初中數(shù)學(xué)講義圓的基本性質(zhì)教師版

初中數(shù)學(xué)

第二十七章圓的基本性質(zhì)

27.1圓的基本概念

圓是平面圖形中最完美的圖形，也是最簡單的曲線圖形。在小學(xué)時代，我們曾經(jīng)學(xué)過和

圓相關(guān)的哪些知識？請同學(xué)們自己回顧一下。

作為初中幾何中最后的一個圖形，圓也許多獨(dú)特的性質(zhì)。為了了解這些性質(zhì)，先讓我們

來認(rèn)識以下圓本身吧。

-.圓的基本概念及表示方法：我們都知道，圓是一種完美的圖形。那么，如何定義這種圖

形呢？在初中階段，我們用?種直觀的方式給出圓的定義：

平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有的點(diǎn)組成的圖形叫做圓.

其中定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。

通常來講，用大寫字母。表示圓心，用。。表示圓心為o的圓，用廠表示圓的半徑。

通過圓心且端點(diǎn)都在圓上的線段稱為圓的直徑，通常用d表示。

從半徑和直徑的定義馬上可以得到兩個定理：

定理1：圓的半徑都相等。

定理2：圓的直徑是半徑的兩倍。

例1：如圖，A、3是。。上兩點(diǎn)，ZAOB=60°,。。的半徑八=4,求八。的的

面積。

A

B

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二.圓的對稱性：圓之所以為完美，主要就是因?yàn)樗膶ΨQ性。

圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。對稱軸是任何一條直徑所在的直線，所以圓的

對稱軸有無數(shù)條。對稱中心是它的圓心。同時圓具有繞其圓心的旋轉(zhuǎn)不變性。

三.弦、弧、圓周角、圓心角：上面所提到的一些概念都是同學(xué)們所熟知的東西，下面我們

一起來認(rèn)識一些并不常見，同學(xué)們可能并不熟悉的概念。

首先來看下面這個圖，A、8是。。上兩點(diǎn)。我們知道，若經(jīng)過點(diǎn)。，那么稱AB

為。。的直徑。對于更一般的情況（可以不經(jīng)過圓心），我們稱A8為。。的弦。

1.弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦就是直徑。直徑是最長的弦。

同時，A、6還把整個圓周分成了兩部分，這兩部分我們都稱之為弧，記作，有。這兩

段弧長度不等，為了區(qū)別，分別稱之為優(yōu)弧、劣弧。

2.弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧

稱為劣弧。

從A、8兩點(diǎn)出發(fā)，還可以得到許多角?有兩類角是最特殊的：如下圖，一類是頂點(diǎn)在

圓心的，例如NAQ8,這樣的角稱為圓心角；另一類是頂點(diǎn)在圓周上的，例如NAC3,這

樣的角稱為圓周角。

3.圓心角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角.

4.圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另?個交點(diǎn)的角叫做圓周角。

5.從上面兩圖中可以看出，弦、弧、圓心角、圓周角都是由圓上兩點(diǎn)（A、5）確定的，對

于由同樣的兩點(diǎn)確定的弦、弧、圓心角、圓周角，我們稱之為對應(yīng)的。

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更精確地說，在圓上任取兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)所確定的弦、一段?。▋?yōu)弧或劣?。?、與弧在弦的

異側(cè)的圓心角與圓周角，稱之為對應(yīng)的。

如下圖，劣弧與圓心角圓周角AC6均為對應(yīng)的，但與圓周角AO8不是對

應(yīng)的。圓周角AOB對應(yīng)的弧是優(yōu)弧AB!

例2：在上圖中，圓周角ADB對應(yīng)的圓心角是哪個角？

6.角是有度數(shù)的，在圓中，相等的圓心角，對應(yīng)的圓弧也是相等的（想一想，為什么）。因

此，可以定義圓弧所對應(yīng)的圓周角的度數(shù)即為圓弧的度數(shù)。

在同圓或等圓中，度數(shù)相等的弧稱為等弧。

總結(jié)：

1.“圓的半徑相等”是一條重要的結(jié)論，它可以引出圓中的等腰三角形，從而可

以使用等腰三角形的各種性質(zhì)；

2.同弧所對的圓周角有無數(shù)個，而圓周角所對的弧只有一個。因此在圓中找角

時，可以考慮找它所對應(yīng)的弧。

練習(xí)1

1.矩形窗戶上的裝飾物如圖所示，它是由半徑均為b的兩個四分之一

圓組成，矩形的寬為a,則能射進(jìn)陽光部分的面積是。

2.已知扇形的面積為12乃，半徑等于6,則它的圓心角等于度。

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27.2弦、弧、圓周角、圓心角間的對應(yīng)關(guān)系

