金融數(shù)學(xué)-第一章

第一章利息基本計(jì)算從現(xiàn)金流的角度來(lái)看，利息是推遲當(dāng)前消費(fèi)的補(bǔ)償，或者是提前消費(fèi)所付出的代價(jià)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)一、單利與復(fù)利的基本計(jì)算二、貼現(xiàn)因子的意義三、現(xiàn)金流現(xiàn)值與終值的基本計(jì)算四、名利率的基本計(jì)算五、利息力的意義六、價(jià)值方程的應(yīng)用（現(xiàn)金流分析）§1.1利息基本函數(shù)本金：投資的初始資本投入，記為A(0)

。定義1.1

總量函數(shù)：原始投資經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后投資價(jià)值稱之為總量函數(shù)?？偭亢瘮?shù)用A(t)

表示。定義1.2

利息：貨幣的時(shí)間變化量。定義1.3

累積函數(shù)：?jiǎn)挝换目偭亢瘮?shù)。記為a(t)

。累積函數(shù)的性質(zhì)：（1）a(0)

=1;（2）A(t)=A(0)×a(t)

。定義1.4

利率：?jiǎn)挝换睦ⅰ＝Y(jié)論1.1定義1.5

單利：?jiǎn)挝回泿沤?jīng)過(guò)任何單位時(shí)間所產(chǎn)生的利息為常數(shù)，這樣產(chǎn)生的利息稱之為單利。以這種方式計(jì)息稱為單利方式。投資所得的利息與投資期限成正比。結(jié)論1.2

單利反方式下，累積函數(shù)呈線性地增長(zhǎng)。即定義1.6

復(fù)利：?jiǎn)挝回泿沤?jīng)過(guò)任何單位時(shí)間所產(chǎn)生計(jì)的利率為常數(shù)，這樣的利息稱為復(fù)利。以這種方式計(jì)息稱為復(fù)利方式。結(jié)論1.3

在復(fù)利反方式下，累積函數(shù)呈幾何性增長(zhǎng)。即單利與復(fù)利的區(qū)別：一般情況下，相同利率水平的復(fù)利利息高于單利利息。實(shí)際生活中，幾乎用的都是復(fù)利計(jì)息。例1.1年利率為5%，比較單利與復(fù)利的計(jì)算結(jié)果。一筆誘人的遺產(chǎn)：假設(shè)在1793年以3.3%年復(fù)利投資了1元，這筆投資今天大約值多少錢(qián)？利率為6.6%呢？1000元，10000元，100000元，1000000元這是漫長(zhǎng)時(shí)間積累的結(jié)果。對(duì)于單利來(lái)說(shuō)，增長(zhǎng)并不多。定義1.7貼現(xiàn)函數(shù)：將未來(lái)某時(shí)刻的單位資產(chǎn)價(jià)值折算到當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值。貼現(xiàn)函數(shù)與累積函數(shù)互為倒數(shù)。定義1.8貼現(xiàn)率：利息收入與期末貨幣量的比值。對(duì)于以復(fù)利方式下的計(jì)息方式，若任何單位時(shí)間利率相同，這樣產(chǎn)生的貼現(xiàn)率稱為復(fù)貼現(xiàn)率。貼現(xiàn)：將未來(lái)現(xiàn)金折算當(dāng)前時(shí)刻價(jià)值的過(guò)程。定義1.9

貼現(xiàn)因子：對(duì)將來(lái)價(jià)值進(jìn)行貼現(xiàn)過(guò)程使用的因子，即一期單位本金的收益的倒數(shù)?？紤]現(xiàn)金流（1，0），（0，1+i

）定義1.10現(xiàn)值：投資過(guò)程中將所有現(xiàn)金流折算到期初的價(jià)值稱之為現(xiàn)值。

終值：投資過(guò)程中將所有現(xiàn)金流折算到期末的價(jià)值稱之為終值。現(xiàn)金流的現(xiàn)值與終值的計(jì)算永恒的理想銀行（1）對(duì)貸款和存款使用相同利率；（對(duì)正負(fù)現(xiàn)金流采用同一貼現(xiàn)因子）（2）無(wú)服務(wù)費(fèi)和交易費(fèi)用；（資金不發(fā)生損耗）（3）利率適用于任何規(guī)模的本金；（統(tǒng)一并簡(jiǎn)化計(jì)算）（4）單項(xiàng)交易的余額可加；（現(xiàn)金流比較的重要依據(jù)）（5）利率相對(duì)獨(dú)立于適用的時(shí)間長(zhǎng)度，由復(fù)利規(guī)則計(jì)息；（體現(xiàn)了預(yù)期效應(yīng)）假設(shè)有現(xiàn)金流如下，其中r為每期利率現(xiàn)金流的現(xiàn)值：現(xiàn)金流的終值：現(xiàn)值與終值的關(guān)系：考慮現(xiàn)金流（-2，1，1，1），一年為一期，利率10%現(xiàn)值

