一元二次不等式及其解法(一)

第三章不等式§3.2一元二次不等式及其解法(一)1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系.2.掌握圖象法解一元二次不等式.3.培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、分類討論思想方法解一元二次不等式的能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式的概念一元二次不等式定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式表達(dá)式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)解集ax2＋bx＋c＞0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為正數(shù)的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c＜0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于或等于0的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值小于或等于0的自變量x的取值集合解析①②是，符合定義；③不是，因?yàn)槲粗獢?shù)的最高次數(shù)是3，不符合定義；④不是，當(dāng)a＝0時(shí)，它是一元一次不等式，當(dāng)a≠0時(shí)，它含有兩個(gè)變量x，y；⑤不是，當(dāng)a＝0時(shí)，不符合一元二次不等式的定義.思考下列不等式是一元二次不等式的有________.①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a為常數(shù))；⑤ax2＋bx＋c＞0.解析答案①②知識(shí)點(diǎn)二一元二次不等式的解法利用“三個(gè)二次”的關(guān)系我們可以解一元二次不等式.解一元二次不等式的一般步驟：(1)將不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0；(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng)Δ≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集.知識(shí)點(diǎn)三“三個(gè)二次”(二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)

的關(guān)系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，且x1＜x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1，x2沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??思考二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集為R，則a的取值范圍是____________.返回(－∞，－1)答案題型探究重點(diǎn)突破題型一一元二次不等式的解法例1

解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；解析答案

解析答案(3)－2x2＋3x－2＜0；解原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因?yàn)棣ぃ?－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實(shí)根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.

解析答案反思與感悟解原不等式可化為x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0無實(shí)根，又二次函數(shù)y＝x2－6x＋10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為?.解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；(2)計(jì)算對應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；解析答案解方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1，x2＝6.結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－5x－6的圖象知，原不等式的解集為{x|x＜－1或x＞6}.(2)(2－x)(x＋3)＜0；解析答案解原不等式可化為(x－2)(x＋3)＞0.方程(x－2)(x＋3)＝0的兩根為x1＝2，x2＝－3.結(jié)合二次函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖象知，原不等式的解集為{x|x＜－3或x＞2}.(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).解析答案

題型二解含參數(shù)的一元二次不等式例2

解關(guān)于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R).解析答案反思與感悟解原不等式可化為：(ax＋1)(x－1)＜0，當(dāng)a＝0時(shí)，x＜1；當(dāng)a＝－1時(shí)，x≠1；解析答案反思與感悟綜上，當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集是{x|x＜1}；反思與感悟當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式的解集是{x|x≠1}；含參數(shù)不等式的解題步驟(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；(2)判斷相應(yīng)的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根據(jù)根的情況寫出相應(yīng)的解集(若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，為了寫出解集還要比較兩個(gè)根的大小).另外，當(dāng)二次項(xiàng)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)先討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，這決定不等式是否為二次不等式.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.解原不等式可化為(x－a)(x－a2)＞0討論a與a2的大小(1)當(dāng)a2＞a即a＞1或a＜0時(shí)，x＞a2或x＜a.(2)當(dāng)a2＝a即a＝0或a＝1時(shí)，x≠a.解析答案(3)當(dāng)a2＜a即0＜a＜1時(shí)，x＞a或x＜a2.綜上，當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，解集為{x|x＞a2或x＜a}，當(dāng)a＝0或1時(shí)，解集為{x|x≠a}，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為{x|x＞a或x＜a2}.題型三“三個(gè)二次”關(guān)系的應(yīng)用例3

已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.解析答案反思與感悟解方法一由題意可得a＜0，且α，β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，∵a＜0,0＜α＜β，∴由②得c＜0，解析答案反思與感悟方法二由題意知a＜0，解析答案反思與感悟?qū)⒎椒ㄒ恢械蘑佗诖?，得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，即(αx－1)(βx－1)＞0.反思與感悟求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置確定一元二次不等式的解集.當(dāng)兩個(gè)“有關(guān)聯(lián)”的不等式同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，應(yīng)注意根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集.解∵x2＋ax＋b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，∴1,2是方程x2＋ax＋b＝0的兩根.代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.解析答案不注意一元二次不等式二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)致誤易錯(cuò)點(diǎn)例4

若一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為{x|x＜－3或x＞5}，則ax2－bx＋c＜0的解集為____________.誤區(qū)警示返回錯(cuò)解由根與系數(shù)的關(guān)系得：代入得ax2＋2ax－15a＜0，

①∴x2＋2x－15＜0，

②∴(x－3)(x＋5)＜0，∴－5＜x＜3.答案{x|－5＜x＜3}錯(cuò)因分析

①式化為②式，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)，并非同解變形.解析答案誤區(qū)警示正解由根與系數(shù)的關(guān)系得：誤區(qū)警示∴ax2＋2ax－15a＜0，又由解集的形式知a＜0，∴上式化為x2＋2x－15＞0，∴(x－3)(x＋5)＞0，∴x＞3或x＜－5.答案(－∞，－5)∪(3，＋∞)誤區(qū)警示1.注意隱含信息的提取有些信息是隱含在題設(shè)的條件中的，適當(dāng)挖掘題設(shè)信息可較好地完成對解答題目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的對應(yīng)關(guān)系得出“a＜0”這一關(guān)鍵信息，從而避免不必要的討論.2.注意“三個(gè)二次”的關(guān)系二次函數(shù)的零點(diǎn)，就是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的分界點(diǎn).返回當(dāng)堂檢測123451.下面所給關(guān)于x的幾個(gè)不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定為一元二次不等式的有(

)A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)解析②④一定是一元二次不等式.B解析答案A.a＝6，c＝1 B.a＝－6，c＝－1C.a＝1，c＝6 D.a＝－1，c＝－612345B解析答案123453.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，則k的取值范圍是____________.k≤2或k≥4解析x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.解析答案12345解析答案4.不等式x2＋3x－4＜0的解集為________.解析易得方程x2＋3x－4＝0的兩根為－4,1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集為(－4,1).(－4,1)12345解析答案5.已知關(guān)于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集為空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)當(dāng)m＝0時(shí)，原不等式化為－x－1≥0，∴x≤