GCAL單調(diào)性凹向最值

微積分

Calculus單調(diào)性極值最值凹向拐點6/29/20231問題：如何快速判別函數(shù)的單調(diào)性？單調(diào)性定義：當(dāng)時，稱f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)時，稱f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少；一.一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系6/29/20232定理2.3：6/29/20233證明：設(shè)是(a,b)中任意兩點，且設(shè)則f(x)在上滿足拉氏定理條件，∴存在，使得6/29/20234例1.判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性。解：當(dāng)x>0時，在區(qū)間上單調(diào)遞增。問：如何求一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。6/29/20235單調(diào)區(qū)間的求法：6/29/20236單調(diào)區(qū)間求法例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:函數(shù)定義域為R，得令(臨界點)6/29/20237單調(diào)區(qū)間求法例3.求的單調(diào)區(qū)間。解:函數(shù)定義域為R，(臨界點)導(dǎo)數(shù)不存在！故的單調(diào)增加區(qū)間為的單調(diào)減少區(qū)間為6/29/20238求函數(shù)單調(diào)區(qū)間步驟通常函數(shù)在定義區(qū)間上不一定單調(diào)，但會在部分區(qū)間內(nèi)單調(diào)。

導(dǎo)數(shù)為零的點（駐點）和不可導(dǎo)點，可能是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點。(1)確定函數(shù)定義區(qū)間；(3)用臨界點劃分函數(shù)定義區(qū)間為部分區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)確定臨界點（可疑點）；(4)在各部分區(qū)間內(nèi)判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。6/29/202391.艱定義甩:P廳84(1妥)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2拜)則稱為的極小值點,稱為函數(shù)的極小值

.極大議值與能極小午值統(tǒng)彎稱為極值,燦極大危值點諸與極農(nóng)小值屑點統(tǒng)協(xié)稱為極值顏點.二.脫函飽數(shù)的概極大緞值與嘩極小先值6/吹26騾/2襖02敞310極大枯值極小心值統(tǒng)稱為極值。極值政是一枝個局部的概斗念！極大溜值re石la鞠ti逆ve蘭m拘ax微im封um極小越值re借la戲ti糠ve擾m賀in遺im禮um極值re揮la稻ti迎ve幼e惰xt固re存ma6/逆26祖/2島02淺311是極騰值點2.醋極梢值的短條件是駐點或不可搖導(dǎo)點增減增減函數(shù)糟單調(diào)急區(qū)間盡的分拳界點閣一定分是極敬值點尤。函數(shù)劑的極逝值點屠恰好嶄是函趙數(shù)f(女x)在其汽左右派附近由單是調(diào)增元加（攏減少滲）變變?yōu)閱螕裾{(diào)減屢少（膚增加矛）的盾轉(zhuǎn)折邪點。6/犁26叢/2白02鑰312是極歉值點2.些極秧值的抵條件是駐點或不可段導(dǎo)點6/摧26張/2漠02軟313是極羅值點2.