函數(shù)的單調性和最大小值

關于函數(shù)的單調性和最大小值第1頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三一、引入課題觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律：yx11-1yx1-11-1問：隨x的增大，y的值有什么變化？x1-11y-1-1第2頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：1．f(x)=x①從左至右圖象上升還是下降______?②在區(qū)間____________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．2．f(x)=-2x+1①從左至右圖象上升還是下降______?②在區(qū)間____________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．上升（-∞，+∞）增大下降（-∞，+∞）減小第3頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三3．f(x)=x2①在區(qū)間____________上，f(x)的值隨著x的增大而________．②在區(qū)間____________上，f(x)的值隨著x的增大而________．x…-4-3-2-101234…f(x)…16941014916…(-∞,0]減?。?，+∞）增大第4頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三y246810O-2x84121620246210141822D第5頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三對區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當x1<x2時，有f(x1)<f(x2)圖象在區(qū)間D逐漸上升？OxDy區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN第6頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三對區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當x1<x2時，有f(x1)<f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大圖象在區(qū)間D逐漸上升第7頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三對區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當x1<x2時，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)O設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,區(qū)間DI.如果對于區(qū)間D上的任意當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)，<定義MN任意兩個自變量的值x1,x2，D稱為f(x)的單調增區(qū)間.

那么就說f(x)在區(qū)間D上是單調增函數(shù)，區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大圖象在區(qū)間D逐漸上升D第8頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三

那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調減函數(shù)，D稱為f(x)的單調減區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調增函數(shù)的研究方法定義單調減函數(shù).xOyx1x2f(x1)f(x2)設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,區(qū)間DI.

如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,區(qū)間DI.

如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，

那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調增

函數(shù)，D稱為f(x)的單調區(qū)間.增當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)，當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)，<>單調區(qū)間第9頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三注意：①函數(shù)的單調性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質；②必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；③函數(shù)的單調性是相對某個區(qū)間而言，不能直接說某函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)。第10頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三下列說法是否正確？請畫圖說明理由。（3）如果對于區(qū)間（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),則函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增。（1）對于區(qū)間（a,b）上得某3個自變量的x1,x2,x3,當a<x1<x2<x3<b時，有f(a)<f(x1)<f(x2)<f(x3)<f(b),則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上單調遞增。（2）對于區(qū)間（a,b）上有無數(shù)個自變量的x1,x2,x3,…,xn,當a<x1<x2<…<xn<b時，有f(a)<f(x1)<f(x2)<…<f(xn)<f(b),則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上單調遞增。第11頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三2．單調性與單調區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間：(1)這個單調區(qū)間可以是整個定義域

如y=x在定義域上是增函數(shù),y=-x是減函數(shù)(2)這個單調區(qū)間也可以是定義域的真子集

如y=x2在定義域上沒有單調性,但在(-∞,0]是減函數(shù),在[0,+∞)是增函數(shù).(3)有的函數(shù)沒有單調性區(qū)間第12頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三-5Ox

y12345-1-2-3-4123-1-2[例1]下圖是定義在[－5，5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出y＝f(x)的單調區(qū)間,以及在每一單調區(qū)間上,y＝f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).（二）典型例題第13頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三書寫單調區(qū)間時，注意區(qū)間端點的寫法。對于某一個點而言，由于它的函數(shù)值是一個確定的常數(shù)，無單調性可言，因此在寫單調區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點。但對于某些不在定義域內(nèi)的區(qū)間端點，書寫時就必須去掉端點。單調區(qū)間之間必須用“，”隔開，或者用“和”連接，但千萬不能用“∪”連接，也不能用“或”，“且”連接。第14頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三例2.指出下列函數(shù)的單調區(qū)間：

解：無單調減區(qū)間

無單調增區(qū)間歸納：函數(shù)的單調性單調增區(qū)間單調減區(qū)間k>0k<0yox22o4yx第15頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三歸納：函數(shù)的單調性_______;_______.例2.指出下列函數(shù)的單調區(qū)間：xyy=-x2+21-1122-1-2-2O思考2：函數(shù)的單調區(qū)間呢？

思考1：函數(shù)的單調區(qū)間呢？解：第16頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三單調增區(qū)間單調減區(qū)間

a>0

a<0的對稱軸為第17頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三練習：判斷函數(shù)的單調區(qū)間。xy21o單調遞增區(qū)間：單調遞減區(qū)間：第18頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三成果運用若二次函數(shù)

在區(qū)間

上單調遞增，求a的取值范圍。

oxy1xy1o解：二次函數(shù)的對稱軸為,由圖象可知只要，即即可.

第19頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三若二次函數(shù)的單調增區(qū)間是,則a的取值情況是（）

變式1變式2請你說出一個單調減區(qū)間是的二次函數(shù)變式3請你說出一個在上單調遞減的函數(shù)A.B.C.D.