PV=-2

+

1/1.1

+

1/（1.1×1.1）+

1/（1.1×1.1×1.1）

=0.487終值A(chǔ)V=-2×1.1×1.1×1.1

+

1×1.1×1.1

+

1×1.1+1

=0.648

現(xiàn)金流的等價(jià)現(xiàn)值的重要定理

對(duì)于利率為r的永恒的理性銀行來(lái)說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)以該銀行利率來(lái)評(píng)估兩個(gè)現(xiàn)金流現(xiàn)值相同時(shí)，這兩個(gè)現(xiàn)金流等價(jià)。兩個(gè)能夠相互轉(zhuǎn)化的現(xiàn)金流稱為等價(jià)現(xiàn)金流。例如，（1，0）和（0，1+i）

(-2，1，1，1)和（0.487，0，0，0）在利率為10%的條件下內(nèi)部收益率內(nèi)部收益率設(shè)為一現(xiàn)金流，內(nèi)部收益率為滿足下列方程的r：若令1/（1+r）=c，此時(shí)c滿足多項(xiàng)式方程：這是一個(gè)多項(xiàng)式方程，解一般不唯一?，F(xiàn)金流（-2，1，1，1）的內(nèi)部收益率解出c=0.81，因此IRR=（1/c）-1=0.23

內(nèi)部收益率與現(xiàn)行市場(chǎng)利率無(wú)關(guān)，完全有現(xiàn)金流本身決定，這就是其稱為內(nèi)部收益率的原因。有內(nèi)部決定而與外部金融世界無(wú)關(guān)。最常見(jiàn)的投資是初始的一筆現(xiàn)金流為負(fù)，其余都是正的現(xiàn)金流，它的內(nèi)部收益率為正。例如：（-2，1，1，1）內(nèi)部收益率的主要定理假設(shè)現(xiàn)金流中第一項(xiàng)為負(fù)，其余各項(xiàng)非負(fù)但至少有一項(xiàng)嚴(yán)格為正。那么下述方程有唯一正根：此外，如果，那么相應(yīng)的內(nèi)部收益率

r=（1/c）-1為正。

證明構(gòu)造函數(shù)注意到f(0)<0,f（c）為增函數(shù)且連續(xù)。因此存在唯一正根。

如果，意味著f(1)>0,因此在0到1之間存在唯一正根。定義1.11利率和貼現(xiàn)率被稱為等價(jià)的，若他們滿足：相同的原始本金經(jīng)過(guò)相同的計(jì)息期，將產(chǎn)生相同的終值。等價(jià)現(xiàn)金流的一個(gè)特例。結(jié)論1.4在任一個(gè)計(jì)息期內(nèi)，利率i與貼現(xiàn)率d有如下關(guān)系。證明（1）設(shè)期末貨幣量為1，有貼現(xiàn)率定義可知，期初貨幣量為1-d，有利率定義可得結(jié)論。（2）設(shè)期初貨幣量為1，則期末貨幣量為1+i，利息量為i，有貼現(xiàn)率定義可得結(jié)論。結(jié)論1.5

在一個(gè)計(jì)息期內(nèi)，利率i，貼現(xiàn)率d與貼現(xiàn)因子有如下關(guān)系：證明利用前面結(jié)論即可。例1.2

現(xiàn)有面額為100元的債券，在到期前1年的時(shí)刻價(jià)格為95元。同時(shí)，1年定期儲(chǔ)蓄利率為5.25%。討論如何進(jìn)行投資選擇。投資比較一般使用收益率來(lái)比較。收益率r為收益R與初始投資的比值，收益R為期末投資價(jià)值與期初投資價(jià)值之差。類似與定義中的利率。解債券收益率r