旗極哄值的徑條件是駐點或不可干導(dǎo)點6/掏26味/2恐02尸314函數(shù)藥極值創(chuàng)(r敞el咸at夏iv狼e桿ex錯tr環(huán)em抱a)暮求法(1襪)兄確定參函數(shù)芽定義飯區(qū)匆間定；(3車)助用臨絞界點冰劃分羊函數(shù)托定義諸區(qū)間伯為部竿分區(qū)病間含；(2洞)求齒導(dǎo)數(shù)甚確定臨界施點（災(zāi)可疑醒點）；(4悲)賓在各宏部分庸區(qū)間源內(nèi)判錘斷導(dǎo)煎數(shù)的慢正負(fù)捎性，畜得出見函數(shù)芳的單調(diào)軍性；(5專)國檢查臭在麻臨界妻點左懂右的賭符號茅（即撇判斷況函數(shù)在臨戒界點撈左右別單調(diào)緊性的俗變化坐）：左正右負(fù)極大壟值左負(fù)右正極小全值左右爛同號不是異極值6/敢26貼/2宗02母315例1.求函順數(shù)覺的極值。解：①令得(駐雨點)②當(dāng)巨時，叛不存餅在。斯則(不肥可導(dǎo)畏點)（1步）定美義域昏為R輩，23+_+（3比）劃飛分區(qū)站間討玻論：（2吐）求破導(dǎo)數(shù)跌，解騾臨界獄點：是極脾大值雖點，少極大傻值為是極申小值鉤點，疤極小電值為不存創(chuàng)在023/束26/餐26煙/2肆02冬316練習(xí)室（1刻）函污數(shù)的極值溫.解：函數(shù)肺定義科域為糖R，令得002-2是極習(xí)大值益點，邁極大悠值為是極概小值宴點，士極小云值為6/然26烤/2慰02規(guī)317（2澡）函韻數(shù)的極值周.令得解:函數(shù)插定義現(xiàn)域為真R，0021是極沫大值嶼點，營極大族值為是極晝小值紙點，洲極小軋值為6/席26款/2脆02圾318練習(xí)買.忍求函鼓數(shù)的極歪值觀.解:1)仁求撕導(dǎo)數(shù)2)凱求治駐點令得3)刮列災(zāi)表判井別是極賄大值遍點，其極棗大值鳥為是極藥小值剃點，其極錄小值旨為19證：同理勝可證捕(2搶)定理輝2敲.7(函蒙數(shù)極食值判精別法Ⅱ)6/障26國/2歷02業(yè)320例、解:注意皇:6/灘26葬/2井02蔑321例、解:注意張:6/膠26學(xué)/2餃02膠322練習(xí)亭：榮求以寄下函木數(shù)的態(tài)極值Ke膚y：6/劣26紗/2堵02蒜3236/暫26桃/2燭02搭3246/微26雁/2芬02度325三.違二階選導(dǎo)數(shù)因與凹銹向的序關(guān)系定義折2.揭4若曲赴線弧部位于群其每青一點纏處的鴉切線球的上帝方，廚稱此幫曲線奴是上凹的；若曲嶄線弧始位于板其每圾一點劇處的憲切線啦的下股方，找稱此莖曲線訓(xùn)是下凹的；上凹(c識on像ca速ve形u動pw漿ar欺d)下凹(c絡(luò)on仆ca菊ve騎d如ow敵nw恩ar賓d)6/掛26默/2言02雅326定義蘿2.粱4若曲其線弧征位于抱其每專一點美處的協(xié)切線品的上纖方，壞稱此己曲線乞是上凹的；若曲聞線弧罵位于催其每綢一點愿處的易切線異的下環(huán)方，校稱此后曲線散是下凹的；上凹(c控on途ca凳ve貪u算pw精ar臟d)下凹(c盒on某ca鉗ve舌d頂ow肉nw絹ar渠d)6/筋26顯/2呈02膚327abcOxyABC函數(shù)曬曲線脖的凹曠向（葡co杠nc障av嚷it予y）6/鏟26季/2患02曾328函數(shù)議曲線版的拐免點（i蘆nf翼le稀ct將io瞧n翁po允in繩t）OxyABC6/門26朽/2天02仿329yOxABCabc

凹向維的判差斷＋＋－－6/避26職/2翅02格330二階勒導(dǎo)數(shù)伙為0節(jié)的點棗不一秧定為嶺其拐莊點！如何忘求拐疑點6/江26丈/2伶02刑331例：求函數(shù) 的凹性和拐點。解:左(1)(2帽)劃痛分區(qū)府間(3開)判幫斷符吐號—+下凹上凹拐點忙：注意荷“點慰”0∩∪6/賴26鼓/2歉02腳332練習(xí)稍１求曲筍線鹿的凹轟向區(qū)鍵間與翼拐點撥.解函數(shù)的定義域為令，解得．把定義域分成三個區(qū)間，列表如下：

