新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件221直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程

直線(xiàn)的方程直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程1.直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程(1)方程:直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率為k,則直線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.(2)本質(zhì):利用直線(xiàn)上一點(diǎn)、斜率建立直線(xiàn)上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y所滿(mǎn)足的關(guān)系式,是對(duì)直線(xiàn)的定量刻畫(huà).(3)應(yīng)用:求直線(xiàn)的方程.必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基y-y0=k(x-x0)【思考】(1)利用點(diǎn)斜式表示直線(xiàn)方程的前提是什么?提示:直線(xiàn)的斜率存在.(2)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率為k=0,則直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程是什么?提示:直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為y-y0=0或y=y0.(3)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率不存在,則直線(xiàn)的方程是什么?提示:x-x0=0或x=x0.

2.直線(xiàn)的斜截式方程直線(xiàn)l的斜率為k,且與y軸的交點(diǎn)為(0,b),則直線(xiàn)的斜截式方程為_(kāi)______,其中b叫做直線(xiàn)l在y軸上的_____.y=kx+b截距【思考】(1)直線(xiàn)的斜截式方程y=kx+b中,k和b的幾何意義是什么?提示:k是直線(xiàn)的斜率;b是直線(xiàn)在y軸上的截距.(2)截距是距離嗎?為什么?提示:不是,直線(xiàn)在y軸上的截距是直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),截距是實(shí)數(shù)而不是距離.

【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)任何一條直線(xiàn)的方程都可以寫(xiě)成點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0). ()(2)x軸所在的直線(xiàn)方程為x=0. ()(3)直線(xiàn)在y軸上的截距不能等于0. ()提示:(1)×.斜率不存在的直線(xiàn)不能用點(diǎn)斜式表示.(2)×.x軸所在的直線(xiàn)方程為y=0.(3)×.當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí),在y軸上的截距等于0.2.過(guò)點(diǎn)P(-2,1)且傾斜角為90°的直線(xiàn)方程為 ()=1 =-2 =-2 =1【解析】選B.根據(jù)題意,所求直線(xiàn)的傾斜角為90°,則該直線(xiàn)與x軸垂直,其斜率不存在,又由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(-2,1),知其方程為x=-2.3.直線(xiàn)y=-3x-6的斜率為k,在y軸上的截距為b,則 ()=3,b=6 =-3,b=-6=-3,b=6 =3,b=-6【解析】選B.直線(xiàn)y=-3x-6的斜率為k,在y軸上的截距為b,可得斜率k=-3,在y軸上的截距為b=-6.關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類(lèi)型一求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程【典例】1.過(guò)點(diǎn)(4,-2),傾斜角為150°的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為 ()A.y-2=-(x+4) B.y-(-2)=-(x-4)C.y-(-2)=(x-4) D.y-2=(x+4)2.過(guò)點(diǎn)P(2,3)且傾斜角為30°的直線(xiàn)方程為 ()A.y+4=3x =x-C.3y-3=x -=x3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),斜率是直線(xiàn)y=x-2的斜率的2倍的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程是

.

