初中數(shù)學(xué)講義圓與直線的位置關(guān)系教師版

初中數(shù)學(xué)

第二十八章圓與直線的位置關(guān)系

28.1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

一.確定圓的條件：圓共有兩個要素：圓心與半徑。因此，要確定一個圓，需要同時確定圓

心和半徑：

i.圓心（定點(diǎn)），確定圓的位置；

2.半徑（定長），確定圓的大小。

注意：只有當(dāng)圓心和半徑都確定時，圓才能確定。

二.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：圓與直線的區(qū)別在于圓是封閉圖形，因此點(diǎn)與圓的位置關(guān)系共有3

種：

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外三種，這三種關(guān)系由這個點(diǎn)到圓

心的距離與半徑的大小關(guān)系決定。

2.設(shè)。。的半徑為7?，點(diǎn)P到圓心。的距離為d,則有：點(diǎn)在圓外Od>r：點(diǎn)在圓上

od=r；點(diǎn)在圓內(nèi)u>d<r。如下表所示（其中d=OP）：

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點(diǎn)在圓外(點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)P在。0的外部

點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=ro點(diǎn)P在。。的外部

點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)P在。0的內(nèi)部

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例1：在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為3,點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為a,0A的半徑

為2。下列說法中，不正確的是（）

A.當(dāng)a<5時，點(diǎn)8在。A內(nèi)B.當(dāng)l<a<5時，點(diǎn)B在。A內(nèi)

C.當(dāng)時，點(diǎn)8在。A外D.當(dāng)a>5時，點(diǎn)8在。A外

三.過已知點(diǎn)的圓：兩點(diǎn)確定一條直線，對于圓來說，也有類似的結(jié)論：

1.經(jīng)過點(diǎn)4的圓：以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)。為圓心，以Q4的長為半徑，即可作出過點(diǎn)A

的圓，這樣的圓有無數(shù)個（如下圖）。

2.經(jīng)過兩點(diǎn)A、B的圓：以線段A8中垂線上任意一點(diǎn)。作為圓心，以Q4的長為半徑,

即可作出過點(diǎn)A、6的圓，這樣的圓也有無數(shù)個（如下圖）。

3.過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)A、B、。共線時，過三點(diǎn)的圓不存在；若A、B、C三點(diǎn)不共

線時，圓心是線段AB與8c的中垂線的交點(diǎn)，而這個交點(diǎn)。是唯一存在的，這樣的圓是唯

一的（如下圖）。

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四.從上面的分析可以得到如下定理：不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓。

1.“不在同一直線上”這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓;

2.“確定”一詞的含義是“有且只有"，即“唯一存在”。

例2：如圖，四邊形ABCO中，AB=AC=AD,若NC4Z)=76。，NBDC=13。,

貝l]NC8D=,ZBAC=-

例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、。、￡)四點(diǎn),

已知：A(6,0),8(0,—2),C(3,0),求點(diǎn)。的坐標(biāo)。

總結(jié)：

1.判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法，是通過距離和半徑間的關(guān)系，這與判斷直線

與圓的位置關(guān)系的方法是類似的；

2.注意通過中垂線找圓心的方法，這也是作三角形外接圓的方法。

練習(xí)1

1.已知圓內(nèi)一點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最大距離是7,最小距離是5,則該圓的半徑是()

A.2B.6C.12D.7

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2.?個已知點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最大距離為5c7〃，最小距離為1c,加，則此圓的半徑為。

3.定義：定點(diǎn)A與。。上的任意一點(diǎn)之間的距離的最小值稱為點(diǎn)A與。0之間的距離?，F(xiàn)

有一矩形A6CO如圖，AB=\4rcm,BC=\2cm,OK與矩形的邊AABC、CD分別相切

于點(diǎn)區(qū)F、G,則點(diǎn)A與。K的距離為。

4.如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A,B,C,其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,4),則該圓

弧所在圓的圓心的坐標(biāo)為

5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)。為圓心，5為半徑作0。，已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)

分別為A(3,4),3(-3,-3),C(4,-710),試判斷A,B,C三點(diǎn)與。0的位置關(guān)系。

6.已知A4BC中，Z.C=90°,AC=2,BC=3,AB的中點(diǎn)為何。

(1)以C為圓心，2為半徑作。C,則點(diǎn)A,8,例與0c的位置關(guān)系如何？

(2)若以C為圓心作。C,使4,B,M三點(diǎn)至少有一點(diǎn)在。C內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在OC外,

求。C半徑r的取值范圍。

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28.2直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓的位置關(guān)系，可以按照它們的交點(diǎn)個數(shù)來分類?？偣灿腥N情況：o個交點(diǎn)、

