空間幾何體的結(jié)構(gòu)和練習(xí)題

/§1－2空間幾何體的結(jié)構(gòu)[知識(shí)要點(diǎn)]1．簡(jiǎn)單空間幾何體的基本概念：<1><2>特殊的四棱柱：<3>其他空間幾何體的基本概念：幾何體基本概念正棱錐底面是正多面形.并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心正棱臺(tái)正棱錐被平行于底面的平面所截.截面與底面間的幾何體是正棱臺(tái)圓柱以矩形的一邊所在的直線為軸.將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體圓錐以直角三角形的一邊所在的直線為軸.將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體圓臺(tái)以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為軸.將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體球面半圓以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)而成的曲面球球面所圍成的幾何體2．簡(jiǎn)單空間幾何體的基本性質(zhì)：幾何體性質(zhì)補(bǔ)充說明棱柱<1>側(cè)棱都相等.側(cè)面是平行四邊形<2>兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形<3>過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面<對(duì)角面>是平行四邊形<1>直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等.側(cè)面及對(duì)角面都是矩形<2>長(zhǎng)方體一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和正棱錐<1>側(cè)棱都相等.側(cè)面是全等的等腰三角形<2>棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個(gè)直角三角形球<1>球心和球的截面圓心的連線垂直于截面<2>球心到截面的距離d.球的半徑R.截面圓的半徑r滿足<1>過球心的截面叫球的大圓.不過球心的截面叫球的小圓<2>在球面上.兩點(diǎn)之間的最短距離.就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度<兩點(diǎn)的球面距離>3．簡(jiǎn)單幾何體的三視圖與直觀圖：<1>平行投影：①概念：如圖.已知圖形F.直線l與平面相交.過F上任意一點(diǎn)M作直線MM1平行于l.交平面于點(diǎn)M1.則點(diǎn)M1叫做點(diǎn)M在平面內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影．如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F1.則F1叫圖形F在內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影．平面叫投射面.直線l叫投射線．②平行投影的性質(zhì)：性質(zhì)1．直線或線段的平行投影仍是直線或線段；性質(zhì)2．平行直線的平行投影是平行或重合的直線；性質(zhì)3．平行于投射面的線段.它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)；性質(zhì)4．與投射面平行的平面圖形.它的投影與這個(gè)圖形全等；性質(zhì)5．在同一直線或平行直線上.兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比．<2>直觀圖：斜二側(cè)畫法畫簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖．<3>三視圖：①正投影：在平行投影中.如果投射線與投射面垂直.這樣的平行投影叫做正投影．②三視圖：選取三個(gè)兩兩垂直的平面作為投射面．若投射面水平放置.叫做水平投射面.投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖；若投射面放置在正前方.叫做直立投射面.投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做主視圖；和直立、水平兩個(gè)投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面.投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖．將空間圖形向這三個(gè)平面做正投影.然后把三個(gè)投影按右圖所示的布局放在一個(gè)水平面內(nèi).這樣構(gòu)成的圖形叫空間圖形的三視圖．③畫三視圖的基本原則是"主左一樣高.主俯一樣長(zhǎng).俯左一樣寬"．4．簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積：<1>柱體、錐體、臺(tái)體和球的表面積：①S直棱柱側(cè)面積＝ch.其中c為底面多邊形的周長(zhǎng).h為直棱柱的高．②.其中c為底面多邊形的周長(zhǎng).h＇為正棱錐的斜高．③.其中c＇.c分別是棱臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng).h＇為正棱臺(tái)的斜高．④S圓柱側(cè)面積＝2Rh.其中R是圓柱的底面半徑.h是圓柱的高．⑤S圓錐側(cè)面積＝Rl.其中R是圓錐的底面半徑.l是圓錐的母線長(zhǎng)．⑥S球＝4R2.其中R是球的半徑．<2>柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積：①V柱體＝Sh.