因此,該曲線的拐點為和6/群26醬/2急02之333例２求曲線的拐點．解函數(shù)的定義域為，顯然時,不存在所以該曲線的拐點為6/掘26池/2碼02漆334拐點拐點6/棋26否/2陪02敗335例：異一般岸耐用缺品的勉累積尋銷售經(jīng)量y與時務(wù)間t有如宜下關(guān)真系：函數(shù)近曲線雙單調(diào)估遞增衰，表永明：碧耐用席品的墳累積銷售霧量y拆是隨銷時間遼t增州加的丘。6/載26摸/2雀02沖3366/吐26拴/2鐵02肯337函數(shù)蟲的最世大值主（最消小值俘）是召在所沙考察認(rèn)的范始圍內(nèi)麻所有葉函數(shù)慎值中最芽大（冤最小楚）的恩一個烤，相遵應(yīng)的鞭自變遞量是絕最值代點。最值促是整賣體概寺念最值ab巡壽so肢lu摩te嫌e頸xt楚re勁ma最大就值ab席so估lu直te任m劫ax召im貨um最小穩(wěn)值ab象so庭lu妥te猛m葛in宣im丘um四.叢函逮數(shù)的汗最大看值與法最小醫(yī)值6/繭26水/2強(qiáng)02砌3381.頌函數(shù)義在[a,b]上滔的最篇值在極值濁點或端點處達(dá)擾到覺.求函篇數(shù)最安值的炸方法槳:(1)求在內(nèi)的駐點(2酬)最大戰(zhàn)值最小必值內(nèi)可梨導(dǎo)戴,則其筑最值陶只能在開螺區(qū)間(a,b)6/香26注/2勿02樸339求在漲[a,b]上緊連續(xù)曾函數(shù)蝕的最素值步罵驟:1）艦求出才函數(shù)予在區(qū)禾間內(nèi)谷的極突值可幫疑點犁;2）除計算勝區(qū)間雅端點糟及可啄疑點補(bǔ)處函網(wǎng)數(shù)值騾；3）逼比較識上述眨函數(shù)陪值的疼大小講,最朋大的染一個勵就是移最大內(nèi)值,最小聽的一沾個就犬是最釀小值蠢。6/管26厭/2災(zāi)02閱340例.求函見數(shù)在上的辮最大往值和剪最小構(gòu)值古.解:故函釋數(shù)在取最啄小值頃;在及取最大值5.6/脅26版/2職02叉341練習(xí)則：解：計算比較導(dǎo)得6/苦26稀/2桿02默342例.求函巨數(shù)在上的黑最大是值和火最小剪值痕.解:顯然且故函鮮數(shù)在取最押小值屋;在及取最大值5.6/譽(yù)26油/2上02絹343一般綁地,在開限區(qū)間德內(nèi)的難連續(xù)傅函數(shù)鞠不一落定能聚取得挑最值.若在諒此點陳取極每大零值渡,貼則泳也是克最大筒值娛.(小抄)(小納)但是棉,刑當(dāng)逢在木某個登區(qū)間滿內(nèi)只有聯(lián)一個款極值嫂點時,2.扁函形數(shù)在蕩（a,b）上數(shù)的最扶值對應(yīng)謝用問滾題,有時堵可根清據(jù)實績際意順義判休別求終出的可疑雷點是志否為催最大異值沉點或振最小資值點啄.6/圓26調(diào)/2陵02兆344例將邊拖長為a的一御正方驗形鐵踢片于葡各角贈截去日相等守的小障正占方形哄,資然漸后折薯起各揮邊做愈成一乞個無胳蓋的施盒子材,衡問僻截去渴的小羽正禾方形行邊長池為多箱大時定,逝可潑使所嗚得無乓蓋盒譽(yù)子容乖積為鄭最大穴?解脈：設(shè)所撲截去學(xué)的小愛正方枝形邊維長為x,則是V的極蘭大值公點表,遼也是V的最秀大值汗點起.6/播26歪/2服02器345例：P9駕2、份例1撕0設(shè)在受公路搖的一害側(cè)有秘兩個耽車庫A和B,它們偉到公巷路的剛距離分別痰為AC=8和BD=4公里,CD=9公里.現(xiàn)在胳打算舟在公騾路旁建艱造一攝個加容油站E,并從傷兩個殖車庫噸分別出開辟意一條肺道路推直通加驅(qū)油站E.若要匠求兩旅個車卻庫到種加油置站的灶距離胳總和選最小,加油帥站E應(yīng)該紐奉建在搏何處?車庫BDCE8km4km車庫A解：設(shè)加油站建在離C點公里處,則兩個車庫到加油站的距離總和為即加范油站犬建在尤離C點6公里顛處,可使船兩個紗車庫辮到加蟻油站毅的距陣離總根和最宇小.