【思維·引】1.先求出斜率,再寫(xiě)點(diǎn)斜式方程.2.先寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程,再化簡(jiǎn)整理.3.先求出所求直線(xiàn)的斜率,再寫(xiě)點(diǎn)斜式方程.【解析】1.選B.因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4,-2),傾斜角為150°,所以直線(xiàn)的斜率k=tan150°=-,所以直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為y+2=-(x-4).2.選C.因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為30°,所以其斜率為tan30°=,由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,3),所以直線(xiàn)方程為y-3=(x-2),即3y-3=x.3.由題意得:所求直線(xiàn)的斜率是k=,故所求直線(xiàn)方程是:y-1=(x+1).答案:y-1=(x+1)【內(nèi)化·悟】寫(xiě)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程需要明確哪兩個(gè)要素?提示:明確直線(xiàn)過(guò)的點(diǎn),斜率.【類(lèi)題·通】求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的步驟【習(xí)練·破】過(guò)點(diǎn)P(,-2)且傾斜角為135°的直線(xiàn)方程為 ()A.y+4=3x B.y=x-C.x+y= D.y+2=(-1)×(x-)【解析】選D.因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為135°,所以斜率k=tan135°=-1,又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(,-2),所以直線(xiàn)的點(diǎn)斜式為y+2=(-1)×(x-).【加練·固】一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,3),且與過(guò)點(diǎn)(-4,4)和(-3,2)的直線(xiàn)平行,求這條直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程.【解析】過(guò)點(diǎn)(-4,4)和(-3,2)的直線(xiàn)的斜率為,由題意得,所求直線(xiàn)的斜率為-2,又因?yàn)樵撝本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(-2,3),所以該直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為y-3=-2(x+2).類(lèi)型二求直線(xiàn)的斜截式方程【典例】1.過(guò)點(diǎn)A(,1)且傾斜角為120°的直線(xiàn)斜截式方程為 ()=-x-4 =-x+4=x-2 =x+22.與直線(xiàn)y=2x+1垂直,且在y軸上的截距為4的直線(xiàn)的斜截式方程是 ()=x+4 =2x+4=-2x+4 =-x+43.傾斜角為且在y軸上的截距為-2的直線(xiàn)l的方程是

.【思維·引】1.先寫(xiě)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程,再化為斜截式.2.先求出斜率,利用在y軸截距直接寫(xiě)方程.3.將直線(xiàn)方程寫(xiě)成斜截式的形式.【解析】1.選B.因?yàn)樾甭蔾=tan120°=-,所以過(guò)點(diǎn)A(,1),且傾斜角為120°的直線(xiàn)方程為:y-1=-(x-),即為y=-x+4.2.選D.直線(xiàn)y=2x+1的斜率k=2,則與直線(xiàn)y=2x+1垂直的直線(xiàn)斜率k=-,因?yàn)樵趛軸上的截距為4,所以直線(xiàn)方程為y=-x+4.3.因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為,所以直線(xiàn)的斜率k=tan=,又直線(xiàn)在y軸上的截距為-2,所以直線(xiàn)方程為y=x-2.答案:y=x-2【內(nèi)化·悟】求直線(xiàn)的斜截式方程有哪些方法?提示:(1)先求出點(diǎn)斜式方程,再化成斜截式;(2)根據(jù)條件確定斜率,在y軸上的截距,直接寫(xiě)出斜截式方程.【類(lèi)題·通】求直線(xiàn)的斜截式方程的策略(1)直線(xiàn)的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊形式,其適用前提是直線(xiàn)的斜率存在,只要已知直線(xiàn)斜率,與y軸交點(diǎn),就可以直接用斜截式表示.(2)直線(xiàn)的斜截式方程y=kx+b中只有兩個(gè)參數(shù),因此要確定直線(xiàn)方程,只需知道參數(shù)k,b的值即可.(3)利用直線(xiàn)的斜截式求方程務(wù)必靈活,如果已知斜率k,只需引入截距b;同理,如果已知截距b,只需引入斜率k.【習(xí)練·破】1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),則BC邊上的高所在直線(xiàn)的斜截式方程為

.

【解析】設(shè)BC邊上的高為AD,則BC⊥AD,所以kAD·kBC=-1,因?yàn)?所以,解得kAD=.所以BC邊上的高所在直線(xiàn)的方程為y-0=(x+5),即y=x+3.答案:y=x+32.求傾斜角是直線(xiàn)y=-x+1的傾斜角的,且在y軸上的截距是-5的直線(xiàn)的斜截式方程.【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)y=-x+1的斜率k=-,所以其傾斜角α=120°,由題意,得所求直線(xiàn)的傾斜角α1=α=30°,所以所求直線(xiàn)的斜率為tan30°=.又直線(xiàn)在y軸上的截距為-5,所以所求直線(xiàn)的斜截式方程為y=x-5.【加練·固】已知直線(xiàn)y=2x+b過(guò)點(diǎn)(1,2),則b=

.

