：已知直線l1和l2的方向向量分別為s1和s2，當(dāng)0≤s1,s2≤π時(shí)，直線l1和l2的夾角等于s1,s2；當(dāng)π/2<s1,s2≤π時(shí)，直線l1和l2的夾角等于π-s1,s2。平面間夾角：兩平面所成的二面角中，范圍在0~π內(nèi)叫做兩平面間的夾角。平面π1與π2法向量分別為n1和n2，θ為兩平面所成二面角的平面角由n1,n2確定：當(dāng)0≤n1,n2≤π/2時(shí)，θ=n1,n2；當(dāng)π/2<n1,n2≤π時(shí)，θ=π-n1,n2。直線與平面的夾角：平面外一條直線與它在平面內(nèi)投影的夾角叫做直線與平面的夾角，范圍在0~π/2內(nèi)。設(shè)直線l方向向量為a，平面法向量為n，直線與平面所成的角為θ，則sinθ=|a·n|/|a|，當(dāng)a·n>0時(shí)，θ=arcsin(|a·n|/|a|)；當(dāng)a·n<0時(shí)，θ=π-arcsin(|a·n|/|a|)。用向量求距離：一個(gè)圖形中任一點(diǎn)與另一個(gè)圖形中任一點(diǎn)間距離的最小值叫做圖形與圖形之間的距離。點(diǎn)到直線距離：因?yàn)橹本€和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間一點(diǎn)到直線距離實(shí)際上就是空間中某一平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離。l是過點(diǎn)p平行于向量s的直線，A是直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)A到l的距離為d=|PA-PA·s/s^2|。點(diǎn)到平面的距離：π是過點(diǎn)p的垂直向量n的平面，A是π外一定點(diǎn)，點(diǎn)A到平面π的距離d=|PA·n/|n||。線面距離和面面距離：直線到它平行平面間的距離：一直線與一平面平行，這直線上任一點(diǎn)到面間的距離稱為線面距離，一般將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距或面面距來求。兩個(gè)平行平面間的距離：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線叫做這兩平面的公垂線，公垂線夾在兩平面之間的部分叫做這兩個(gè)平面的公垂線段，公垂線段的長(zhǎng)度稱為面面距，一般將面面距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距來求?；A(chǔ)題：在空間四邊形ABCD中，若AB=a，BD=b，AC=c，則CD等于b-(c-a)。2.在以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）正確答案：C.23.（廣東省高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考）若a、b、c為任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是（）正確答案：D.(a·b)c=a(b·c)4.（陜西省西安鐵一中2009屆高三12月月考）與向量（-3，-4，5）共線的單位向量是（）正確答案：A.（3/7，4/7，-5/7）和（-3/7，-4/7，5/7）5.在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，化簡(jiǎn)ABAD(DD1BC)的結(jié)果為______________；答案不完整，無法判斷正確性。6.若空間三點(diǎn)A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共線，則p=______,q=______。正確答案：p=5，q=-17.（湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1,F2,F3共同作用于一物體上，使物體從點(diǎn)M（1，-2，1）移動(dòng)到N（3，1，2），則合力所作的功是.答案不完整，無法判斷正確性。8.（廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，則AB1與C1B所成角的大小為（）正確答案：B.90°9.設(shè)向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8)，計(jì)算3a-2b,a·b，并確定λ,μ的關(guān)系，使λa+μb與z軸垂直。答案不完整，無法判斷正確性。10.如圖，E是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱C1D1的中點(diǎn)，試求向量∠EAD的余弦值.答案不完整，無法判斷正確性。1.在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，則P到BC的距離是多少？答案：42.在平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,3)，B(3,-2)，沿x軸把平面直角坐標(biāo)系折成120度的二面角后則線段AB的長(zhǎng)度為多少？答案：23.若向量a=(1,λ,2)，b=(2,-1,2)，a、b夾角的余弦值為cosθ，則λ等于多少？答案：-24.若單位向量a、b夾角為60度，則a+3b等于多少？答案：105.設(shè)a=(x,4,3)，b=(3,2,z)，且a∥b，則xz等于多少？答案：126.在圖中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC=16，PA=PC=10。設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG//平面BOE。（改寫后）證明：平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC=16，PA=PC=10。設(shè)G是OC的中點(diǎn)，則有FG//平面BOE。7.正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長(zhǎng)都是2，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，AE交AD于點(diǎn)H。（1）證明：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角∠D-B-A1-A的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（3）求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離。（改寫后）（1）證明：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角∠D-B-A1-A的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（3）求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離。8.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分別是棱AD、AA1的中點(diǎn)。（1）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1//平面FCC1；（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1。（改寫后）（1）證明：直線EE1//平面FCC1；（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1。提高題：1.設(shè)P是△ABC所