畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）文獻(xiàn)綜述：基于Hermite插值的過(guò)渡曲線(xiàn)曲面的構(gòu)造

畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）--文獻(xiàn)綜述綜述題目基于Hermite插值的過(guò)渡曲線(xiàn)曲面的構(gòu)造專(zhuān)業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)姓名學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師一．引言學(xué)科是隨著航空、汽車(chē)等現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展與計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而產(chǎn)生與發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新型學(xué)科。盡管研究對(duì)象擴(kuò)展到四維曲面的表示與顯示等，但其主要研究對(duì)象是工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀。工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)僅由初等解析曲面組成，這一類(lèi)幾何形狀可以用畫(huà)法幾何與機(jī)械制圖完全清楚表達(dá)和傳遞所包含的全部形狀信息。第二類(lèi)是不能由初等解析曲面組成。在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)及實(shí)際工程應(yīng)用中，作為一種重要的曲線(xiàn)曲面表示方法，標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條得到了廣泛的研究與應(yīng)用。但注意到，當(dāng)插值條件給定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條存在兩點(diǎn)不足:一是其形狀無(wú)法修改;二是僅滿(mǎn)足C1連續(xù)，逼近效果即被隨之確定。為了在插值條件確定的條件下能靈活地調(diào)控曲線(xiàn)曲面的形狀和提高逼近效果，許多學(xué)者開(kāi)始對(duì)有理三次插值樣條的研究產(chǎn)生了興趣，這些有理型插值樣條不僅具有標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條的性質(zhì)，而且?guī)в袇?shù)，利用參數(shù)的不同取值不但可以對(duì)樣條的形狀進(jìn)行調(diào)控，而且比傳統(tǒng)三次插值樣條能更好地逼近被插函數(shù)。然而，由于這些樣條采用的是有理形式，因此其表達(dá)式變得復(fù)雜，計(jì)算量也隨之變得較大。為了克服標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條的不足，本文提出了一種帶參數(shù)的四次多項(xiàng)式插值樣條，該樣條不僅與標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條具有相同的性質(zhì)，而且其形狀可利用參數(shù)的不同取值進(jìn)行調(diào)控。給定插值條件，當(dāng)參數(shù)取合適值時(shí)，四次插值樣條可達(dá)到C2連續(xù)，且整體逼近效果好于標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條。另一方面，所提出的四次插值樣條避免了使用有理形式，其表達(dá)式較為簡(jiǎn)潔，計(jì)算量也相對(duì)較小，從而為插值曲線(xiàn)曲面的構(gòu)造提供了一種新方法。在實(shí)際工程中，越來(lái)越多的工業(yè)產(chǎn)品以自由曲線(xiàn)曲面的形式進(jìn)行設(shè)計(jì)、造型和NC加工，自由曲線(xiàn)曲面造型技術(shù)將直接影響到產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)效率。由于既能統(tǒng)一地表達(dá)自由曲線(xiàn)與曲面，又能精確地表示某些圓錐曲線(xiàn)與旋轉(zhuǎn)曲面，因此NURBS方法成為曲線(xiàn)與曲面表示的主要手段。然而，NURBS的每個(gè)控制頂點(diǎn)都需要一個(gè)權(quán)因子，在定義曲線(xiàn)曲面時(shí)需要較多的存儲(chǔ)空間，而且其權(quán)因子與參數(shù)化問(wèn)題至今仍未完全解決。另外，由于NURBS方法采用有理形式表示曲線(xiàn)曲面，因此方法在求積、求導(dǎo)計(jì)算時(shí)也比較復(fù)雜。為了克服NURBS方法的局限性，許多學(xué)者開(kāi)始致力于在三角函數(shù)空間中構(gòu)造三角曲線(xiàn)。