(舍潮)6/巷26博/2翅02簡346練習(xí)浩：如下提圖，恰鐵路鉛線上傍AB勾段長膊10竹0公寬里，桃工廠便C到曾鐵路道的距乳離C韻A為谷20仍公里量，現(xiàn)武在要鬼在A億B上獵某一萍點D煉處，窗向C福修一槽條公飽路，喚已知探鐵路振每噸帳公里敞的運(yùn)傲費與華公路柏每噸櫻公里辯的運(yùn)糊費之慮比為燭3:寧5，盜為了籠使原限料從樂供應(yīng)緣瑞站B險運(yùn)到魚工廠脹C的勸運(yùn)費碰最省紀(jì)，D綱點應(yīng)紐奉選在蔥何處占。BADC10獨0206/尤26處/2較02間347函數(shù)撥定義剖域內(nèi)貍只有哪一個宇極小做值點浩，則疾其為類最小怕值點郵。所握以x=1雷5處院取得舟最小叢值。6/蠅26淹/2饅02文34830衡00工廠練習(xí)維：90揉0設(shè)在亂工廠境一側(cè)惠距離層工廠x米秀的對丹岸處緞鋪設(shè)床電纜成本沈：陸鞏地4女元/搭米，冤水底幫5元甚/米次.即在噸距離孫電廠液18傅00向米處砍鋪設(shè)寄電纜俊,總尖費用帆最小齊.電廠6/來26然/2制02妹349(1襲)求p范圍誤,使僑銷售烏額R疾(p)增辱加(訓(xùn)減少近)(2測)求p,使圈R(p)最略大,6/盯26跑/2凱02闖3506/滅26汪/2卡02漠351例：眨已知角需求涂函數(shù)鬼為Q和p分別云為商華品的扒需求把量和桃價格繞。（1劈燕）確委定收惑入函百數(shù)單矩調(diào)增僚加和誰減少凝的價迫格區(qū)成間；（2更）當(dāng)嘗價格肌為多棕少時肢收入六最高暫？最冷高收斥入為印多少貍？解：6/爸26晨/2清02誦3526/副26初/2功02條3536/情26借/2段02患354P1接9614181920P1腐9832作業(yè)趙樹滔嫄6/蠻26吸/2霞02肚3556/盤26伯/2楚02純35653旱.悉Ma貍xi線mi株zi贊ngTo夏ta戒l懼Re去ve莖nu仁e.Gi棄ve云n網(wǎng)th包e破de菜ma敗nd扣f臘un京ct得io寺nwh凡er鞏eQis相m駐ea馳su雙re僅d扯in內(nèi)u旱ni側(cè)ts構(gòu)o城f疫te席n深th雙ou萄sa圓nd逢a正ndpis坡m秀ea濱su之re百din昌t作en論t省ho某us境an候d簽d各ol睜la乒rsDe辭te耽rm喂in乞e勉th灰e棚ra枯ng市e怨of鵲p絨ri層cepsu攔ch服t診ha筍t內(nèi)th麗e戲to康ta悠l讀re慈ve桑nu范e碧is盛i稈nc調(diào)re喇a(chǎn)s姓in枝g疾an媽d州de掛cr礦ea陶si抵ng傲,哥re晉sp集ec租ti累ve縱ly徐.(b瓜)W灰ha穗t逆pr堤ic學(xué)e青pe樂r蘋un帥it俘m妥u(yù)s攪t命be攝c委ha勤rg分ed勇i村n搞or忘de度r氏toma演xi點mi接ze住t飾he偏t僅ot沉al錯r朵ev壇en婦ue途?指Wh才at祥i港s票th袖e旅ma捉xi住mu冊m鞏to親ta農(nóng)l曬re計ve忽nu諒e?(a收)(b姥)6/缺26隆/2菠02裕3576/徒26枯/2年02慮3586/扔26裝/2種02挖359單調(diào)登性的思判別趣法6/維26俗/2侍02絹360在x=0粒處可董導(dǎo)在x=0箏處導(dǎo)寸數(shù)不麥存在補(bǔ)充文：導(dǎo)數(shù)姜不存焦在點在x=0包處導(dǎo)巧數(shù)不董存在6/炮26步/2晨02克361哪些雷點導(dǎo)妥數(shù)不堅存在防（不擺可導(dǎo)室）？abcdefg6/偷26淋/2逝02蓮362一階團(tuán)導(dǎo)數(shù)骨為零六的點新（駐坊點）和導(dǎo)亂數(shù)不辨存在準(zhǔn)的點勉，都可拉能是報函數(shù)證單調(diào)區(qū)間鑼的分瓶界點停。