其中S是柱體的底面積.h是柱體的高．②.其中S是錐體的底面積.h是錐體的高．③.其中S＇.S分別是臺(tái)體的上、下底面的面積.h為臺(tái)體的高．④.其中R是球的半徑．[復(fù)習(xí)要求]1．了解柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征；2．會(huì)畫出簡(jiǎn)單幾何體的三視圖.會(huì)用斜二側(cè)法畫簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖；3．理解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式．[例題分析]例1如圖.正三棱錐P－ABC的底面邊長(zhǎng)為a.側(cè)棱長(zhǎng)為b．<Ⅰ>證明：PA⊥BC；<Ⅱ>求三棱錐P－ABC的表面積；<Ⅲ>求三棱錐P－ABC的體積．[分析]對(duì)于<Ⅰ>只要證明BC<PA>垂直于經(jīng)過PA<BC>的平面即可；對(duì)于<Ⅱ>則要根據(jù)正三棱錐的基本性質(zhì)進(jìn)行求解．證明：<Ⅰ>取BC中點(diǎn)D.連接AD.PD．∵P－ABC是正三棱錐.∴△ABC是正三角形.三個(gè)側(cè)面PAB.PBC.PAC是全等的等腰三角形．∵D是BC的中點(diǎn).∴BC⊥AD.且BC⊥PD.∴BC⊥平面PAD.∴PA⊥BC．<Ⅱ>解：在Rt△PBD中.∴∵三個(gè)側(cè)面PAB.PBC.PAC是全等的等腰三角形.∴三棱錐P－ABC的側(cè)面積是∴△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形.∴三棱錐P－ABC的底面積是∴三棱錐P－ABC的表面積為<Ⅲ>解：過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O.則點(diǎn)O是正△ABC的中心.∴在Rt△POD中.∴三棱錐P－ABC的體積為[評(píng)述]1、解決此問題要求同學(xué)們熟悉正棱錐中的幾個(gè)直角三角形.如本題中的Rt△POD.其中含有棱錐的高PO；如Rt△PBD.其中含有側(cè)面三角形的高PD.即正棱錐的斜高；如果連接OC.則在Rt△POC中含有側(cè)棱．熟練運(yùn)用這幾個(gè)直角三角形.對(duì)解決正棱錐的有關(guān)問題很有幫助．2、正n<n＝3.4.6>邊形中的相關(guān)數(shù)據(jù)：正三角形正方形正六邊形邊長(zhǎng)aaa對(duì)角線長(zhǎng)長(zhǎng)：2a；短：邊心距面積a2外接圓半徑a例2如圖.正三棱柱ABC－A1B1C1中.E是AC的中點(diǎn)．<Ⅰ>求證：平面BEC1⊥平面ACC1A1；<Ⅱ>求證：AB1∥平面BEC1．[分析]本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖.這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求.可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì).適當(dāng)添加輔助線幫助思考．證明：<Ⅰ>∵ABC－A1B1C1是正三棱柱.∴AA1⊥平面ABC.∴BE⊥AA1．∵△ABC是正三角形.E是AC的中點(diǎn).∴BE⊥AC.∴BE⊥平面ACC1A1.又BE平面BEC1.∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．<Ⅱ>證明：連接B1C.設(shè)BC1∩B1C＝D．∵BCC1B1是矩形.D是B1C的中點(diǎn).∴DE∥AB1．又DE平面BEC1.AB1平面BEC1.∴AB1∥平面BEC1．例3在四棱錐P－ABCD中.平面PAD⊥平面ABCD.AB∥DC.△PAD是等邊三角形.已知BD＝2AD＝8.．<Ⅰ>設(shè)M是PC上的一點(diǎn).證明：平面MBD⊥平面PAD；<Ⅱ>求四棱錐P－ABCD的體積．[分析]本題中的數(shù)量關(guān)系較多.可考慮從"算"的角度入手分析.如從M是PC上的動(dòng)點(diǎn)分析知.MB.MD隨點(diǎn)M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng).因此可考慮平面MBD內(nèi)"不動(dòng)"的直線BD是否垂直平面PAD．證明：<Ⅰ>在△ABD中.由于AD＝4.BD＝8..所以AD2＋BD2＝AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD.平面PAD∩平面ABCD＝AD.BD平面ABCD.所以BD⊥平面PAD.又BD平面MBD.故平面MBD⊥平面PAD．<Ⅱ>解：過P作PO⊥AD交AD于O.由于平面PAD⊥平面ABCD.所以PO⊥平面ABCD．因此PO為四棱錐P－ABCD的高.又△PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．因此在底面四邊形ABCD中.AB∥DC.AB＝2DC.所以四邊形ABCD是梯形.在Rt△ADB中.斜邊AB邊上的高為.即為梯形ABCD的高.所以四邊形ABCD的面積為故例4如下的三個(gè)圖中.上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖．它的主視圖和左視圖在下面畫出<單位：cm><Ⅰ>畫出該多面體的俯視圖；<Ⅱ>按照給出的尺寸.求該多面體的體積；<Ⅲ>在所給直觀圖中連結(jié)BC＇.證明：BC＇∥平面EFG．[分析]畫三視圖的基本原則是"主左一樣高.主俯一樣長(zhǎng).俯左一樣寬".根據(jù)此原則及相關(guān)數(shù)據(jù)可以畫出三視圖．證明：<Ⅰ>該幾何體三視圖如下圖：<Ⅱ>所求多面體體積<Ⅲ>證明：在長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'中.連結(jié)AD'.則AD'∥BC'．