=5/95=5.26%

儲(chǔ)蓄收益率r=5.25%債券的收益率高于儲(chǔ)蓄，因此選擇債券進(jìn)行投資。定義1.12在單位計(jì)息期內(nèi)利息依利率換算m次，則稱為m換算名利率或者掛牌利率。結(jié)論1.6利率與換算名利率有如下關(guān)系：同樣，可以對(duì)貼現(xiàn)率換算，有名貼現(xiàn)率的概念。結(jié)論1.7貼現(xiàn)率與換算名貼現(xiàn)率有如下關(guān)系：結(jié)論1.8換算名利率與換算名貼現(xiàn)率有如下關(guān)系：證明注意1+i=(1-d)-1若m=p，有如下關(guān)系式：例1.3現(xiàn)有以下兩種5年期投資方式：方式A：年利率為7%，每半年計(jì)息一次；方式B：年利率為7.05%，每年計(jì)息一次。比較兩種投資方式的收益并確定投資選擇。解法1比較兩種方式等價(jià)的年實(shí)利率。解法2比較兩種方式的實(shí)際收益?？紤]連續(xù)的利息換算，并定義利率的相對(duì)瞬間變化率。定義1.13設(shè)累積函數(shù)a（t）為t（t≥0）的連續(xù)可微函數(shù)，則稱函數(shù)為累積函數(shù)a（t）對(duì)應(yīng)的利息力函數(shù)，與之相對(duì)應(yīng)的時(shí)刻稱之為利息力。利息力函數(shù)表示了資本獲利能力的大小。在單利方式下：在復(fù)利方式下：?jiǎn)卫绞较?，資本的實(shí)際收益隨時(shí)間增長(zhǎng)變慢，而復(fù)利方式下實(shí)際收益不變。（P6例1.1）由定義可知，累積函數(shù)與利息力函數(shù)有如下關(guān)系：貼現(xiàn)函數(shù)與利息力函數(shù)關(guān)系為：同樣可以定義對(duì)應(yīng)的貼現(xiàn)力函數(shù)為：利息力與貼現(xiàn)力相同。結(jié)論1.9

若利息力函數(shù)為常數(shù)，則（1）（2）利息力與利率的關(guān)系為:或（3）在相同單位計(jì)息期內(nèi)，利息力，利率及貼現(xiàn)率的大小關(guān)系有：證明（3）顯然d<i,且都大于0因?yàn)閷⑸鲜阶筮吚锰├照故皆?點(diǎn)展開(kāi)有：所以，比較得，同理，縮放有，則，即綜合即得結(jié)論。結(jié)論1.10在相同單位計(jì)息期內(nèi)，名利率、名貼現(xiàn)率與常數(shù)利息力有如下關(guān)系：（1）（2）（3）（4）證明（1）、（2）均可由前面結(jié)論得出；（3）對(duì)（1）、（2）求極限可得；

（4）后半部分的證明因?yàn)橛缮蟽墒娇傻媒Y(jié)論。結(jié)論1.11（1）（2）（3）例1.4（基金套利）基金F和基金G的利息力函數(shù)分別如下：累積函數(shù)分別為：令求h（t）達(dá)到的最大時(shí)刻T。解由題設(shè)條件有根據(jù)h（t）定義得

h（t）=t-2t2由此求出T=0.25實(shí)際中如何操作？（1）0時(shí)刻兩基金相同，期初，借入一份基金G并賣掉得1單位資金，用這1單位資金購(gòu)買一份基金F；（2）期末時(shí)，賣掉基金F并購(gòu)買一份基金G還給經(jīng)紀(jì)公司，所得余額即為套利。賣空：賣出并不持有的資產(chǎn)。套利所需要的資金較少，僅需要賣空所交納的保證金?！?.2利息基本計(jì)算利息是貨幣的時(shí)間價(jià)值，在一般的金融結(jié)算業(yè)務(wù)中利息會(huì)精確到天，并常用連續(xù)復(fù)利來(lái)替代以天為換算的利率的計(jì)算。例如，假設(shè)年利率為5%以天為換算的實(shí)利率為而連續(xù)復(fù)利的實(shí)利率為兩者相對(duì)差距僅為7.8×10-5時(shí)間單位確定的三種方法（1）精確利息算法：實(shí)際投資天數(shù)/年實(shí)際天數(shù)（2）普通利息算法：30/360（3）銀行家利息算法：實(shí)際投資天數(shù)/360