【解析】將(1,2)代入y=2x+b,得2=2+b,解得:b=0.答案:0類(lèi)型三直線(xiàn)斜截式方程的應(yīng)用角度1圖象的判斷【典例】如圖,直線(xiàn)y=ax+的圖象可能是 ()【思維·引】分a>0,a<0兩種情況辨析.【解析】選B.由已知得a≠0.若a>0,則直線(xiàn)y=ax+的斜率與在y軸上的截距都大于0,則A,B,C,D都不符合.若a<0,則直線(xiàn)y=ax+的斜率與在y軸上的截距都小于0,只有B符合.【素養(yǎng)·探】利用直線(xiàn)的斜截式方程進(jìn)行圖象辨析時(shí),常常用到核心素養(yǎng)中的直觀想象,根據(jù)直線(xiàn)斜率、截距的范圍對(duì)直線(xiàn)位置的影響進(jìn)行想象判斷.若本例中的直線(xiàn)方程變?yōu)閥=ax-,則其圖象可能是下列中的 ()【解析】選C.由已知得a≠0,當(dāng)a>0時(shí),斜率k=a>0,在y軸上的截距-<0,都不符合此條件;當(dāng)a<0時(shí),斜率k=a<0,在y軸上的截距->0,只有C符合此條件.角度2直線(xiàn)平行、垂直的判斷及應(yīng)用【典例】已知直線(xiàn)l1:y=x+a,l2:y=(a2-3)x+1,當(dāng)a為何值時(shí),(1)l1∥l2.(2)l1⊥l2.【思維·引】(1)利用平行的條件求值.(2)利用垂直的條件k1·k2=-1求值.【解析】(1)若l1∥l2,所以a2-3=1,a2=4,所以a=±2,又由于l1∥l2,兩直線(xiàn)l1與l2不能重合,則a≠1,即a≠2,故a=-2.(2)若l1⊥l2,則(a2-3)·1=-1,所以a2=2,解得a=±.【類(lèi)題·通】?jī)蓷l直線(xiàn)平行和垂直的判定(1)平行的判定.(2)垂直的判定.【習(xí)練·破】(1)已知直線(xiàn)y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a=

.

(2)若直線(xiàn)l1:與直線(xiàn)l2:y=3x-1互相平行,則a=

.

【解析】(1)由題意可知a(a+2)=-1,解得a=-1.(2)由題意可知解得a=,符合題意.答案:(1)-1(2)

【加練·固】已知直線(xiàn)l1:y=-x+3a與直線(xiàn)l2:y=(a2-5)x+6.(1)當(dāng)a為何值時(shí),l1∥l2.(2)當(dāng)a為何值時(shí),l1⊥l2.【解析】設(shè)直線(xiàn)l1,l2的斜率分別為k1,k2,則k1=-1,k2=a2-5,(1)當(dāng)l1∥l2時(shí),有解得a=-2.(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),k1k2=-1,即a2-5=1,所以a2=6,所以a=±.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.方程y=k(x-1)(k∈R)表示 ()A.過(guò)點(diǎn)(-1,0)的一切直線(xiàn)B.過(guò)點(diǎn)(1,0)的一切直線(xiàn)C.過(guò)點(diǎn)(1,0)且不垂直于x軸的一切直線(xiàn)D.過(guò)點(diǎn)(1,0)且除x軸外的一切直線(xiàn)【解析】選C.方程y=k(x-1)(k∈R)表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且不垂直于x軸的一切直線(xiàn).2.已知直線(xiàn)l的方程為則l在y軸上的截距為 ()C.D.-【解析】選B.將方程變?yōu)?故直線(xiàn)l在y軸上的截距為-9.3.過(guò)點(diǎn)P(1,2),斜率為-3的斜截式直線(xiàn)方程為

.

【解析】由題意可得直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為:y-2=-3(x-1),化為斜截式可得y=-3x+5.答案:y=-3x+54.在y軸上的截距為-2,且與直線(xiàn)y=-3x+4平行的直線(xiàn)的斜截式方程為

.

【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)y=-3x+4的斜率為-3,所求直線(xiàn)與此直線(xiàn)平行,所以斜率為-3,又截距為-2,所以由斜截式方程可得y=-3x-2.答案:y=-3x-2【新情境·新思維】已知直線(xiàn)l:y=kx+b