分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理一

關(guān)于分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理一第1頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三甲問題1

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？乙火車2火車1火車3汽車1汽車23+2=5（種）第2頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理又稱“加法原理”

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類方法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋＋mn種不同的方法第3頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三關(guān)于分類計(jì)數(shù)原理的幾點(diǎn)注意：

⑴各類辦法之間相互獨(dú)立，都能完成這件事，且辦法總數(shù)是各類辦法相加，所以這個(gè)原理又叫做加法原理；⑵分類時(shí)，首先要在問題的條件之下確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；⑶完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的——不重不漏．第4頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三火車2火車1火車3問題2從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？甲乙丙汽車2汽車1火車1－汽車1火車1－汽車2火車2－汽車1火車2－汽車2火車3－汽車1火車3－汽車2第5頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成ｎ個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法……做第ｎ步有種不同的方法．那么完成這件事共有N＝種不同的方法．分步計(jì)數(shù)原理又叫作“乘法原理”第6頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三關(guān)于分步計(jì)數(shù)原理的幾點(diǎn)注意⑴各個(gè)步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，所以這個(gè)原理又叫做乘法原理；⑵分步時(shí)首先要在問題的條件之下確定一個(gè)分步標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分步標(biāo)準(zhǔn)下分步；

⑶完成這件事的任何一種方法必須并且只需連續(xù)完成每一個(gè)步驟．第7頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問題．區(qū)別在于：分類計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用中任何一種方法都可以做完這件事；分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事．第8頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三例題例1.某班級(jí)三好學(xué)生中男生有5人,女生有4人。(1)從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng),有多少種不同的選法？

(2)從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會(huì),有多少種不同的選法？

分析:(1)完成從三好學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)這件事,共有2類辦法,第一類辦法,從男三好學(xué)生中任選一人,共有m1=5種不同的方法;第二類辦法,從女三好學(xué)生中任選一人,共有m2=4種不同的方法;所以,根據(jù)加法原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5+4=9。

(2)完成從三好學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會(huì)這件事,需分2步完成,第一步,選一名男三好學(xué)生,有m1=

5種方法;第二步,選一名女三好學(xué)生,有m2=4種方法;所以,根據(jù)乘法原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5×4=20種。點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”。“分類完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。第9頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三例題例2書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。（1）從書架上任取一本書，有多少種取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法?

注意區(qū)別“分類”與“分步”第10頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三解:

(1)從第1層任取一本,有4種取法,從第2層任取一本,有3種取法,從第3層任取一本,有2種取法,共有4+3+2=9種取法。答：從書架上任意取一本書，有9種不同的取法。(2)從書架的1、2、3層各取一本書,需要分三步完成,第1步,從第1層取1本書,有4種取法,第2步,從第2層取1本書,有3種取法,第3步,從第3層取1本書,有2種取法.由分步計(jì)數(shù)原理知,共有4×3×2=24種取法。答：從書架上的第1、2、3層各取一本書，有24種不同的取法。分類時(shí)要做到不重不漏分步時(shí)做到不缺步第11頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選1名上晚班這兩個(gè)步驟完成。先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后再選1名上晚班，上晚班的工人有2種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,所求的不同的選法數(shù)是答：有6種不同的選法。第12頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三

日班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相應(yīng)的排法不同排法如下圖所示甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙

日班晚班第13頁(yè)，講稿共15頁(yè)，2023年5月2日，星期三

1．一件工作可以用兩種方法完成。有5人會(huì)用第一種方法完成，另有4人會(huì)用第二種方法完成。選出一個(gè)人來完成這件工作，共有多少種選法？2．乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+ｃ5)展開后共有項(xiàng)？

4+5=9３×４×５＝６０練習(xí)2：1、把四封不同的信任意投入三個(gè)信箱中,不同投法種數(shù)是()A.12B.64C.81D.72、火車上有10名乘客，沿途有