單調(diào)椅區(qū)間淋的分渣界點臨界完點（遇Cr太it半ic龍al掩P鑼oi您nt丙）(1輸)一港階導(dǎo)風(fēng)數(shù)為此0的昌點(兇駐點洪)；(2恥)一崖階導(dǎo)箱數(shù)不厚存在儀的點導(dǎo)。6/接26浩/2扎02團(tuán)363例4.求函漂數(shù)擔(dān)的單農(nóng)調(diào)區(qū)楚間。解：①令得(駐柏點)②當(dāng)援時，辦不存皺在。腸則(不孔可導(dǎo)忍點)（1紅）定御義域蘭為R佛，23+_+下結(jié)師論：膝所以伯..薪.（3幅）劃晝分區(qū)盟間討偽論：（2仔）求竄導(dǎo)數(shù)專，解巡壽臨界頃點：6/裙26淋/2竿02展364例2面、解:注意:單調(diào)前性是少函數(shù)藍(lán)在一他個區(qū)煤間上飄的性刻質(zhì)，宴要用砌導(dǎo)數(shù)印在這證一懷區(qū)鈴間上梢的符狗號來池判定令，而澇不能杯用一俘點處洞的導(dǎo)稠數(shù)腰符號燭來焰判別播。6/姑26魄/2國02鐵365練習(xí)忙：求以題下函雙數(shù)的絞單調(diào)餅區(qū)間（1領(lǐng)）（2脈）（3鍵）6/脂26夢/2剝02蒙366（1蕩）函戲數(shù)的單匪調(diào)區(qū)藍(lán)間.解：揚(yáng)（1沸）求六定義安域：函數(shù)匙定義多域為枝R，令得故的單調(diào)增加區(qū)間為的單調(diào)減少區(qū)間為（2歌）求羊?qū)?shù)犯，解奪臨界努點：（3咳）劃名分區(qū)偵間討斜論：6/件26豎/2足02滅367（2丸）函憐數(shù)的單拌調(diào)區(qū)梳間.令得故的單調(diào)帝增加區(qū)間硬為的單調(diào)宗減少區(qū)間良為解:函數(shù)捧定義紐奉域為露R，6/螺26免/2往02讀368（3全）函味數(shù)的單族調(diào)區(qū)取間.解:函數(shù)刪定義溪域為x>亂0，x=1比為駐點；x=0百為不可貝導(dǎo)點（但鹽不在土定義逐域內(nèi)蒼，舍撞去）；下結(jié)服論：所以槐..療.6/含26亮/2第02惑369-1氏，0營，1克，增驢減減鋸增6/囑26波/2籮02資370三.潤函數(shù)霞的極桿大值漢和極目小值1.彈定義盾:P園84(1殘)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2澇)則稱為的極小值點,稱為函數(shù)的極小值

.極大凱值與皮極小越值統(tǒng)乒稱為極值,縣極大催值點恭與極綠小值寇點統(tǒng)銅稱為極值謊點.6/皺26雹/2蜂02壺371極大頓值極小滲值統(tǒng)稱為極值。極值蠶是一融個局部的概下念！極大董值re策la拖ti背ve肝m什ax掘im齊um極小秤值re堪l(fā)a屈ti幸ve掏m暮in陰im妖um極值re福la朝ti珍ve執(zhí)e豈xt怕re穿ma6/鑰26炕/2近02俯372是極社值點2.紫極金值的滾條件是駐點或不可港導(dǎo)點增減增減函數(shù)飯單調(diào)乓區(qū)間須的分承界點餃一定敲是極移值點仇。函數(shù)絮的極穩(wěn)值點身恰好離是函笛數(shù)f(豆x)在其檢左右赤附近由單口調(diào)增榮加（券減少恭）變流為單皺調(diào)減縮慧少（構(gòu)增加影）的爸轉(zhuǎn)折喜點。6/紋26題/2桐02素373是極搖值點2.替極佩值的兇條件是駐點或不可輪導(dǎo)點6/趨26剪/2斤02雪374函數(shù)附極值襪(r辣el樹at沫iv食e州ex濃tr布em盾a)獵求法(1政)橫確定恥函數(shù)逐定義懲區(qū)篇間狗；(3玩)求用臨遞界點寬劃分豆函數(shù)虜定義謠區(qū)間攤為部亂分區(qū)肢間噴；(2照)求術(shù)導(dǎo)數(shù)翻確定臨界號點（劣可疑習(xí)點）；(4渾)咐在各生部分磁區(qū)間抖內(nèi)判瞞斷導(dǎo)域數(shù)的馬正負(fù)碌性，輔得出吃函數(shù)合的單調(diào)硬性；(5漂)浩檢查豎在蝴臨界夕點左憂右的余符號描（即校判斷鵲函數(shù)在臨擇界點古左右咱單調(diào)伶性的善變化飲）：左正右負(fù)極大黃值左負(fù)右正極小適值左右仍同號不是稠極值6/勾26予/2合02萍375例1.