第20頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調性.變式4解：f(x)的開頭方向向上，對稱軸是x=a，（1）當a≤-2時，f(x)在(-2,2)單調遞增；（2）當-2<a<2時，f(x)在(-2,2)沒有單調性，但是f(x)在（-2,a）單調遞減，在(a,2)單調遞增；（3）當a>2時，f(x)在(-2,2)單調遞減。第21頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三變式5討論函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間(a,a+3)上的單調性。第22頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三例3.指出下列函數(shù)的單調區(qū)間：xyO思考1：思考2：函數(shù)的單調區(qū)間是什么？

的單調增區(qū)間是

歸納：在和上的單調性？_____________,解：沒有單調增區(qū)間第23頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三單調增區(qū)間單調減區(qū)間

的單調區(qū)間，，第24頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三證明：函數(shù)f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。證明：設x1,x2是(0，+∞)上任意兩個實數(shù)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。取值定號變形作差下結論第25頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三3．證明函數(shù)單調性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；⑤下結論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）．第26頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三

例4、物理學中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大。試用函數(shù)的單調性證明之。證明：根據(jù)單調性的定義，設V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個實數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)得V1V2>0,由V1<V2，得V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說，當體積V減少時，壓強p將增大.取值定號變形作差結論第27頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三?判斷函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的單調性.解:設則f(x1)－f(x2)∵0＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴

f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù).第28頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三4.判斷函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并用定義證明你的結論.所以f(x)在(－∞,0)上是減函數(shù)第29頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三例：已知函數(shù)f(x)是定義在（-∞，+∞）上的單調增函數(shù)，解不等式f(2x)<f(1+x)

例5變式例：已知函數(shù)f(x)是定義在（-1，1）上的單調增函數(shù)，解不等式f(2x)<f(1+x)

第30頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三練習1.已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,2)上的增函數(shù)，若f(a-1)>f(1-3a)，求實數(shù)a的取值范圍。第31頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三

是定義在R上的單調函數(shù)，且的圖象過點A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求適合的的取值范圍變式第32頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三思考與討論f(x)和g(x)都是區(qū)間D上的單調函數(shù)，那么f(x)和g(x)四則運算后在該區(qū)間D內(nèi)還具備單調性嗎？情況如何？你能證明嗎？能舉例嗎？第33頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三1.若f(x)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則F(x)=f(x)+g(x)為增函數(shù)。2.若f(x)為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則F(x)=f(x)+g(x)為減函數(shù)。3.若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則F(x)=f(x)-g(x)為增函數(shù)。4.若f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則F(x)=f(x)-g(x)為減函數(shù)。第34頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三1.已知函數(shù)f(x)

的定義域為R

，且對任意

，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當

x>0時，f(x)<0恒成立，證明：函數(shù)

f(x)是

R上的減函數(shù)；證明抽象函數(shù)的單調性第35頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三三、歸納小結1.函數(shù)的單調性的判定、證明和單調區(qū)間的確定：函數(shù)的單調性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明．畫函數(shù)圖象通常借助計算機，求函數(shù)的單調區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號→下結論2.直接利用初等函數(shù)的單調區(qū)間。第36頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三，則f(x)的單調遞增區(qū)間是

提高性練習第37頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三第38頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三1.3.1單調性與最大（?。┲?-----函數(shù)的最大（?。┲档?9頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三下列兩個函數(shù)的圖象：圖1ox0xMyyxox0圖2M觀察觀察這兩個函數(shù)圖象，圖中有個最高點，那么這個最高點的縱坐標叫什么呢？思考第40頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三設函數(shù)y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關系如何？思考f(x)≤M?(0)=1O122、存在0，使得?(0)=1.1、對任意的都有?(x)≤1.1是此函數(shù)的最大值第41頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三知識要點M是函數(shù)y=f(x)的最大值（maximumvalue）：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.第42頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果實數(shù)M滿足：（1）對于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值（minimunvalue）.能否仿照函數(shù)的最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義呢？思考第43頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三2.函數(shù)最大（?。┲祽撌撬泻瘮?shù)值中最大（?。┑模磳τ谌我獾膞∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1.函數(shù)最大（?。┲凳紫葢撌悄骋粋€函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。第44頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三判斷以下說法是否正確。2.設函數(shù)f(x)=1-x2，則f(x)≤2成立嗎?f(x)的最大值是2嗎？為什么？第45頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三如果函數(shù)f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函數(shù)f(x)的值域是[a，b]嗎？函數(shù)f(x)在定義域中既有最大值又有最小值.

如果在函數(shù)f(x)定義域內(nèi)存在x1和x2，使對定義域內(nèi)任意x都有成立，由此你能得到什么結論？思考1思考2第46頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三探究:函數(shù)單調性與函數(shù)的最值的關系（1）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m，n](m<n)上單調遞增，則函數(shù)y=f(x)的最值是什么？Oxy當x=m時，f(x)有最小值f(m)，當x=n時,f(x)有最大值f(n).第47頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m，n]上單調遞減，則函數(shù)y=f(x)的最值是什么？Oxy當x=m時，f(x)有最大值f(m)，當x=n時，f(x)有最小值f(n).第48頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三(3)若函數(shù)則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中較小者.第49頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三例3

“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果在距地面高度hm與時間ts之間的關系為:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么煙花沖出后什么時候是它的爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1m）第50頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三解：作出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象(如圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度.

由于二次函數(shù)的知識，對于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:

于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時刻,這時距地面的高度為29m.第51頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三例3

求函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

解：設x1,x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2,則由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)