黑龍江省哈爾濱市忠植中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

黑龍江省哈爾濱市忠植中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，直線與拋物線交于點A，與圓的實線部分（即在拋物線內(nèi)的圓?。┙挥邳cB，F(xiàn)為拋物線的焦點，則△ABF的周長的取值范圍是（

）A．(4,6) B．(4,6] C．(2,4) D．(2,4]參考答案：A∵圓的圓心為(0,1)，拋物線的方程為∴圓心與拋物線的焦點重合∴∴三角形的周長∵∴三角形的周長取值范圍是(4,6)故選A

2.集合A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B?A，則x=(

)A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±4參考答案：C【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】集合．【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系與集合元素的互異性進行判斷．【解答】解：∵A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B?A，則x2=16或x2=4x，則x=﹣4，0，4．又當(dāng)x=4時，4x=16，A集合出現(xiàn)重復(fù)元素，因此x=0或﹣4．故答案選：C．【點評】本題考查集合中子集的概念與集合中元素的互異性3.已知為等比數(shù)列，若，則（

） A、10 B、20

C、60

D、100參考答案：D略4.已知，，是三個互不重合的平面，是一條直線，下列命題中正確命題是A．若，，則

B．若上有兩個點到的距離相等，則C．若，∥，則

D．若，，則

參考答案：C5.在中，若，則等于A.30°或150°

B.45°或60°

C.120°或60°

D.30°或150°參考答案：A6.若存在兩個正實數(shù)x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】特稱命題．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進行求解即可．【解答】解：由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+a（y﹣2ex）ln=0，即2+a（﹣2e）ln=0，即設(shè)t=，則t＞0，則條件等價為2+a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，設(shè)g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣為增函數(shù)，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴當(dāng)t＞e時，g′（t）＞0，當(dāng)0＜t＜e時，g′（t）＜0，即當(dāng)t=e時，函數(shù)g（t）取得極小值，為g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，則﹣≥﹣e，即≤e，則a＜0或a≥，故選：C7.已知冪函數(shù)

(p,q∈N+且p與q互質(zhì))的圖象如圖所示,則(

)

A.p、q均為奇數(shù)且<0

B.p為奇數(shù),q為偶數(shù)且<0C.p為奇數(shù),q為偶數(shù)且>0

D.p為偶數(shù),q為奇數(shù)且<0參考答案：C略8.下列命題正確的是：（1）已知命題（2）設(shè)表示不同的直線，表示平面，若；（3）利用計算機產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“”發(fā)生的概率為（4）“”是“”的充分不必要條件.A.（1）（4） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（3）（4）參考答案：D

【知識點】命題的真假判斷與應(yīng)用A2（1）命題p：?x∈R，2x=1．則?p是：?x∈R，2x≠1，因此不正確；（2）設(shè)l，m表示不同的直線，α表示平面，若m∥l，且m∥α，則l∥α或l?α，因此不正確；（3）P（3a﹣1＞0）=P（a＞）=，正確；（4）“a＞0，b＞0”?“”，反之不成立，例如a＜0，b＜0，則“”成立，因此“a＞0，b＞0”是“”的充分不必要條件，正確．綜上只有：（3）（4）正確．故選：D．【思路點撥】（1）利用命題的否定即可判斷出正誤；（2）若m∥l，且m∥α，則l∥α或l?α，即可判斷出正誤；（3）利用幾何概率計算公式即可判斷出正誤；（4）“a＞0，b＞0”?“”，反之不成立，例如a＜0，b＜0，則“”成立，即可判斷出正誤．9.已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足＜的x取值范圍是（A）（，）

(B)［，）

(C)（，）

(D)［，）參考答案：A10.設(shè)，，…，是變量和的個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線，以下結(jié)論正確的是

(

)A．直線l過點(，)B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率C．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間D．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則

.參考答案：12.設(shè)函數(shù)，若存在這樣的實數(shù)，對任意的，都有成立，則的最小值為

。參考答案：2略13.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實數(shù)x，y滿足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），，，考查下列結(jié)論：①f（1）=1；②f（x）為奇函數(shù)；③數(shù)列{an}為等差數(shù)列；④數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．以上命題正確的是．參考答案：②③④【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】利用抽象函數(shù)的關(guān)系和定義，利用賦值法分別進行判斷即可．【解答】解：（1）因為對定義域內(nèi)任意x，y，f（x）滿足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①錯誤，（2）令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)．故②正確，（3）若，則an﹣an﹣1=﹣===為常數(shù)，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故③正確，④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），∴當(dāng)x=y時，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），則f（22）=4f（2）=8=2×22，f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23，…則f（2n）=n×2n，若，則====2為常數(shù)，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，故④正確，故答案為：②③④．14.（理）函數(shù)的定義域是__________.參考答案：15.對于向量a，b，c，下列給出的條件中，能使成立的序號是