求函怨數(shù)冠的極值。解：①令得(駐疏點)②當(dāng)閉時，含不存悶在。繞則(不怎可導(dǎo)系點)（1溜）定擁義域附為R例，23+_+（3棚）劃佛分區(qū)柿間討尚論：（2藥）求加導(dǎo)數(shù)揮，解想臨界母點：是極嗓大值憲點，伐極大撒值為是極久小值況點，諒極小塔值為不存孝在023/狼26/驢26斗/2刊02支376練習(xí)年（1鎖）函常數(shù)的極值圓.解：函數(shù)羅定義角域為殼R，令得002-2是極惠大值蓋點，磨極大射值為是極境小值今點，竿極小豈值為6/季26椅/2輛02他377（2倉）函欄數(shù)的極值枝.令得解:函數(shù)話定義俘域為餅R，0021是極漢大值貌點，嚴(yán)極大托值為是極蠻小值哥點，田極小熟值為6/六26瓜/2純02紋378練習(xí)砍.裝求函籮數(shù)的極槐值柿.解:1)響求周導(dǎo)數(shù)2)安求匪駐點令得3)價列原表判勇別是極喊大值壤點，其極嬸大值復(fù)為是極緒小值洞點，其極編小值扮為79證：同理井可證噴(2鋸)定理冒2棗.7(函每數(shù)極鑄值判陣別法Ⅱ)6/腿26杜/2諷02鮮380定理寶2利.7(函惜數(shù)極聽值判鞭別法Ⅱ)例、6/幼26堅/2喪02猶381解:注意床:6/估26滿/2混02險382∩∪∪6/法26拋/2頃02棟383四.耀函數(shù)坦的最脖大值勾和最美小值1、謎函數(shù)緩的最著大值模（最揮小值德）是壘在所灣考察敗的范斤圍內(nèi)小所有慣函數(shù)延值中最雨大（寸最小串）的逗一個接，相垮應(yīng)的哈自變販量是億最值瘋點。最值捧是整輔體概描念最值ab珠so她lu福te銹e崗xt紡re殖ma最大肥值ab充so砌lu毅te機(jī)m墾ax罵im暑um最小額值ab丹so炮lu估te敞m擦in竭im鐵um6/礦26辜/2袋02睛384定義燥2.文4若曲役線弧糊位于殲其每漁一點型處的救切線難的上快方，負(fù)稱此蠶曲線衡是上凹的；若曲滋線弧牌位于骨其每村一點拳處的傲切線按的下希方，月稱此膛曲線菌是下凹的；上凹(c片on奏ca惑ve鍵u墨pw輸ar裹d)下凹(c沃on枝ca谷ve碰d獨ow繡nw狂ar偽d)四.膏函數(shù)挺曲線抵的凹決向和和拐點6/非26竊/2度02攀385定義沈2.賊4若曲脈線弧片位于佩其每嚷一點扎處的砍切線肅的上背方，幕稱此滔曲線丹是上凹的；若曲虹線弧姓位于睜其每蓮一點廟處的哈切線然的下障方，晴稱此店曲線彎是下凹的；上凹(c鍬on野ca切ve堤u倒pw喘ar腎d)下凹(c豬on鞠ca銅ve剪d捕ow譽(yù)nw中ar騾d)6/笛26素/2挖02芝386abcOxyABC一、輔函印數(shù)曲蠶線的聲凹向張（c希on孫ca疾vi未ty矩）6/睜26駐/2豆02能387二、爽函數(shù)剛曲線窮的拐帶點（i挪nf您le春ct偽io變n枝po工in袋t）OxyABC6/野26攏/2顆02僑388yOxABCabc

三、搶凹向姿的判淚斷＋＋－－6/植26周/2逢02億3896/冠26鼠/2坡02醒390二階廢導(dǎo)數(shù)銅為0忙的點現(xiàn)不一吳定為記其拐殿點！四、進(jìn)如獅何求受拐點6/拾26裳/2眠02吉391例：求函數(shù) 的凹性和拐點。解:納(1)(2黃)劃舌分區(qū)株間(3憐)判此斷符洞號—+下凹上凹拐點耕：注意竟“點嶼”0∩∪6/閉26米/2不02擊392練習(xí)庭１求曲英線陷的凹肝向區(qū)德間與掠拐點駐.解函數(shù)的定義域為令，解得．把定義域分成三個區(qū)間，列表如下：

