分類計數原理和分步計數原理一

關于分類計數原理和分步計數原理一第1頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三甲問題1

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？乙火車2火車1火車3汽車1汽車23+2=5（種）第2頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三分類計數原理分類計數原理又稱“加法原理”

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類方法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋＋mn種不同的方法第3頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三關于分類計數原理的幾點注意：

⑴各類辦法之間相互獨立，都能完成這件事，且辦法總數是各類辦法相加，所以這個原理又叫做加法原理；⑵分類時，首先要在問題的條件之下確定一個分類標準，然后在確定的分類標準下進行分類；⑶完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的——不重不漏．第4頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三火車2火車1火車3問題2從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？甲乙丙汽車2汽車1火車1－汽車1火車1－汽車2火車2－汽車1火車2－汽車2火車3－汽車1火車3－汽車2第5頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三分步計數原理完成一件事，需要分成ｎ個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法……做第ｎ步有種不同的方法．那么完成這件事共有N＝種不同的方法．分步計數原理又叫作“乘法原理”第6頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三關于分步計數原理的幾點注意⑴各個步驟之間相互依存，且方法總數是各個步驟的方法數相乘，所以這個原理又叫做乘法原理；⑵分步時首先要在問題的條件之下確定一個分步標準，然后在確定的分步標準下分步；

⑶完成這件事的任何一種方法必須并且只需連續(xù)完成每一個步驟．第7頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三分類計數原理與分步計數原理的區(qū)別分類計數原理與分步計數原理，回答的都是有關做一件事的不同方法總數的問題．區(qū)別在于：分類計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用中任何一種方法都可以做完這件事；分步計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．第8頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三例題例1.某班級三好學生中男生有5人,女生有4人。(1)從中任選一人去領獎,有多少種不同的選法？

(2)從中任選男、女三好學生各一人去參加座談會,有多少種不同的選法？

分析:(1)完成從三好學生中任選一人去領獎這件事,共有2類辦法,第一類辦法,從男三好學生中任選一人,共有m1=5種不同的方法;第二類辦法,從女三好學生中任選一人,共有m2=4種不同的方法;所以,根據加法原理,得到不同選法種數共有N=5+4=9。

(2)完成從三好學生中任選男、女各一人去參加座談會這件事,需分2步完成,第一步,選一名男三好學生,有m1=

5種方法;第二步,選一名女三好學生,有m2=4種方法;所以,根據乘法原理,得到不同選法種數共有N=5×4=20種。點評:解題的關鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”?！胺诸愅瓿伞庇谩凹臃ㄔ怼?“分步完成”用“乘法原理”。第9頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三例題例2書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。（1）從書架上任取一本書，有多少種取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法?

注意區(qū)別“分類”與“分步”第10頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三解:

(1)從第1層任取一本,有4種取法,從第2層任取一本,有3種取法,從第3層任取一本,有2種取法,共有4+3+2=9種取法。答：從書架上任意取一本書，有9種不同的取法。(2)從書架的1、2、3層各取一本書,需要分三步完成,第1步,從第1層取1本書,有4種取法,第2步,從第2層取1本書,有3種取法,第3步,從第3層取1本書,有2種取法.由分步計數原理知,共有4×3×2=24種取法。答：從書架上的第1、2、3層各取一本書，有24種不同的取法。分類時要做到不重不漏分步時做到不缺步第11頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三例3要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，可以看成是經過先選1名上日班，再選1名上晚班這兩個步驟完成。先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后再選1名上晚班，上晚班的工人有2種選法，根據分步計數原理,所求的不同的選法數是答：有6種不同的選法。第12頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三

日班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相應的排法不同排法如下圖所示甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙

日班晚班第13頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三

1．一件工作可以用兩種方法完成。有5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種方法完成。選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？2．乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+ｃ5)展開后共有項？

4+5=9３×４×５＝６０練習2：1、把四封不同的信任意投入三個信箱中,不同投法種數是()A.12B.64C.81D.72、火車上有10名乘客，沿途有