因?yàn)镋.G分別為AA'.A'D'中點(diǎn).所以AD'∥EG.從而EG∥BC'．又BC'平面EFG.所以BC'∥平面EFG．例5有兩個(gè)相同的直三棱柱.底面三角形的三邊長(zhǎng)分別是3a.4a.5a.高為.其中a＞0．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱.在所有可能的情形中.表面積最小的一個(gè)是四棱柱.求a的取值范圍．解：直三棱柱ABC－A1B1C1的三個(gè)側(cè)面的面積分別是6.8.10.底面積是6a2.因此每個(gè)三棱柱的表面積均是2×6a2＋6＋8＋10＝12a2＋24．情形①：將兩個(gè)直三棱柱的底面重合拼在一起.只能拼成三棱柱.其表面積為：2×<12a2＋24>－2×6a2＝12a2＋48．情形②：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面ABB1A1重合拼在一起.結(jié)果可能拼成三棱柱.也可能拼成四棱柱.但表面積一定是：2×<12a2＋24>－2×8＝24a2＋32．情形③：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面ACC1A1重合拼在一起.結(jié)果可能拼成三棱柱.也可能拼成四棱柱.但表面積一定是：2×<12a2＋24>－2×6＝24a2＋36．情形④：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面BCC1B1重合拼在一起.只能拼成四棱柱.其表面積為：2×<12a2＋24>－2×10＝24a2＋28在以上四種情形中.②、③的結(jié)果都比④大.所以表面積最小的情形只能在①、④中產(chǎn)生．依題意"表面積最小的一個(gè)是四棱柱".得24a2＋28＜12a2＋48.解得所以a的取值范圍是例6在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中.E.F分別是BB1.CD的中點(diǎn).求三棱錐F－A1ED1的體積．[分析]計(jì)算三棱錐F－A1ED1的體積時(shí).需要確定錐體的高.即點(diǎn)F到平面A1ED1的距離.直接求解比較困難．利用等積的方法.調(diào)換頂點(diǎn)與底面的方式.如.也不易計(jì)算.因此可以考慮使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法求解．解法1：取AB中點(diǎn)G.連接FG.EG.A1G．∵GF∥AD∥A1D1.∴GF∥平面A1ED1.∴F到平面A1ED1的距離等于點(diǎn)G到平面A1ED1的距離．∴解法2：取CC1中點(diǎn)H.連接FA1.FD1.FH.FC1.D1H.并記FC1∩D1H＝K．∵A1D1∥EH.A1D1＝EH.∴A1.D1.H.E四點(diǎn)共面．∵A1D1⊥平面C1CDD1.∴FC⊥A1D1．又由平面幾何知識(shí)可得FC1⊥D1H.∴FC⊥平面A1D1HE．∴FK的長(zhǎng)度是點(diǎn)F到平面A1D1HE<A1ED1>的距離．容易求得練習(xí)1－2一、選擇題：1．將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球.則這個(gè)球的表面積為<><A>2<B>4<C>8<D>162．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖.根據(jù)圖中數(shù)據(jù).可得該幾何體的表面積是<><A>9<B>10<C>11<D>123．有一種圓柱體形狀的筆筒.底面半徑為4cm.高為12cm．現(xiàn)要為100個(gè)這種相同規(guī)格的筆筒涂色<筆筒內(nèi)外均要涂色.筆筒厚度忽略不計(jì)>．如果所用涂料每0.5kg可以涂1m2.那么為這批筆筒涂色約需涂料<><A>1.23kg<B>1.76kg<C>2.46kg<D>3.52kg4．某幾何體的一條棱長(zhǎng)為.在該幾何體的正視圖中.這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段.在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中.這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段.則a＋b的最大值為<><A><B><C>4<D>二、填空題：5．如圖.正三棱柱ABC－A1B1C1的每條棱長(zhǎng)均為2.E、F分別是BC、A1C1的中點(diǎn).則EF的長(zhǎng)等于______．6．將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起.使得BD＝1.則三棱錐D－ABC的體積是______．7．一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形.其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上.且該六棱柱的高為.底面周長(zhǎng)為3.則這個(gè)球的體積為______．8．平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè).如兩組對(duì)邊分別平行.類似地.寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件①：_______________________________________________________________；充要條件②：_______________________________________________________________．<寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件>三、解答題：9．如圖.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中.