因此,該曲線的拐點為和6/帆26揪/2本02華393例２求曲線的拐點．解函數(shù)的定義域為，顯然時,不存在所以該曲線的拐點為6/祖26陽/2穴02域394拐點拐點6/較26吊/2交02皮395小結(jié)健：函數(shù)拿的單腎調(diào)區(qū)族間函數(shù)泥的極叫值最太值函數(shù)貢的凹棒向拐環(huán)點6/蜂26租/2條02滔396作業(yè)極值教：肯P1揮06喜/9砌(1韻)(黑3)喪(5銷)(丈7)單調(diào)拾區(qū)間導(dǎo)：文P1頸06評/東106/光26盜/2零02級3976/新26月/2途02肅398課堂攀練習(xí)俯：6/伴26借/2纏02幻玉3996/蝕26胳/2夸02局310巡壽0(k為某患一常護(hù)數(shù)店)例.鐵路讀上AB段的旦距離五為1段00璃k犁m縣,稱工廠C距A處2圈0AC⊥AB調(diào),要在AB線上低選定自一點D向工馬廠修壞一條已知領(lǐng)鐵路史與公初路每澇公里委貨運(yùn)農(nóng)價之講比為儉3:5纏,為使四貨D點應(yīng)漠如何趕選取罪?20解:設(shè)則令得又所以為唯一的極小練點練,故AD=1家5駱km贈時底運(yùn)費佩最省稀.總運(yùn)怖費物從B運(yùn)到串工廠C的運(yùn)雕費最員省,從而尋為最歇小點抬,問km稅,公路票,6/水26檢/2毫02爸310相1敵人送乘汽嶄車從督河的爹北岸掀A處量以1托千米晃/分繭鐘的將速度唐向正牽北逃富竄，午同時喬我軍廁摩托爬車從首河的孤南岸乎B處犯向正耍東追診擊速遣度為盛2千次米/焦分鐘遇．問胡我軍宇摩托框車何晌時射代擊最裳好（后相距豎最近休射擊碗最好省）？例解(1誘)建優(yōu)立敵棗我相駕距函權(quán)數(shù)關(guān)輝系敵我栽相距叢函數(shù)6/桐26撫/2搖02畏310囑2得駐混點實際柏問題藏求最拜值應(yīng)乳注意爺:(1雅)建層立目魂標(biāo)函矮數(shù);(2央)求致最值意;6/找26輝/2形02莫310頂3例某房泉地產(chǎn)臘公司保有5受0套悄公寓間要出購租，進(jìn)當(dāng)租俯金定旁為每賤月1腥80寄元時藝，公器寓會歲全部厚租出竭去．僵當(dāng)租溝金每漂月增更加1繼0元鞏時，泊就有煎一套犁公寓躺租不地出去疏，而蹄租出孫去的深房子沖每月在需花貸費2士0元仍的整些修維膛護(hù)費劣．試勸問房欲租定判為多竿少可單獲得溝最大盟收入念？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月奧總收小入為6/爐26濫/2怒02辜310跳4（唯震一駐散點）故每雹月每曲套租魯金為盒35嗚0元掠時收壞入最箱高。最大五收入萬為極大層值6/善26海/2廊02宿310所5如：但通晶過導(dǎo)奴數(shù)可占看出湖：函剃數(shù)在0點膚的任遺何鄰?qiáng)^域內(nèi)兔都不廈單調(diào)樂。6/族26蒙/2算02堤310沒6請大述家回壟家練桂習(xí)：極值瘡：謎P1纏06亡/9障(1意)(謝3)神(5工)(架7)微分繩：須P1俯10談/圖27寺-3環(huán)0單調(diào)肢區(qū)間泡：佩P1關(guān)06怪/孫106/查26鈴/2劫02窯310滿7例2.某旅窮行團(tuán)，20天的鑒行程叛每人膜繳交賤費用60去00柜0元，飾這是結(jié)已有10照0人參柳加的酬情況敢下。塔倘若套旅行央社同另意每敬增加宴一人恭則每耐人少值收20怎0元，舊試問再旅客踩人數(shù)綱為若星干時宴旅行落社可廚以得醬到最刪大利洗益?解:假設(shè)粘旅客森人數(shù)嚴(yán)為榜人時偶旅行領(lǐng)社的先最大告利益為柿，則令旅客鄙人數(shù)孫為20慎0人時割旅行先社的村最大蒸利益勾為元，鎖此時詢每人佳繳交40爐00熱0元。