。（寫出所有正確答案的序號）

①

②a//b;

③a//c;

④b//c;參考答案：①③16.已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|，若對任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，則實數(shù)a的取值范圍為．參考答案：[3，+∞）【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】根據(jù)凸函數(shù)和凹函數(shù)的定義，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【解答】解：滿足條件有的函數(shù)為凸函數(shù)，f（x）=，作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象知當(dāng)x≤a時，函數(shù)f（x）為凸函數(shù)，當(dāng)x≥a時，函數(shù)f（x）為凹函數(shù)，若對任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，則a≥3即可，故實數(shù)a的取值范圍是[3，+∞），故答案為：[3，+∞）17.如圖，函數(shù)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，、是單位圓上的動點，是單位圓與軸的正半軸的交點，且，記，，的面積為.（Ⅰ）若，試求的最大值以及此時的值.（Ⅱ）當(dāng)點坐標(biāo)為時，求的值.參考答案：【解】（Ⅰ）………………2分則，…………4分，故時，…6分（Ⅱ）依題由余弦定理得：…略19.如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1的長為3，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是棱BC的中點．（Ⅰ）求證：BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求二面角C1﹣DE﹣C的正切值；（Ⅲ）在側(cè)棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】以點D為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，求出相關(guān)點的坐標(biāo)．（Ⅰ）求出平面C1DE的一個法向量，，通過數(shù)量積為0，推出BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求出平面ABCD的一個法向量，利用向量的數(shù)量積求解夾角的余弦函數(shù)值，然后求解二面角C1﹣DE﹣C的正切值．（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE，設(shè)P（2，2，t），利用與共線，列出不等式組，求解即可．【解答】解：以點D為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，3），D1（1，2，0），∵DC⊥AD是棱△ABC的中點，∴E（1，2，0），（Ⅰ）設(shè)平面C1DE的一個法向量為，則，∵，∴，∴，又DE?平面C1DE，∴BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）平面ABCD的一個法向量為，∴，，，∴二面角C1﹣DE﹣C的正切值為；（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE，設(shè)P（2，2，t），則，且與共線，∴存在實數(shù)λ使得，即這樣的λ不存在，∴在側(cè)棱BB1上不存在點P，使得CP⊥平面C1DE．20.（本小題滿分12分）在DABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且角A、B都是銳角，a=6，b=5，.（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的值.參考答案：(1)

(2)試題分析：（2）由（1）知，∴

（11分）

（12分）考點：正余弦值的關(guān)系正余弦值的和差角公式誘導(dǎo)公式余弦倍角公式21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，如果函數(shù)g（x）=f（x）﹣k僅有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍；（2）當(dāng)a=2時，試比較f（x）與1的大??；（3）求證：（n∈N*）．參考答案：【考點】不等式的證明；函數(shù)的零點；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)求出它的單調(diào)區(qū)間和極值，由題意知k大于f（x）的極大值，或k小于f（x）的極小值．（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，利用h（1）=0，分x＞1、0＜x＜1、當(dāng)x=1三種情況進行討論．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時，，令，有，可得，由，證得結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)時，，定義域是（0，+∞），求得，令f'（x）=0，得，或x=2．∵當(dāng)或x＞2時，f'（x）＞0；當(dāng)時，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，]、（2，+∞）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴f（x）的極大值是，極小值是．∵當(dāng)x趨于0時，f（x）趨于﹣∞；當(dāng)x趨于+∞時，f（x）趨于+∞，由于當(dāng)g（x）僅有一個零點時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k僅有一個交點，k的取值范圍是{k|k＞3﹣ln2，或}．（2）當(dāng)a=2時，，定義域為（0，+∞）．令，∵，∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

①當(dāng)x＞1時，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；②當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；

③當(dāng)x=1時，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．（3）證明：根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時，，即．令，則有，∴．∵，∴．【點評】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識，屬于中檔題．22.已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值為1．（1）求證：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求實數(shù)t的最大值．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；絕對值不等式的解法．【分析】（1）法一：根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出f（x）的最小值，得到x=時取等號，證明結(jié)論即可；法二：根據(jù)f（x）的分段函數(shù)的形式，求出f（x）的最小值，證明即可；（2）法一，二：問題轉(zhuǎn)化為≥t恒成立，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出的最小值，從而求出t的范圍即可；法三：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，當(dāng)x=時取等號，即f（x）的最小值為a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，顯然f（x）在（﹣∞，]上單調(diào)遞減，f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）的最小值為f（）=a