新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件4312等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1.等比數(shù)列的項之間的關(guān)系等比數(shù)列{an},m,n,p,q∈N*必備知識·素養(yǎng)奠基兩項關(guān)系an=_____三項關(guān)系若m+n=2p,則an·am=________四項關(guān)系若m+n=p+q,則am·an=______amqn-map·aq【思考】等比數(shù)列兩項之間的關(guān)系an=amqn-m中,當(dāng)n≤m時成立嗎?提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=2.等比數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列a1>0________0<q<1遞減數(shù)列a1>0______a1<0___q>1a1<00<q<1q>1【思考】當(dāng)q=1,q<0時,分別是什么數(shù)列?提示:當(dāng)q=1時是常數(shù)列;當(dāng)q<0時是擺動數(shù)列.

【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)等比數(shù)列{an}中a2·a6= ()(2)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q>1時,一定是遞增數(shù)列. ()(3)等比數(shù)列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比數(shù)列. ()提示:(1)×.a2·a6=(2)×.當(dāng)數(shù)列的公比q>1時,若a1<0,則是遞減數(shù)列.(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1為首項,q3為公比的等比數(shù)列.2.等比數(shù)列{an}的公比q=-,a1=,則數(shù)列{an}是 ()A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列 D.擺動數(shù)列【解析】選D.由于公比q=-<0,所以數(shù)列{an}是擺動數(shù)列.3.在等比數(shù)列{an}中,已知a7·a12=10,則a8·a9·a10·a11=________.

【解析】因為a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,所以a8·a9·a10·a11=102=100.答案:100關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例】1.若數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a2a5=20,a1+a6=9,則a11=()

2.已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足:a3a7=2,a3=1,則a2= ()

【思維·引】1.利用a2a5=a1a6轉(zhuǎn)化求值.2.利用a3a7=求出q,進而求出a2.【解析】1.選C.因為數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的兩個根,且a1<a6,解得a1=4,a6=5,所以q5=,a11=a1q10=4×2.選B.各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足:a3a7=2,所以=2,所以q=,因為a3=1,所以a2=【內(nèi)化·悟】用數(shù)列項的哪個要素的關(guān)系來確定所用的性質(zhì)?提示:需要用數(shù)列項的下標(biāo)關(guān)系,即項數(shù)的關(guān)系.【類題·通】1.解答等比數(shù)列問題的基本方法——基本量法(1)基本步驟:運用方程思想列出基本量a1和q的方程組,解出a1和q,然后利用通項公式求解.(2)優(yōu)缺點:適用面廣,入手簡單,思路清晰,但有時運算稍繁.2.利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題(1)基本思路:充分發(fā)揮項的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用,分析等比數(shù)列項與項之間的關(guān)系,選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題.(2)優(yōu)缺點:簡便快捷,但是適用面窄,有一定的思維含量.【習(xí)練·破】(2020·眉山高二檢測)已知數(shù)列{an}為正項的遞增等比數(shù)列,a1+a6=12,a2a5=20,則= ()10【解析】選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.因為數(shù)列{an}為正項的遞增等比數(shù)列,a1+a6=12,a2a5=20,所以解得a1=2,q=,所以=q10=25.【加練·固】(2020·惠州高二檢測)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-5x+3的兩個零點是a1,a5,則a3= ()A.1 B.-1 C.± D.【解析】選D.由根與系數(shù)的關(guān)系可知a1+a5=5,a1·a5=3,則a1>0,a5>0,從而a3>0,且=a1·a5=3,所以a3=.類型二等比數(shù)列的實際應(yīng)用【典例】朱載堉(1536-1611),明太祖九世孫,音樂家、數(shù)學(xué)家、天文歷算家,在他多達百萬字的著述中以《樂律全書》最為著名,在西方人眼中他是大百科全書式的學(xué)者王子.他對文藝的最大貢獻是創(chuàng)建了“十二平均律”,此理論被廣泛應(yīng)用在世界各國的鍵盤樂器上,包括鋼琴,故朱載堉被譽為“鋼琴理論的鼻祖”.“十二平均律”是指一個八度有13個音,相鄰兩個音之間的頻率之比相等,且最后一個音頻率是最初那個音頻率的2倍,設(shè)第二個音的頻率為f2,第八個音的頻率為f8,則等于 ()