我們已經(jīng)知道，在同一個圓中。弦、弧、圓周角、圓心角之間有著對應(yīng)關(guān)系。這些對應(yīng)

的元素之間，似乎應(yīng)該有著相等的關(guān)系，這樣才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧之美。

那么，是否真有這樣的關(guān)系呢？讓我們來研究一下。

我們知道，對于同一段弧來講，它對應(yīng)的圓心角和弦分別只有一個，可圓周角卻有無數(shù)

個！這是一個很大的麻煩，因此，我們先從圓周角開始研究。研究圓周角和誰的關(guān)系呢？同

為角，研究圓周角和圓心角之間的關(guān)系似乎是比較簡單的。

圓周角定理：事實(shí)上，圓周角和圓心角之間的關(guān)系早已被前人研究清楚了，這里，我們

先給出其結(jié)論，即圓周角定理：

圓周角定理：圓周角等于它所對的圓心角的一半。

我們知道，一個圓心角所對的圓周角有無窮多個，每一個都等于圓周角的?半嗎？答案

是肯定的，但如何去證明，這里給出下面三幅圖，作為提示，請同學(xué)們自行完成證明過程。

BA

例3：證明圓周角定理。

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二.弦、弧、圓周角、圓心角之間的對應(yīng)關(guān)系：從圓周角定理我們可以看出，在同圓或等圓

中，相等的圓心角對應(yīng)的圓周角也相等；相等的圓周角對應(yīng)的圓心叫也相等。

那么，弦、弧、圓心角之間是否也有類似的關(guān)系？答案是肯定的，這點(diǎn)，請同學(xué)們自行

證明。

定理：在同圓或等圓中，對應(yīng)的弦、弧、圓周角、圓心角之間，有一組元素相等，其它

元素均相等。

例4：證明上述定理。

例5：如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)(點(diǎn)。不與A,B

重合)，設(shè)NQ4B=a,ZC=/?o

(1)當(dāng)。=35時，求，的度數(shù)；

(2)猜想a與，之間的關(guān)系，并給予證明。

三.一些推論：圓中的這四個元素間的相等關(guān)系是圓的第一個重要性質(zhì)，從這個性質(zhì)出發(fā),

我們可以得到一些實(shí)用而有趣的推論：

推論1：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

推論2：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。

推論3：直徑所對的圓周角是90。角。

推論4：90。的圓周角所對的弦是直徑。

推論5：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。

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例6：證明以上5個推論。

例7：如圖，點(diǎn)A、B、C在。。上，ZAOB=130°,則NC=_________度,

ZD=__________度。

總結(jié):

周角定理是圓中最基本的重要定理，后面會反復(fù)用到。其推論中最重要的兩

條是直徑的直角間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角和。

練習(xí)2

1.如圖，A、B、C、。是同一圓上的四點(diǎn)，圖中所有相等的圓周角有（）對

A.2對B.3對C.4對D.5對

D

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2.如圖，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，小圓經(jīng)過大圓的圓心0,點(diǎn)C、。分別在兩圓上，若

NADB=100°,則NACB的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.50°D.80°

3.100°的弧所對的圓周角為,圓心角為。

4.在圓內(nèi)接四邊形A6C。中，NA:N8:NC=3:4:6,那么

5.如圖，在AA3C中，AB為。。的直徑,NB=60°,NC=70。，則ABOD的度數(shù)是

度?