1個交點(diǎn)、2個交點(diǎn)：

1.直線和圓沒有公共點(diǎn)，稱直線和圓相離；

2.直線和圓有唯一公共點(diǎn)，稱直線和圓相切。直線稱為圓的切線，公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)；

3.直線和圓有兩個公共點(diǎn)，稱直線和圓相交。直線稱為割線。

二.直線與圓的三種位置關(guān)系的判定：判定圓與直線的位置關(guān)系，可以通過圓心到直線的距

離與圓的半徑的大小關(guān)系判斷：設(shè)。。半徑為r,圓心為。到直線/距離為d,則：

1.直線/和。。相交=d<r-,

2.直線/和。。相切=d=r；

3.直線/和。。相離=d>八

如下圖所示：

例4：菱形對角線的交點(diǎn)。，以。為圓心，以。到菱形一邊的距離為半徑的圓與

其它幾邊的關(guān)系為（）

A.相交B.相離C.相切D.不能確定

例5：如圖，ZACB=60°,半徑為Is的。。切BC于點(diǎn)C,若將。。在CB上向

右滾動，則當(dāng)滾動到。。與C4也相切時，圓心。移動的水平距離是cm。

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總結(jié):

判定圓與直線的位置關(guān)系的主要方法就是判斷圓心到直線的距離與半徑的

關(guān)系，因此在判斷時作出圓心到直線的垂線段是常用方法。

練習(xí)2

1.。0的半徑是6,點(diǎn)O到直線a的距離為5,則直線a與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切C.相交D.內(nèi)含

2.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（3,2）為圓心、3為半徑的圓，?定（）

A.與x軸相切，與y軸相切B.與x軸相切，與y軸相交

C.與x軸相交，與y軸相切D.與x軸相交，與y軸相交

3.若NQ4B=30°,OA=10cm,則以。為圓心，6CT?7為半徑的圓與直線48的位置關(guān)

系是（）

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

28.3切線的性質(zhì)與判定

切線的定義：一條直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，這條直線就是圓的切線，公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)。

切線的判定方法：

i.定義法：直線和圓有唯?公共點(diǎn)時，這條直線就是圓的切線；

2.定理：到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；

3.判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

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例6：證明上面的判定定理(2)、(3)o

三.切線的性質(zhì)：

1.切線和圓只有一個公共點(diǎn)；

2.切線和圓心的距離等于圓的半徑；

3.切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；

4.經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn);

5.經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。

例7：證明切線的上述五條性質(zhì)。

四.切線長定理：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長度，叫做這點(diǎn)到圓

的切線長。過圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分

兩條切線的夾角。

如下圖所示，尸是③。外一一點(diǎn)，PA,P3分別切。。于A、B,則=且尸。

平分ZAPB。

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例8：證明切線長定理。

例9：已知：如圖，A是。。上一點(diǎn)，半徑OC的延長線與過點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)

OC=BC,AC=-OBo

2

(1)求證：A8是。。的切線；

(2)若448=45°,求NEX9C。

例10：如圖，AB是。。的直徑，尸是。。上一點(diǎn)，AE平分入BAE,交。。于

點(diǎn)、E,過點(diǎn)E作直線EO_LAF,交AF的延長線于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)C。

(1)求證：8是。。的切線；

(2)若C6=2,CE=4,求AE的長。

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總結(jié)：

1.切線的判定與性質(zhì)的三個關(guān)鍵詞：切點(diǎn)、半徑、垂直，連接圓心與切點(diǎn)，則

其垂直于切線，反之亦然；

2.切線長定理體現(xiàn)的是圖形的對稱性，應(yīng)用切線長定理時應(yīng)注意利用對稱性。

練習(xí)3

i.下列說法正確的是（）

A.與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線

B.和圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線

C.垂直于圓的半徑的直線是圓的切線

D.過圓的半徑的外端的直線是圓的切線

2.如圖，AB與。O切于點(diǎn)C,3=03,若。。的直徑為8cm,那么。4

的長是（）

A.歷B.V40C.V14D.2V15

3.如圖，直線MPB是。。的兩條切線，A3為切點(diǎn)，AC是00的直徑，如果

ZBAC=35,那么NP=()

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4.如圖，在ZVLBC中，AB=10,AC=8,BC=6,經(jīng)過點(diǎn)C且與邊A3相切的動圓與

CA,CB分別相交于點(diǎn)P,Q,則線段PQ長度的最小值是（）

A.4.75B.4.8C.5D.472

5.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)。在AB的延長線上，過點(diǎn)。作。。的切線，切點(diǎn)為C,