【思維·引】化歸成數(shù)列中項、公比的問題求解.【解析】選A.依題意13個音的頻率成等比數(shù)列,記為{an},設(shè)公比為q,則a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=所以【內(nèi)化·悟】在應(yīng)用性問題中,判斷是否為等比數(shù)列模型的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是看增長(縮減)是否按照同一比例.【類題·通】關(guān)于等比數(shù)列在應(yīng)用問題中的應(yīng)用首先根據(jù)題意判斷是否是等比數(shù)列模型,其次分析等比數(shù)列的首項、公比、項數(shù),最后利用等比數(shù)列的通項公式計算解題.【習(xí)練·破】(2020·延慶高二檢測)某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種型號的產(chǎn)品,每年的產(chǎn)量分別為10萬支和40萬支,為了擴大再生產(chǎn),決定對兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進行升級改造,預(yù)計改造后的A,B兩種產(chǎn)品的年產(chǎn)量的增長率分別為50%和20%,那么至少經(jīng)過________年后,A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010) ()

【解析】選B.設(shè)經(jīng)過n年后,A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量,則10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化為:>4,取對數(shù)可得:n>≈6.2.所以至少經(jīng)過7年后,A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量.【加練·固】某單位某年十二月份的產(chǎn)值是同年一月份產(chǎn)值的m倍,那么該單位此年的月平均增長率是________.

【解析】由題意可知,這一年中的每一個月的產(chǎn)值成等比數(shù)列,因為=m,所以月平均增長率為-1.答案:-1類型三等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用角度1靈活設(shè)項解題【典例】三個數(shù)成等比數(shù)列,其積為64,如果第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去1,則這三個數(shù)成等差數(shù)列,求這三個數(shù).【思維·引】利用等比數(shù)列設(shè)出前三項,表示出等差數(shù)列后求未知數(shù).【解析】因為三個數(shù)成等比數(shù)列,設(shè)三個數(shù)為,a,aq,則×a×aq=a3=64,所以a=4,所以三個數(shù)為,4,4q,第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去1為-1,4,4q-1,則-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或,所以這三個數(shù)為2,4,8或8,4,2.【素養(yǎng)·探】在利用等比數(shù)列設(shè)項解題過程中,常常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運算,通過解方程求公比解題.本例中的條件若改為“其積為512,如果第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去2”,試求這三個數(shù).【解析】設(shè)三個數(shù)依次為,a,aq,因為·a·aq=512,所以a=8.因為+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以這三個數(shù)為4,8,16或16,8,4.角度2等差、等比數(shù)列性質(zhì)【典例】已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是正項等比數(shù)列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,則a2018+b9= ()A.2274 B.2074 C.2226 D.2026【思維·引】分別用等差數(shù)列的首項a1、公差d、等比數(shù)列的公比q表示出已知條件,求出a1,d,q后求a2018+b9.【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,正項等比數(shù)列{bn}的公比為q>0,因為b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,則a2018+b9=1+2017+28=2274.【類題·通】等比數(shù)列項的設(shè)法(1)三數(shù)成等比數(shù)列常設(shè)成,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四個數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為,a,aq,aq2.若四個正數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為,,aq,aq3.【習(xí)練·破】設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比數(shù)列,則a10等于________.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則d≠0,則a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比數(shù)列,則(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化簡得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.答案:21

【加練·固】已知數(shù)列{an}是由實數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,則{an}的公比為________.

【解析】因為數(shù)列{an}是由實數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.答案:2課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)1.對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是 ()1,a3,a9成等比數(shù)列 2,a3,a6成等比數(shù)列2,a4,a8成等比數(shù)列 3,a6,a9成等比數(shù)列【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為=q3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若=4,則a5= ()A.2 B.4 C.2 D.【解析】選B.根據(jù)題意,數(shù)列{an}是等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,若=4,則=a3q2=a5=4.3.(2020·全國Ⅰ卷)設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8= ()【解題指南】根據(jù)已知條件求得q的值,再由a6+a7+a8=a1q5(1+q+q2)可求得結(jié)果.【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則a1+a2+a3=a1=1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.4.(2020·景德鎮(zhèn)高二檢測)在正項等比數(shù)列{an}中,若a3a4a5=3π,則sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值為________.

【解析】在正項等比數(shù)列{an}中,若a3a4a5=3π=,所以a4=.所以sin(log3a1+log3a2+…+log