蹦■6/辱26讀/2絲式02盆310你86/滾26妙/2產(chǎn)02橡310業(yè)9例解例6/隱26啟/2畝02踏311閱0練習(xí)遷：求列下列日函數(shù)野y的西微分6/圍26絞/2鄙02單311泡16/鉤26蹄/2克02編311歌26/惜26徑/2載02慚311震3MNT）P微分弄的幾廊何意浪義6/徒26好/2濱02米311賄4微分督的應(yīng)例用:近似熔計算P1內(nèi)05厚,7臺(3慚)求促ln多1.膚01逆的近似識值6/皇26健/2取02梁311憲5已知奧正方筋形邊啟長，當(dāng)招邊長耕有一蒜個小雕的增像量，求紀(jì)此正討方形杯面積恰的改村變量近似順值為吧多少痛？微分拿的應(yīng)被用6/更26顧/2追02疑311暈66/冬26擺/2策02晉311忙76/營26剃/2乳02早311飲86/跌26友/2慈02剝311養(yǎng)9微分乘形式夫不變缸性設(shè)及都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)的微分為上式責(zé)說明諸無論蕩是u自變燈量還帳是中薪間變醒量其莫微分央形式店不變?nèi)?昨這糕一性質(zhì)艷稱為微分緩形式自不變掛性.6/漆26客/2淘02宏312才0例在下粥列等斑式左較端的逮括號盈中填競?cè)脒m枕當(dāng)?shù)奈瘮?shù)兇,使終等式食成立碎.解(1碧)我詠們知彎道可見一般地,有(C為任意常數(shù))6/尿26緒/2樂02剩312融1(2柳)(C為任意常數(shù))6/艱26素/2薄02笛312鐮2作業(yè)P1宅47致：5加.（笨3,劇4,男5,啊6）右補(bǔ)充孩題：哭5，成6，提8復(fù)合抗、隱麥函數(shù)郊求導(dǎo)網(wǎng)：P9罰4：若2（靠1，堆2，桐3，躺5）7（柴1，廟3）今，1烏0（關(guān)1，燦2）P9格7：印2（撕2，紹4）微分鄭及其理應(yīng)用紫：P1普05劍：2么（2局，3包，4值，6故），慕3（辯1，抗2）經(jīng)濟(jì)思應(yīng)用繡：P壺14財5：雖1；岸P1絹46跨，4戀補(bǔ)箏充題已：9趟——綠166/憲26到/2艱02責(zé)312包3解:推廣6/郵26搞/2拴02張312關(guān)4解:解:6/勾26耳/2筋02該312腎53.專復(fù)合潮函數(shù)絕的求喪導(dǎo)法悅則利用已上述準(zhǔn)公式沿及法連則初肥等函悠數(shù)求哄導(dǎo)問丈題可渾完全雖解決泉.注意殖:初等壯函數(shù)俱的導(dǎo)忙數(shù)仍炊為初橡等函點數(shù).解:6/蛛26辛/2崗02然312滔6設(shè)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)（1）若x是自變量時，三、意一階掩微分閃的形兔式不悼變性（2爆）若x是中蚊間變聯(lián)量時芝，即抱是另首一變胡量t的可減微函旦數(shù)則.6/池26神/2超02鉛312苦7結(jié)論：不論x是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分形式總是.例設(shè)侮,求音.解:例設(shè)，求.6/形26慢/2蜂02茫312細(xì)8四、殼隱函李數(shù)的戀導(dǎo)數(shù)解:定義由方程所確定的函數(shù)稱為掌隱函租數(shù)。隱函數(shù)的顯化問題:隱函厘數(shù)不嗽易顯書化或姜不能牛顯化擋如何厚求導(dǎo)史?6/型26齒/2蛙02劍312老9隱函本數(shù)求么導(dǎo)法核則:用復(fù)喂合函休數(shù)求稼導(dǎo)法部則直翁接對贏方程擔(dān)兩邊堵求導(dǎo)謊,或休利用卸一階需微分機(jī)的形炕式不蝦變性猾對方塌程兩溝邊求亭微分象.例的導(dǎo)狠數(shù).解:紋法訊一、污方程臣兩邊餡對x求導(dǎo)(注謎:y看成x的函峰數(shù))求由方程確定的隱函數(shù)6/坡26贈/2殊02蹦313島0法二若、方沾程兩常邊同獄時求渠微分例設(shè)曲線C的方程為，6/贊26答/2族02悅313運(yùn)1求過C上點