若NA=25°,則/。=。

6.如圖，PA、PB切。。于點(diǎn)A、3,點(diǎn)C是。O上一點(diǎn)，且NACB=65°,則

NP=。

7.如圖，在AABC中，AB=2,AC=42,以A為圓心，1為半徑的圓與邊3C相切,

則/BAC的度數(shù)是

8.若。。的外切等腰梯形的中位線的長為5C7?Z,梯形兩底長的差為6c?n,則。。的半徑

長為cmo

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9.。。中直徑AB與弦AC的夾角是30。，過。點(diǎn)的切線交的延長線于O,如果

OD=30cm,那么。。半徑的長為cm。

10.PA,分別切。。于A、B,PO交。。于C,過。作。O的切線分別交PA、PB

于E和尸，若。4=6,OP=10,則APE/的周長為。

11.若。O外一點(diǎn)尸與點(diǎn)。的距離為4,從P向。。作切線，切線長與圓的半徑之差為2,

則圓的半徑為。

12.等腰梯形各邊都與。O相切，。。的直徑為6cm,等腰梯形的腰等于8cm,則該等腰

梯形的面積為cm2o

13.PT切。。于T,PA8為經(jīng)過圓心O的割線，交。。于A、B兩點(diǎn)，若PT=4,

PA=2,則NBPT的余弦值為。

14.過。0外一點(diǎn)P作。。的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A和B,若A5=8,AB的弦

心距為3,則PA的長為。

15.如圖，以等腰AABC中的腰A8為直徑作。O,交底邊于點(diǎn)過點(diǎn)。作

DE1AC,垂足為E。

(1)求證：DE為。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,ZBAC=60,求。E的長。

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16.如圖所示，AB是。。直徑，0￡>_1_弦3。于點(diǎn)尸，且交。0于點(diǎn)E,若

ZAEC=/ODB。

(1)判斷直線BO和。。的位置關(guān)系，并給出證明；

(2)當(dāng)AB=10,6C=8時，求BO的長。

28.4三角形的內(nèi)心和外心

三角形的內(nèi)切圓：與多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓?特殊地，與三角形

三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形叫做圓的外切三角形。

三角形一定有內(nèi)切圓，且內(nèi)切圓圓心定在三角形內(nèi)部。

角形內(nèi)心的定義及性質(zhì)：

i.三角形的內(nèi)心是內(nèi)切圓的圓心，是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，圓心到三角形各邊的垂

線段相等；

2.三角形面積公式5='>(/表示三角形的周長，r表示內(nèi)切圓半徑)。

2

例11：如圖，。。是邊長為2的等邊三角形A6C的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的

面積為o

AB

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例12：&AABC中，NC=90°,AC=6,BC=8。求AABC的內(nèi)切圓半徑。

三.三角形的外接圓：

1.經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分

線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形；

2.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三

角形外接圓半徑等于斜邊的泮）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部。

四.三角形外心的性質(zhì)：

1.三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂

點(diǎn)的距離相等：

2.三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯?的，但一個圓的內(nèi)

接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合。

例13：等邊三角形的外接圓的半徑等于邊長的（）倍

A.—B.—C.V3D.-

232

例14：如下圖所示，AA8的外角平分線C8交其外接圓于8,連接BA、BD,求

證：BA=BD。

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練習(xí)4

1.內(nèi)心與外心重合的三角形是（）

A.等邊三角形B.底與腰不相等的等腰三角形

C.不等邊三角形D.形狀不確定的三角形

2.給出下列命題：①任意三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；②任意一個圓

一定有一個內(nèi)接三角形，并且只有一個內(nèi)接三角形；③任意一個三角形一?定有一個內(nèi)切圓，

并且只有一個內(nèi)切圓；④任意一個圓一定有一個外切三角形，并且只有一個外切三角形，其

中真命題共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.設(shè)用AA6c的兩條直角邊長分別為3、4,則此直角三角形的內(nèi)切圓半徑為,外

接圓半徑為o

4.AA6C是。O的外切三角形，。是8C邊上的切點(diǎn)，已知80=4,DC=3,AA6c的

周長是18,那么A8的長是。

5.A48C中，AB=AC=10,BC=\2,求其外接圓的半徑。

6.如圖，不等邊AA8C內(nèi)接于。。，/是其內(nèi)心并且A/LO/。求證：AB+AC=2BC.

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綜合練習(xí)

選擇題：

I.已知。。的半徑為10cm,如果一條直線和圓心。的距離為10cm,那么這條直線和這個

圓的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切C.相交D.相交或相離

2.如右圖，48是上的兩點(diǎn)，AC是OO的切線，N6=70。，則N6AC等于（）

A.70°B.35°C.20°D.10°

3.如圖，PA切。。于A,PB切。。于B,OP交。。于C,下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.Z