完全平方公式

14.2.2完全平方公式第十四章整式的乘法與因式分解14.2乘法公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋.（重點(diǎn)）2.靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.（難點(diǎn)）講授新課完全平方公式一

計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=

.p2-2p+1(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=

.m2-4m+4根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出下列式子的答案:（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2合作探究知識(shí)要點(diǎn)完全平方公式（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式.簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”問題3

你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baabbaba

圖

1圖2幾何解釋:aabb=+++a2ababb2（a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋:（a-b)2=

.a2-2ab+b2差的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.問題4

觀察下面兩個(gè)完全平方式，比一比，回答下列問題：1.說一說積的次數(shù)和項(xiàng)數(shù).2.兩個(gè)完全平方式的積有相同的項(xiàng)嗎？與a,b有什么關(guān)系？3.兩個(gè)完全平方式的積中不同的是哪一項(xiàng)？與a,b有什么關(guān)系？它的符號(hào)與什么有關(guān)？

公式特征：4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.1.積為二次三項(xiàng)式；2.積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和；3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號(hào)相同.

想一想：下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2

(-x+y)2=

(y-x)2=y2-2xy+x2(2x+y)2=4x2+4xy+y2例1運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2?(4m)?n+n2+8mn+n2；(a-b)2=a2-2ab+b2y2=y2--y+解：+-2?y?(2)=

練習(xí)1.利用完全平方公式計(jì)算：(1)(5+3a)2；解:(5+3a)2==25(a+b)2=a2+2ab+b252+2?5?3a+(3a)2+30a+a2；練習(xí)1.利用完全平方公式計(jì)算：(1)(5+3a)2；(a

－

b)2=a2

－2ab+b2例2.利用完全平方公式計(jì)算：

(1)(－3a＋b)2

；(2)(－3m－4n)2；解:(-3a+b)2==9a2(a+b)2=a2+2ab+b2(-3a)2+2?(-3a)?b+b2-6ab+b2；解:(-3a+b)2=(b-3a)2==b2(a+b)2=a2+2ab+b2b2－2?b?(-3a)+(-3a)2-6ab+9a2例2.利用完全平方公式計(jì)算：

(1)(－3a＋b)2

；(2)(－3m－4n)2；解:(-3m-4n)2==9m2(a+b)2=a2+2ab+b2(-3m)2-2?(-3m)?4n+(4n)2+24mn+16n2解:(-3m－4n)2=(3m+4n)2==9m2(a+b)2=a2+2ab+b2(3m)2+2?3m?4n+(4n)2+24mn+16n2練習(xí)2利用完全平方公式計(jì)算：(1)

(－5x+4)2；(2)(－a－7b)2.解:(-5x+4)2==25x2(a+b)2=a2+2ab+b2(-5x)2+2?(-5x)?4+42-40x+16解:(-5x+4)2=(4-5x)2==16(a+b)2=a2+2ab+b242－2?4?(-5x)+(5x)2-40x+25x2練習(xí)2利用完全平方公式計(jì)算：(1)

(－5x+4)2；(2)(－a－7b)2.解:(-a－7b)2==a2(a+b)2=a2+2ab+b2(-a)2-2?(-a)?7b+(7b)2+14ab+49b2解:(-a－7b)2=(a+7b)2==a2(a+b)2=a2+2ab+b2a2+2?a?7b+(7b)2+14ab+49b2(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000-200+1=9801.

例3

運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：方法總結(jié)：運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡便計(jì)算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式．練習(xí)3.利用乘法公式計(jì)算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.＝(2016－2015)2解:(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝(1002－400＋4)－(1002－1)(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝1002－400＋4－1002+1＝－395＝12＝1例4已知x－y＝6，xy＝－8.求:(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝62－16＝20解:(1)∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy(2)(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20+2×(－8)＝4.練習(xí)4已知x+y＝10，xy＝－16.求:(1)x2＋y2的值；(2)(xy－)2的值.＝102－2×(-16)＝132解：(1)∵(x+y)2＝x2＋y2+2xy∴x2＋y2＝(x+y)2－2xy(2)(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝132－2×(-16)＝164.方法總結(jié)：本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.當(dāng)堂練習(xí)2.下列計(jì)算結(jié)果為2ab－a2－b2的是()A．(a－b)2B．(－a－b)2C．－(a＋b)2D．－(a－b)21.運(yùn)用乘法公式計(jì)算(a-2)2的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2-4a+4B．a(chǎn)2-2a+4C．a(chǎn)2-4D．a(chǎn)2-4a-4AD3.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x-3y)2=_______________；(3)(2m-1)2=_______________；(4)(-2m-1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2-24xy+9y24m2+4m+1

4m2-4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，運(yùn)用這一方法計(jì)算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．

255.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b2.6.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.解：∵x+y=8,∴(x+y)2=64,∴

x2+y2+2xy=64①;∵x-y=4,∴(x-y)2=16,∴x2+y2-2xy=16②;由①-②得4xy=4