銀行家利息算法對(duì)貸款的一方較為有利。情況說(shuō)明：（1）閏年的處理，可以選為366天，也可以選為365天；對(duì)普通利息算法沒(méi)有影響；（2）起息日和到期日不能同時(shí)計(jì)入利息計(jì)算期，除非有特殊的說(shuō)明；（3）并不是所有金融結(jié)算都需要計(jì)算天數(shù)，視具體情況而定。貨幣具有時(shí)間價(jià)值，對(duì)于不同的貨幣量進(jìn)行比較時(shí)，就要選取一個(gè)共同的日期，這個(gè)日期就稱之為比較日。將調(diào)整到比較日的計(jì)算結(jié)果按照收入支出相等的原則列出的等式稱為價(jià)值方程。從現(xiàn)值的角度來(lái)看，以利率作為內(nèi)部收益率進(jìn)行貼現(xiàn)。時(shí)間流程圖可以看做是簡(jiǎn)化的現(xiàn)金流圖。注意：復(fù)利與單利的貼現(xiàn)會(huì)有不同。例1.5

某資金賬戶現(xiàn)金流如下：在第1年除有100元資金支出，在第5年末有200元資金支出，在第10年末有最后一筆資金支出；最為回報(bào)，在第8年末有資金收回600元。假定半年換算名利率為8%，試用價(jià)值方程計(jì)算第10年末的支出金額大小。（分別考慮復(fù)利方式和單利方式）解（1）采用復(fù)利方式計(jì)算①現(xiàn)金流分析法這個(gè)現(xiàn)金流可以表示為：（-100，0，0，0，0，-200，0，0，600，0，-X）以年實(shí)利率為內(nèi)部收益的現(xiàn)值為0。貼現(xiàn)因子為[（1+8%/2）2]-1=1/1.0816PV=-100-200/（1.0816）5+600/（1.0816）8–X/（1.0816）10=0解得X=186.76②

價(jià)值方程選取第1年初為比較日，收入等于支出的原則列出方程如下：

600v16=100+200v10+Xv20這里v為半年利率，v=1/（1+4%）解得X=186.76（2）采用單利方式計(jì)算首先計(jì)算等價(jià)的年但利率，有題設(shè)有1+10i=（1+0.04）20所以，i=12%①價(jià)值方程選取第1年初為比較日，收入等于支出的原則列出方程如下：100+200/（1+5i）-600/（1+8i）+X/（1+10i）=0解得X=178.5②選取第5年末為比較日，收入等于支出的原則列出方程如下：100（1+5i）+200-600/（1+3i）+X/（1+5i）=0解得X=129.9③選取第10年末為比較日，收入等于支出的原則列出方程如下：100（1+10i）+200（1+5i）

-600（1+2i）+X=0解得X=204問(wèn)題1分散投資和一次性投資的時(shí)間關(guān)系設(shè)有兩種投資方式：方式一，分別于方式二，在t時(shí)刻一次性投入若兩種投資的價(jià)值相等，計(jì)算時(shí)刻t

。兩資產(chǎn)在0時(shí)刻價(jià)值相同有解得用等時(shí)間法近似得結(jié)果相當(dāng)于一種加權(quán)平均。問(wèn)題2在給定的利率下，求貨幣價(jià)值增加一倍的時(shí)間間隔?；緝r(jià)值方程為（1+i）n=2進(jìn)而有近似計(jì)算有對(duì)做近似計(jì)算，取i=8%，并利用泰勒展式近似得到于是，有這就是常用是72算法。（年利率少于20%時(shí)可用這一算法近似計(jì)算）推論

七一十規(guī)則以年利率7%進(jìn)行投資，其價(jià)值大約10年后翻番。同時(shí)，以10%的年利率進(jìn)行投資，其價(jià)值大約在7年后翻一番。利率的計(jì)算直接對(duì)價(jià)值方程進(jìn)行指數(shù)或者對(duì)數(shù)計(jì)算例1.6以什么樣的季換算掛牌利率，可以使當(dāng)前的1000元在6年后本利和為1600元？解設(shè)季換算掛牌利率為i(4),令j=i(4)/4，則有1000（1+j

）24=1600解得j=0.019766所以i(4)=4j=0.07912.代數(shù)方法例1.7已知第2年末的2000元和第4年末的3000元的現(xiàn)值之和為4000元。計(jì)算年率。解設(shè)年利率為i，則價(jià)值方程為解上面方程得v2=0.868517，進(jìn)而得出i=0.0733.線性插值或者迭代法例1.8已知現(xiàn)在投入1000元，在第3年末投入2000元，在第10年末的全部收入為5000。計(jì)算半年換算名利率。解設(shè)半年換算名利率為i(2),令j=i(2)/2，則有1000（1+j

