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14.2.2完全平方公式第十四章整式的乘法與因式分解14.2乘法公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋.(重點(diǎn))2.靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.(難點(diǎn))講授新課完全平方公式一
計(jì)算下列多項(xiàng)式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=
.p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=
.m2+4m+4(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=
.p2-2p+1(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=
.m2-4m+4根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,寫出下列式子的答案:(a+b)2=
.a2+2ab+b2(a-b)2=
.a2-2ab+b2合作探究知識(shí)要點(diǎn)完全平方公式(a+b)2=
.a2+2ab+b2(a-b)2=
.a2-2ab+b2兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍.這兩個(gè)公式叫做(乘法的)完全平方公式.簡記為:“首平方,尾平方,積的2倍放中間”問題3
你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baabbaba
圖
1圖2幾何解釋:aabb=+++a2ababb2(a+b)2=
.a2+2ab+b2和的完全平方公式:a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋:(a-b)2=
.a2-2ab+b2差的完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.問題4
觀察下面兩個(gè)完全平方式,比一比,回答下列問題:1.說一說積的次數(shù)和項(xiàng)數(shù).2.兩個(gè)完全平方式的積有相同的項(xiàng)嗎?與a,b有什么關(guān)系?3.兩個(gè)完全平方式的積中不同的是哪一項(xiàng)?與a,b有什么關(guān)系?它的符號(hào)與什么有關(guān)?
公式特征:4.公式中的字母a,b可以表示數(shù),單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.1.積為二次三項(xiàng)式;2.積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和;3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍,且與兩數(shù)中間的符號(hào)相同.
想一想:下面各式的計(jì)算是否正確?如果不正確,應(yīng)當(dāng)怎樣改正?(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2
(-x+y)2=
(y-x)2=y2-2xy+x2(2x+y)2=4x2+4xy+y2例1運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2;(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2?(4m)?n+n2+8mn+n2;(a-b)2=a2-2ab+b2y2=y2--y+解:+-2?y?(2)=
練習(xí)1.利用完全平方公式計(jì)算:(1)(5+3a)2;解:(5+3a)2==25(a+b)2=a2+2ab+b252+2?5?3a+(3a)2+30a+a2;練習(xí)1.利用完全平方公式計(jì)算:(1)(5+3a)2;(a
-
b)2=a2
-2ab+b2例2.利用完全平方公式計(jì)算:
(1)(-3a+b)2
;(2)(-3m-4n)2;解:(-3a+b)2==9a2(a+b)2=a2+2ab+b2(-3a)2+2?(-3a)?b+b2-6ab+b2;解:(-3a+b)2=(b-3a)2==b2(a+b)2=a2+2ab+b2b2-2?b?(-3a)+(-3a)2-6ab+9a2例2.利用完全平方公式計(jì)算:
(1)(-3a+b)2
;(2)(-3m-4n)2;解:(-3m-4n)2==9m2(a+b)2=a2+2ab+b2(-3m)2-2?(-3m)?4n+(4n)2+24mn+16n2解:(-3m-4n)2=(3m+4n)2==9m2(a+b)2=a2+2ab+b2(3m)2+2?3m?4n+(4n)2+24mn+16n2練習(xí)2利用完全平方公式計(jì)算:(1)
(-5x+4)2;(2)(-a-7b)2.解:(-5x+4)2==25x2(a+b)2=a2+2ab+b2(-5x)2+2?(-5x)?4+42-40x+16解:(-5x+4)2=(4-5x)2==16(a+b)2=a2+2ab+b242-2?4?(-5x)+(5x)2-40x+25x2練習(xí)2利用完全平方公式計(jì)算:(1)
(-5x+4)2;(2)(-a-7b)2.解:(-a-7b)2==a2(a+b)2=a2+2ab+b2(-a)2-2?(-a)?7b+(7b)2+14ab+49b2解:(-a-7b)2=(a+7b)2==a2(a+b)2=a2+2ab+b2a2+2?a?7b+(7b)2+14ab+49b2(1)1022;解:1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000-200+1=9801.
例3
運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:方法總結(jié):運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡便計(jì)算,要熟記完全平方公式的特征,將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式.練習(xí)3.利用乘法公式計(jì)算:(1)982-101×99;(2)20162-2016×4030+20152.=(2016-2015)2解:(1)原式=(100-2)2-(100+1)(100-1)=(1002-400+4)-(1002-1)(2)原式=20162-2×2016×2015+20152=1002-400+4-1002+1=-395=12=1例4已知x-y=6,xy=-8.求:(1)x2+y2的值;(2)(x+y)2的值.=62-16=20解:(1)∵(x-y)2=x2+y2-2xy∴x2+y2=(x-y)2+2xy(2)(x+y)2=x2+y2+2xy=20+2×(-8)=4.練習(xí)4已知x+y=10,xy=-16.求:(1)x2+y2的值;(2)(xy-)2的值.=102-2×(-16)=132解:(1)∵(x+y)2=x2+y2+2xy∴x2+y2=(x+y)2-2xy(2)(x-y)2=x2+y2-2xy=132-2×(-16)=164.方法總結(jié):本題要熟練掌握完全平方公式的變式:x2+y2=(x-y)2+2xy=(x+y)2-2xy,(x-y)2=(x+y)2-4xy.當(dāng)堂練習(xí)2.下列計(jì)算結(jié)果為2ab-a2-b2的是()A.(a-b)2B.(-a-b)2C.-(a+b)2D.-(a-b)21.運(yùn)用乘法公式計(jì)算(a-2)2的結(jié)果是()A.a(chǎn)2-4a+4B.a(chǎn)2-2a+4C.a(chǎn)2-4D.a(chǎn)2-4a-4AD3.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:(1)(6a+5b)2=_______________;(2)(4x-3y)2=_______________;(3)(2m-1)2=_______________;(4)(-2m-1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2-24xy+9y24m2+4m+1
4m2-4m+14.由完全平方公式可知:32+2×3×5+52=(3+5)2=64,運(yùn)用這一方法計(jì)算:4.3212+8.642×0.679+0.6792=________.
255.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b2.6.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解:a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37;a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.解:∵x+y=8,∴(x+y)2=64,∴
x2+y2+2xy=64①;∵x-y=4,∴(x-y)2=16,∴x2+y2-2xy=16②;由①-②得4xy=4
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