復(fù)變函數(shù)第14講

曲線的切線導(dǎo)數(shù)的幾何意義共形映射的概念§1

共形映射的概念1t

?

[a

,

b

]C

:

z

=

z(t

)1.

曲線的切線它的正向取t增大時(shí)點(diǎn)z移動(dòng)的方向.若z'(t0

)?0,t0

?

(a

,b

),取P0

,P

?

C

,P0

,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t0

,t，z(t0

+Dt

)-z(t0

)方向相同.Dt設(shè)連續(xù)曲線yoxy(z)P0C

:

z

=

z(t

)P割線p

p對(duì)應(yīng)于參數(shù)

t增大的20方向。則割線的方向向量p0

p與向量jyoxy(z)0PC

:

z

=

z(t

)PT割線方向p0

p

的極限位置：Dt3z(t

+

Dt

)

-

z(t

)z'(t

)

=

limDt

fi

0000—曲線C在p0處的切向量且方向與C正向一致.j

=

arg

z'(t0

).則曲線C在z0有切線,z'(t0

)\若z'(t0

)?0,t0

?

(a

,b

),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~就是切向量,它的傾角~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義

切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的有向曲線稱為有向光滑曲線.~~~~~~~~~~(1)Argz'(t0

)--曲線C在點(diǎn)z0處切線的正向與x軸正方向之間的夾角.(2)若曲線C1與曲線

C2相交于點(diǎn)z0

,在交點(diǎn)處兩曲線正向之間的夾角就是它們的兩條切線正向之間的夾角.C2

:C1

:z

=

z1

(t

)oy(z)z0qz

=

z2

(t

)x42.

解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(輻角和模)設(shè)w

=f

(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0

?

D,且f

'(z0

)?0,在D內(nèi)過(guò)z0引一條有向光滑曲線:5t

?

[a

,

b

]C

:

z

=

z(t

)G

—

過(guò)點(diǎn)w0

=

f

(

z0

)，正向取

t增大方向的曲線

.z0

=

z(t0

)取t0

?

(a

,b

)z'(t0

)

?

0則w

=

f

(

z

)fi

w平面上G

:w

=f

[z(t

)]z平面上C:z

=z(t

)~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~

w

'

(

t0

)

=

f

'

(

z0

)

z'(

t0

)

?

0

Argw

'

(

t0

)

=

Argf

'

(

z0

)+

Argz

'

(

t0

)a

jFa

=

F

-j(1)C

:

z

=

z(t

)o(z)記即

Argf

'(z0

)

=

Argw'(t0

)

-

Argz'(t0

)即yxovuw

=

f

(

z

)fiF(w)G

:

w

=

f

[z(t

)]T

'jTz006wz0的轉(zhuǎn)動(dòng)角,記作a

.若視x軸與u軸和y軸與v軸的正向相同,稱曲線C的切線正向與映射后曲線G正向之間的夾角為(原曲線C經(jīng)映射w

=f

(z))在點(diǎn)~~~~~~~即Argf

'(z0

)=Argw

'(t0

)-Argz

'(t0

)a

=

F

-

juFxTjz0w0T

'a78由(1)式a

僅與映射

w

=

f

(

z

)及點(diǎn)

z0有關(guān),

則②轉(zhuǎn)動(dòng)角a的大小及方向與曲線C的形狀與方向無(wú)關(guān),這種性質(zhì)稱為映射具有轉(zhuǎn)(1)導(dǎo)數(shù)幅角Argf'(z)的幾何意義①Argf

'(z0

)(f

'(z0

)?0)是曲線C經(jīng)過(guò)w

=f

(z)映射后在點(diǎn)z0的轉(zhuǎn)動(dòng)角.~~~~~~~~~動(dòng)角的不變性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~j2設(shè)Ci

(i

=1,2)在點(diǎn)z0的夾角為q

,Ci

(i

=1,2)在變換w

=f

(z

)下映射為相交于點(diǎn)w0

=f

(z0

)的曲線Gi

(i

=1,2),G1

,G2的夾角為Q

.xy

(z)1C2Cjo

10zw

=

f

(

z

)fiQ

=

F

2

-

F

1G2G1F

1F

2ovu(w)w0由式(1)有，

a

=

F

i

-

j

i

F

2

-

F

1

=

j

2

-

j

19(i

=

1,2)\

Q

=

q——保角性q

=

j

2

-j1由上述討論我們有w

=

f

(

z

)過(guò)z0的C1

,

C2

fi

過(guò)w0的G1

,

G2

(C1

,

C2

)