）20+2000（1+j

）14=50004次以上方程無(wú)求根公式，沒(méi)有解析解。通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算數(shù)值解，近似的解法。若定義f（j）=1000（1+j

）20+2000（1+j

）14-5000計(jì)算函數(shù)f（j）的零點(diǎn)。主要方法有線性插值、二分法、牛頓法、牛頓下山法、梯度法等等。§1.3實(shí)例分析銀行的掛牌利率計(jì)算掛牌利率和實(shí)利率之間的關(guān)系。例1.92004年10月29日中國(guó)人民銀行公布的金融機(jī)構(gòu)人民幣存款利率如表所示。表中的利率水平是單利方式，計(jì)算除活期外的各種年實(shí)利率。期限活期3個(gè)月6個(gè)月1年2年3年5年年利率i/%0.721.712.072.252.703.243.60解以3個(gè)月和2年的計(jì)算為例3個(gè)月：已知i(4)=1.71%，則i=（1+i(4)/4

）4=1.721%2年：已知單利率為2.70%，則（1+i）2=1+2×2.70%解得i=2.66%2.計(jì)息天數(shù)銀行家利息算法：實(shí)際投資天數(shù)/360銀行采用這一計(jì)息算法3.利率和貼現(xiàn)率利率=（期末投資價(jià)值-期初投資價(jià)值）/期初投資價(jià)值貼現(xiàn)率=（期末投資價(jià)值-期初投資價(jià)值）/期末投資價(jià)值在美國(guó)的債券市場(chǎng)，短期債券不單獨(dú)支付利息，而是在發(fā)行時(shí)以折價(jià)的形式發(fā)行。例如，面值為100萬(wàn)美元，年利率為3%的一年期債券的發(fā)行價(jià)格為97萬(wàn)美元，實(shí)際利率高于3%。例1.10若面值為100元的債券在到期日前3個(gè)月時(shí)的買價(jià)為96美元，計(jì)算買方的：（1）季換算名貼現(xiàn)率；（2）年實(shí)利率。解（1）d(4)/4=（100-96）/100=4%所以d(4)=16%

（2）i(4)/4=（100-96）/96=1/24所以i(4)=（1+i(4)/4）4-1=17.74%4.信用卡在一定時(shí)間內(nèi)無(wú)利息，超過(guò)還款期限后付出更高的利息。提前支取的處罰例1.112年定期存款的年利率為10%，在提前支取時(shí)儲(chǔ)戶可以有以下兩種選擇：方式A：利率降為8%；方式B：原利率不變，扣除3個(gè)月的利息。試對(duì)以下兩種情況，給出對(duì)儲(chǔ)戶較為有利的選擇。（1）存入6個(gè)月后支??；（2）存入一年半后支取。解設(shè)本金為1元（1）存入6個(gè)月后支取，則

IA=（1+0.08）1/2-1=3.92%IB=（1+0.1）1/4-1=2.41%顯然有IA>IB因此選擇方式A對(duì)儲(chǔ)戶有利。（2）存入一年半后支取，則

IA=（1+0.08）1.5-1=12.24%IB=（1+0.1）1.25-1=12.65%顯然有IA<IB因此選擇方式B對(duì)儲(chǔ)戶有利。例1.12已知儲(chǔ)蓄方式：年利率7%，在每三年底獎(jiǎng)勵(lì)余額的2%。試對(duì)以下三個(gè)取款時(shí)刻計(jì)算實(shí)際的年利率：第2年底、3年底、4年底。解若第2年底取款，年利率仍為7%；若第3年底取款，則有（1+i）3=（1+7%）3（1+2%）解得i=7.71%

若第4年底取款，則有（1+i）4=（1+7%）4（1+2%）解得i=7.53%例1.13現(xiàn)有不允許提前支取的銀行定期存款，其利率如表所示，某投資者準(zhǔn)備存入1000元，存期6年。計(jì)算最大收益的定期儲(chǔ)蓄組合的平均年利率。解若選一個(gè)4年期和2年期的組合，6年后的單位資本金收益為（1+0.08/4）16×（1+0.06/4）8=1.5464期限/年1234季換算名利率/%5678所以平均年利率為1.54641/6-1=7.54%>7%即為最大收益組合。例1.14某人需要5萬(wàn)元的1年期貸款，市場(chǎng)中有兩種可能的融資機(jī)會(huì)：方式A：1年期貸款年利率為5%；方式B：1年期貸