6.如圖，C是。。上一點(diǎn)，。是圓心，若NAQ5=80°,則NA+NB=

7.如圖，如果NA=40°,那么NOBC=

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8.如圖，AB是圓的直徑，弦與AB交于P,ZACD=65,NA0C=55,則

ZAPC=

9.如圖，已知弧5C與弧AO的度數(shù)之差為20，AB交CD于E,ZCEB=60,則NA

的度數(shù)是________

10.如圖，是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，C￡)_LA6于。，且A8=8,08=2。

(1)求證：AA6csACfi。；

(2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：萬標(biāo)3.14,QBL73)。

11.如圖，AA5C內(nèi)接于。0,弦CM_LA3,CN是直徑，尸是弧AB的中點(diǎn)。

證明：(1)CF平■令ZNCM(2)AN=BM

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27.3垂徑定理

垂徑定理是圓的第二個重要性質(zhì)，它體現(xiàn)了圓的對稱性。如下圖所示，AB是。。的直

徑，CD是。O的非直徑的弦，45平分CO。由對稱性可知，ABJ_C￡>,并且AB平分CD

所對的兩段弧。

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

2.逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

3.三個推論：推論一：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩

段弧。

推論二：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對的弧。

推論三：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦，并且平分這條弦所對的另一條弧。

4.一條直線，在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件，就可以推出其他三條結(jié)論：

(1)平分弦所對的優(yōu)?。?/p>

(2)平分弦所對的劣?。?/p>

(3)平分弦(不是直徑)；

(4)垂直于弦；

(5)經(jīng)過圓心。

例8：證明垂徑定理及其推論。

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例9：如圖，A8是。。的直徑，CD是弦，ABLCD,那么相等的線段有

、、;相等的角有、

:相等的弧有、、o

例10：已知&AABC中，ZACB=9O°,CA=CB,有一個圓心角為45。，半徑的

長等于C4的扇形?！晔@點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，且直線CE、C尸分別與直線A8交于點(diǎn)

M.No

(1)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在/4cB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如下圖：

求證：MN2=AM2+BN2請你完成證明過程；

(2)當(dāng)扇形。￡尸繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至下圖的位置時，關(guān)系式MN2=AM2+3N2是否仍

然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

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例11：如圖所示，AB是。。的一條弦，ODLAB,垂足為C,交。。于點(diǎn)O,

點(diǎn)E在。。上。

(1)若乙4。。=52,求NDEB的度數(shù);

(2)若OC=3,04=5,求AB的長。

總結(jié):

垂徑定理本質(zhì)上是等腰三角形三線合一在圓中的體現(xiàn)。從垂徑定理可以得到

圓中的一類重要的直角三角形：由半徑、弦心距、半弦長所組成的直角三角形。

由此，也引出了一種圓中加輔助線的方法：過圓心做弦的垂線。

練習(xí)3

1.如圖，AB是。。的直徑，為弦，C￡）_LA3于E,則下列結(jié)論中不成立的是（）

A.NA=ZDB.CE=DEC.ZACB=90D.CE=BD

2.如圖所示，AB是。。的直徑，AD=DE,AE與BD交于點(diǎn)C,則圖中與NBCE相

等的角有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

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3.如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓0,且AB=1,BC=2,則。4=()

4.如圖，A43C內(nèi)接于。0,44c=120°,AB=AC,80為。O的直徑，AD=6,

則8c等于

5.如圖，矩形A8CD與圓相交，若AE=5,EF=6,DM=4,則MV的長是

6.。。的直徑是AB,弦CD垂直平分。4,垂足為E點(diǎn)，則弧C4O的度數(shù)是.

7.。。中，CO是直徑，弦A3LCZ)于P,AP=4,PD=2,則OP的長是

8.圓的一條已知弦分直徑為3和7兩部分，且弦和直徑相交成30角，則弦長為

9.A8、8是。。內(nèi)兩條互相垂直的弦，相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,圓的半徑是5,兩條弦長均

為8,則0P的長為

10.如圖，在。。中，弦垂直平分半徑。4,若BC=2拒,則。。的周長是.

C

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11.如圖，A3是。。的直徑，BC是弦，OD上BC于E,交弧48于。。

(1)請寫出五個不同類型的正確結(jié)論；

(2)若8C=8,ED=2,求。。的半徑。

12.如圖，點(diǎn)A、B、。是。。上的三點(diǎn)，AB//OC.

