.全微分與鏈?zhǔn)椒▌t

第八章§8.3、全微分全微分與鏈?zhǔn)椒▌t、鏈?zhǔn)椒▌t一元函數(shù)y=f(x)的微分常數(shù)A與△x無關(guān),僅與x有關(guān)關(guān)于△x的高階無窮小對x的偏增量

對x的偏微分

對y的偏增量

對y的偏微分

、全微分引例:一塊長方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了設(shè)面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x,△y的線性主部故稱為函數(shù)在的全微分變到分別由其邊長機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束變到多少?時比較高階無窮小定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.一般地(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:因函數(shù)在點(x,y)可微,故

必存在,且有得到對x

的偏增量因此有反例:函數(shù)易知但注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.定理2(充分條件)（證略）若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.于是，全微分例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:習(xí)慣上,分別記為例2.計算函數(shù)的全微分.解:

例3諒.計算的近亭似值勵.解:設(shè),則取則內(nèi)容早小結(jié)1.羞微滅分定酒義:2.捎重政要關(guān)緒系:偏導(dǎo)粱數(shù)存氏在函數(shù)統(tǒng)可微偏導(dǎo)誼數(shù)連慨續(xù)一元矩復(fù)合懸函數(shù)求導(dǎo)管法則本節(jié)視內(nèi)容協(xié):一、裳多元爬復(fù)合儀函數(shù)慶求導(dǎo)顏的鏈俗式法拐則二、柴多元霜復(fù)合除函數(shù)緞的全隨微分微分榴法則、多榮元復(fù)慕合函涼數(shù)求醋導(dǎo)的科鏈?zhǔn)秸摲▌t定理蔬.若函鼓數(shù)處偏霜導(dǎo)連束續(xù),在點t可導(dǎo)掌,則復(fù)槍合函齊數(shù)且有穴鏈?zhǔn)街▌t機(jī)動敏目切錄撤上頁斧下伍頁媽返回符結(jié)謊束(很全導(dǎo)腫數(shù)公西式陶)(△t＜到0時,浩根式篩前加索“–由”號薪)機(jī)動商目姿錄增上頁互下罰頁格返回沒結(jié)城束推廣秧:1)匙中椅間變汁量多順于兩授個的憲情形妙.例如裹,設(shè)下溫面所跑涉及貝的函丘數(shù)都勝可微護(hù).2)矮中例間變稻量是夠多元艙函數(shù)遣的情村形.例如賓,機(jī)動答目腦錄六上頁抽下蕉頁駕返回軋結(jié)咐束3)當(dāng)它能們都桌具有鼠可微割條件述時,距有注意芳:這里表示靈固定y對x求導(dǎo)憐,表示局固定v對x求導(dǎo)與不同蠟,機(jī)動浩目趁錄潔上頁豎下奴頁夜返回攀結(jié)岔束口訣耍:連線茶相乘處,分叉涂相加,辯單路擊全導(dǎo)緊,叉路旋偏導(dǎo)例1欠.以設(shè)解:機(jī)動珍目月錄罷上頁旅下挽頁突返回漲結(jié)者束例2妙.設(shè)求全矛導(dǎo)數(shù)解:機(jī)動真目似錄記上頁聚下披頁尊返回集結(jié)弓束例3.求

的偏導(dǎo)數(shù).解:設(shè)于是例4.解:機(jī)動尼目著錄收上頁客下飽頁蜓返回挪結(jié)娃束例5墊.設(shè)f具有侮二階陡連續(xù)期偏導(dǎo)辯數(shù),求解:令則機(jī)動剩目彈錄窄上頁稅下允頁納返回押結(jié)騾束多元耳復(fù)合煮函數(shù)揮的全熔微分設(shè)函蓬數(shù)的全探微分絡(luò)為可見碗無論u蝦,物v是自騾變量譜還是孩中間侮變量赴,則復(fù)盞合函反數(shù)都可兩微,其全膀微分鴿表達(dá)形式狀都一瘦樣,這性霧質(zhì)叫便做全微頂分形垃式不雨變性引.8.否3.的3學(xué)一個響方程慈所確容定的坐隱函漆數(shù)及圣其導(dǎo)墨數(shù)定理侄1.設(shè)函龜數(shù)則方榆程單值鐵連續(xù)萬函數(shù)y析=他f(x)箏,并有店連續(xù)(隱函窗數(shù)求密導(dǎo)公佩式)定理豎證明逝從略蜜，僅就牲求導(dǎo)求公式符推導(dǎo)洽如下朗：①具有含連續(xù)稍的偏玻導(dǎo)數(shù)京;的某鄰舅域內(nèi)可唯擇一確疼定一具個在點的某益一鄰濁域內(nèi)排滿足②③滿足己條件導(dǎo)數(shù)兩邊紅對x求導(dǎo)在的某解鄰域立內(nèi)則若F(x,y)的二挽階偏盜導(dǎo)數(shù)搬也都皆連續(xù)括,二階注導(dǎo)數(shù)怪:則還豪可求雅隱函批數(shù)的例4.呀求由杜方程解法地一令所確墻定的y是x的函擁數(shù)的導(dǎo)數(shù)桶.解法當(dāng)二方程曉兩邊振對x求導(dǎo)定理勺2誼.若函質(zhì)數(shù)的某流鄰域材內(nèi)具強(qiáng)有連續(xù)桐偏導(dǎo)算數(shù);則方豆程在點并有斑連續(xù)涌偏導(dǎo)恨數(shù)定一鉗個單累值連連續(xù)函跪數(shù)z席=州f(x邀,按y)埋,定理攤證明恢從略甩,僅就敲求導(dǎo)限公式家推導(dǎo)永如下排:滿足①在點滿足陽:②③某一順鄰域歡內(nèi)可威唯一叉確兩邊兼對x求偏恭導(dǎo)同樣閑可得則例5.設(shè)解法積1利用困隱函踐數(shù)求蘋導(dǎo)再對x求導(dǎo)解法耗2利用腥公式設(shè)則兩邊露對x求偏恒導(dǎo)內(nèi)容知小結(jié)1.聞復(fù)閥合函建數(shù)求閣導(dǎo)的強(qiáng)鏈?zhǔn)接龇▌t“分芒段用憂乘,分叉閑用加佛,單路雀全導(dǎo)累,叉路