=

(G1

,

G2

),這種映射具有保持兩曲線間夾角的大小與方向不變的性質(zhì)--保角性(2)模

f'(z)的幾何意義用Ds表示C上的點(diǎn)z0與z之間的一段弧長(zhǎng);Ds表示G上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)w0與w之間的弧長(zhǎng).10iq設(shè)Dz

=

z

-

z0

=

re

,ijDw

=w

-w0

=re

且=

1=

1

limD

s

fi

0D

z

fi

0

limD

sD

wD

sD

z(3)Ds

=

lim

Ds0Ds

Dz

DsDz

fi

0\

f

'(

z

)

=

lim

Dw

DsDz

fi

0

Dsf

'(z0

)--稱之為曲線C在z0的伸縮率.Co(z)xyov(w)uGw

=

f

(

z

)fi0zz11DzDswDww0Ds點(diǎn)z0處A

=f'(z0

)均不變--伸縮率不變性.易見

,

f'

(

z0

)

與映射

w

=

f(

z

)及z0有關(guān),

而與曲線的形狀方向無(wú)關(guān)

,

沿任何曲線作映射

f時(shí),

在同一3.

共形映射的概念定義設(shè)w

=f

(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義，且在z0具有保角性和伸縮率不變性,則稱映射w

=f

(z)在z0為共形的，或稱w

=f

(z)在z0是共形映射.~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~若w

=f

(z

)在D內(nèi)每一點(diǎn)都是共形的，則稱12w

=f(z

)在區(qū)域D內(nèi)是共形映射.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由定義及以上分析有:定理若w

=f

(z

)在z0點(diǎn)解析且f

'(z0

)?0,

w

=f

(z

)是共形(保角)映射，13且a

=

Argf

'

(

z0

)為轉(zhuǎn)動(dòng)角

,

f

'

(

z0

)

為伸縮率。

若上述共形映射定義中，僅保持角度絕對(duì)值不變，而旋轉(zhuǎn)方向相反，此時(shí)稱第二類共形映射。從而，定義中的共形映射稱為第一類共形映~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~射~~。~~~~~~~~~~~~~~~~~~f

'(z0

)

?

0設(shè)w

=

f

(z)

z

?

Dz0

?

D

w0

=

f

(z0

)\Dw

?f

'(z0

)Dz（忽略高階無(wú)窮小）14=

d

=

f

'(z0

)

dzfi

z0fi

=

f

'(z0

)f

(z)

-

f

(z0

)w

=

f

(

z

)fi

w

-

w0那么圓:z

-z0（忽略高階無(wú)窮?。┻@就是為什么稱共形映射的原因.=Dz

z

-

z0Dw又15

1.

分式線性映射的定義

2.

分式線性映射的性質(zhì)§2

分式線性映射1.

分式線性映射的定義16定義稱為分式線性映射,其中a,b,c,d是復(fù)常數(shù).(ad

-

bc

?

0)

-(1)cz

+

d映射w

=az

+b~~~~~~~~~~~~~

(1)

w'=

ad

-bc

\ad-bc

?0是必要的。(cz

+

d

)2否則w'=0

w

”c(復(fù)常數(shù)).(2)補(bǔ)充定義使分式線性函數(shù)在整個(gè)擴(kuò)充平面當(dāng)c

=0時(shí)，在z

=￥

時(shí)，定義w

=￥

.a

/

c上有定義:當(dāng)c

?0時(shí)，w

=￥z

=

-d

/

cz

=

￥則,逆映射仍為分式線性的,cz

+

d故又稱w

=az

+b

為雙線性映射.(-d

)(-a)

-

bc

?

0(3)w

=

az

+

b

z

=

-

dw

+

b

cz

+

d

cw

-

a~~~~~~~~~~分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的復(fù)合：(i

)

w

=

z

+

b

(ii

)

w

=

az(a

?