(1)求證：AC平分NQ46；

(2)過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)P。若AB=2,ZAOE=30°,求PE的長。

13.如圖所示，。。是ZVLBC的外接圓，ZR4c與NABC的平分線相交于點(diǎn)/,延長A/

交圓。于點(diǎn)。，連結(jié)班)、DC。

(1)求證：BD=DC=DI；

⑵若O0的半徑為10cm,ABAC=120°,求ACBD的面積。

D

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14.如圖，在。。中，半徑OC_L直徑A8,弦CD、CE分別交A8于尸、G。

證明：CFCD=CGCE

15.如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，。。的直徑B。交AC于E,A/J.8。于F,

延長A尸交3c于G,證明：AB^=BG?BC

27.4圓錐

一.圓錐的定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所

圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。該直角邊叫圓錐的軸。

與圓錐有關(guān)的概念：

i.圓錐的高：圓錐的頂點(diǎn)到圓錐的底面圓心之間的距離叫做圓錐的高。

2.圓錐的母線：圓錐的側(cè)面展開形成的扇形的半徑、底面圓周上點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。

3.圓錐的側(cè)面積：將圓錐的側(cè)面沿母線展開，是一個扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面

的周長，而扇形的半徑等于圓錐的母線的長。

4.圓錐有?個底面、?個側(cè)面、?個頂點(diǎn)、一條高、無數(shù)條母線，側(cè)面展開圖是扇形。

三.圓錐的側(cè)面積和體積公式：

1.圓錐體積公式：V=Ls/z（S表示圓錐底面積）

3

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2.圓錐的側(cè)面積：V=L/C（/表示母線長，c表示圓錐底面的周長）

2

四.圓錐的三視圖：圓錐三視圖是觀測者從三個不同位置觀察而畫出的圖形。其主視圖和

側(cè)視圖均為等腰三角形，俯視圖是一個圓和圓心。

例12：試推導(dǎo)圓錐的側(cè)面積公式。

例12：已知圓錐側(cè)面展開圖的扇形面積65萬，扇形的弧長為10皿加，則圓錐母線

長是多少？

練習(xí)4

1.己知圓錐的底面半徑為2c7”，母線長為5c搐，則圓錐的側(cè)面積是（）

222

A.20cmB.20/rcmC.lO^c/wD.5冗cm?

2.一個圓錦的側(cè)面展開圖是半徑為1的半圓，則該圓錐的底面半徑是（）

,3cl1

A.1B.—C.—D.一

423

3.已知圓錐的底面半徑為4cm,高為3的，則這個圓錐的側(cè)面積為cm2.

4.如圖，小明想用圖中所示的扇形紙片圍成一個圓錐，已知扇形的半徑為5cm,弧長是

6兀cm,那么圍成的圓錐的高度是cm。

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綜合練習(xí)

選擇題：

1.下列命題中，正確的個數(shù)是（）

（1）直徑是弦，但弦不一定是直徑；（2）半圓是弧，但弧不一定是半圓；

（3）圓周角等于圓心角的?泮；（4）-條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優(yōu)弧。

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.。。中，NAOB=84。，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為（）

A.42°B.138°C.69°D.42°或138°

3.如圖，。0的直徑CD垂直于弦EF,垂足為G,若NEOD=40。，則NCDF等于（）

A.80°B.70°C.40°D.20°

4.如圖，是。O的直徑，弦垂足為E,如果AB=20,CD=16,那么

線段的長為（）

A.10B.8C.6D.4

5.已知。0。的半徑為5ca，弦ABHCD,且45=6cm,C0=8c7%,則弦AB、CO間

的距離為（）

A.1cmB.7cmC.5cmD.1cm\cm

6.若圓的一條弦把圓分成度數(shù)的比為1：3的兩條弧，則劣弧所對的圓周角等于（）

A.45°B.90°C.135°D.270°

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7.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。O上，8〃AC,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZBOD=ABACB.4BOD=/COD

C.ABAD=ACADD.Z￡>=ZC

二.填空題：

8.在平面內(nèi)到定點(diǎn)A的距離等于3的的點(diǎn)組成的圖形是。

9.如圖，在。。中，AB.AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD±AB,OE^AC,垂

足分別為。、E,若AC=2cm,則。。的半徑為cm。

10.如圖，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷TP。進(jìn)攻，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時,

同時乙已經(jīng)沖到8點(diǎn)，丙沖到C點(diǎn)