0) (iii

)w

=

1z反演稱為：

平移 整線性17(

A

=

bc

-

ad+

B B

=

a

)1=

a

+

bc

-

ad

1c

c

cz

+

da(z

+

d

)

+

b

-

adc

ccz

+

d

c

c=

Acc(z

+

d

)當(dāng)c

?0時(shí)，w

=當(dāng)c

=

0時(shí)，w

=

az

+

b

w

=

a

z

+

b

=

Az

+

Bcz

+

d

d

d事實(shí)上，(A,B復(fù)常數(shù))21811

2cz

+

d復(fù)合而成.x\

w

=

az

+

b

由x

=

cz

+

d

,x

=

1

和w

=

Ax

+

B(i)w

=

z

+

b\w

=z

+b是一個(gè)平移映射.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~故v

=

y

+

b2u

=

x

+

b1(ii)w

=

az設(shè)z

=

reiq

a

=

leia

,則w

=

rlei

(q

+a

)\

把z先轉(zhuǎn)一個(gè)角度

a再將

z

伸長(zhǎng)(或縮短)

a

=

l倍后就得w,\w

=az是旋轉(zhuǎn)和伸縮合成的映射.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~19z

=

x

+

iy b

=

b1

+

ib2設(shè)w

=u

+iv于圓周

z

=

r對(duì)稱.名詞介紹:關(guān)于圓的對(duì)稱點(diǎn)(見圖）定義

若在半直線上有兩點(diǎn)

p,

p'滿足

op op'

=

r

2

,

則稱

p與p'

關(guān)~~~~~~~~roxyPP'~~~~~~~~~~~~~~~~~

規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為圓心o如何由p找到關(guān)于圓周z

=

r的對(duì)稱點(diǎn)p'呢?設(shè)p在圓外,從p作圓周的切線pT

,連接op

,由T作op的垂線Tp',與op交于p',那么p與p'即互為對(duì)稱點(diǎn).oP'TP20z(iii)w

=

111z令

w

=

1

,

w

=

w-iqiqe

w

=

w

=r=

e1rzw

=1

111設(shè)z

=reiq

=r(cosq

+i

sinq

)z

=

re-iq

=

r(cosq

-

i

sinq

)1=r

=1,z與w1在同一射線上;r

z

w11)作出點(diǎn)z關(guān)于圓周z

=

1的對(duì)稱點(diǎn)w1

.1ox,uy,vw1zwzw

=1

的幾何作圖\

z,

w1關(guān)于

z

=

1對(duì)稱.2)作出點(diǎn)w1關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)即得w(見圖).212.

分式線性映射的性質(zhì)先討論以上三種特殊映射的性質(zhì),從而得出一般分式線性映射的性質(zhì).(1)保角性z對(duì)于(iii

)w

=1

的情況

z

<

1

w

>

1

z

>

1

w

<

1

z

=

1

w

=

1;若arg

z

=q,

arg

w

=-q因此映射w

=1通常稱為反演變換22zw

=

￥;

z

=

￥w

=

f

(

z

)fi

w

=0(見第一章§2)w

=

f

(

z

)z

=

0

fiz

2又

w'

=

-

1

(

z

?

0)在擴(kuò)充復(fù)平面上處處共形的,即為一共形映射.23z\適當(dāng)規(guī)定￥

處夾角的定義后,映射w

=1w

=

az

+

b(a

?

0)\是共形映射.（詳見P195）對(duì)(i

),(ii

)的復(fù)合映射

w'

=

(az

+

b)'

=

a

?

0由于分式線性映射是由三種特殊映射復(fù)合而成的,有以下結(jié)論:~~~~~~~~~24定理1

分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的,且具有保角性.(2)保圓性z平面上的直線lfi

w平面上的圓周Gw

=az

+bfi\z平面上的圓周C

w

=az+b是平移,旋轉(zhuǎn),伸縮的合成映射.w

=az

+bw平面上的直線L窮大的圓周,那么圓周,即具有保圓性.w

=

az

+

b在擴(kuò)充復(fù)平面上把圓周

映射成若把直線看作是半徑無(wú)~~~~~~~w