上述基于三角函數(shù)空間構(gòu)造的曲線(xiàn)一方面繼承了傳統(tǒng)多項(xiàng)式曲線(xiàn)的諸多性質(zhì)，另一方面在適當(dāng)條件下還可以精確地表示圓、橢圓、拋物線(xiàn)等常見(jiàn)的圓錐曲線(xiàn)因此在曲線(xiàn)曲面造型方面具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力。另一方面，插值曲線(xiàn)的構(gòu)造是工程中經(jīng)常需要解決的問(wèn)題，上述三角曲線(xiàn)在構(gòu)造插值曲線(xiàn)時(shí)一般通過(guò)兩種方法實(shí)現(xiàn)，一種是利用插值條件構(gòu)造方程組反求控制頂點(diǎn)，另一種是借助奇異混合技術(shù)在引入?yún)?shù)的同時(shí)構(gòu)造直接插值于某些控制頂點(diǎn)的曲線(xiàn)，但這兩種方法都較為繁瑣，為解決這一問(wèn)題，構(gòu)造了C2連續(xù)且直接插值于控制頂點(diǎn)的三角樣條曲線(xiàn)與曲面，然后，為使得擬三次三角樣條插值曲線(xiàn)與曲面具有局部可調(diào)性，利用異混合技術(shù)生成了一種帶局部形狀參數(shù)的樣條插值曲線(xiàn)與曲面，可通過(guò)調(diào)整形狀參數(shù)的取值插值曲線(xiàn)與曲面的形狀進(jìn)行局部調(diào)整。二．研究主要成果樣條插值是曲線(xiàn)插值中一個(gè)非常有效并被廣泛應(yīng)用的工具。但是，通常的樣條插值，如三次樣條插值、B樣條插值，在插值條件確定的情況下，插值曲線(xiàn)的形狀是完全確定的稱(chēng)之為確定性插值。如何在插值條件確定的情況下，靈活地約束插值曲線(xiàn)的形狀以適應(yīng)工程實(shí)際的需要，是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的重要研究課題。近年來(lái)，有理樣條，特別是有理三次樣條以及它們?cè)谛螤羁刂浦械膽?yīng)用已引起了廣泛的興趣。有理插值因其具有形狀參數(shù)，人們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x擇形狀參數(shù)來(lái)改變插值曲線(xiàn)的形狀，從而達(dá)到曲線(xiàn)形狀約束控制的目的。然而，由于這些有理樣條的分子分母也都是多項(xiàng)式，因而不能精確表示二次曲線(xiàn)和工程上常用的超越曲線(xiàn)。另一方面，三角多項(xiàng)式在電子、機(jī)械、幾何造型、逼近論方面有著廣泛的應(yīng)用。一些作者對(duì)基于三角多項(xiàng)式的插值樣條進(jìn)行了一些有益的研究，取得了一些有用的結(jié)果，但對(duì)一些工程中常用的星形線(xiàn)及四葉玫瑰線(xiàn)卻不能精確表示。給出一種基于三角多項(xiàng)式的有理三次插值樣條曲線(xiàn)，具有三次插值樣條相似的性質(zhì)。像一般的有理樣條一樣，可以利用形狀參數(shù)來(lái)調(diào)控插值曲線(xiàn)的形狀。與之不同的是，利用參數(shù)的合適取值還能提高插值曲線(xiàn)的逼近階，甚至讓曲線(xiàn)達(dá)到C2連續(xù)。由于這種樣條含有三角多項(xiàng)式，只要選擇合適的控制點(diǎn)，該種樣條可以精確表示星形線(xiàn)和四葉玫瑰線(xiàn)等超越曲線(xiàn)。在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、幾何造型、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等實(shí)際工程技術(shù)問(wèn)題中，人們往往需要對(duì)曲線(xiàn)曲面的形狀進(jìn)行靈活調(diào)控．因此，構(gòu)造帶形狀參數(shù)的曲線(xiàn)曲面逐漸成為幾何造型與計(jì)算中的一個(gè)研究熱點(diǎn)．例如，帶形狀參數(shù)的曲線(xiàn)曲面以及Ｂ樣條曲線(xiàn)曲面等．這些帶有形狀參數(shù)的曲線(xiàn)曲面不但保留了原曲線(xiàn)曲面的性質(zhì)，而且其形狀可通過(guò)所帶的形狀參數(shù)進(jìn)行靈活調(diào)控．由于三次插值樣條是工程中常見(jiàn)的一種插值模型，但當(dāng)插值條件固定時(shí)，傳統(tǒng)三次插值樣條的形狀卻無(wú)法調(diào)控，因此也有一些學(xué)者構(gòu)造了帶形狀參數(shù)的型插值樣條．例如，帶形狀參數(shù)的有理三次三角插值樣條、有理三次插值樣條、四次插值樣條、三次三角插值樣條等．這些帶形狀參數(shù)的型插值樣條除了具有傳統(tǒng)三次插值樣條的插值性與Ｃ１連續(xù)性外，在插值條件保持不變的情況下可利用形狀參數(shù)靈活調(diào)控其形狀．注意到，為了使插值樣條滿(mǎn)足Ｃ２連續(xù)，上述帶形狀參數(shù)的型插值樣條均是通過(guò)對(duì)形狀參數(shù)施加Ｃ２連續(xù)性約束條件后，再通過(guò)迭代計(jì)算所有形狀參數(shù)值．這種方法不但增大了計(jì)算量，而且通過(guò)迭代計(jì)算得到的形狀參數(shù)值均為近似值，當(dāng)樣條的分段較多時(shí)，隨著誤差的累積，靠后相鄰的樣條段的Ｃ２連續(xù)性就無(wú)法保證．為此，本文構(gòu)造了一種帶形狀參數(shù)的五次插值樣條，該樣條除了具有帶形狀參數(shù)的型插值樣條的特性外，在插值條件保持不變時(shí)還可自動(dòng)滿(mǎn)足Ｃ２連續(xù)，同時(shí)可利用形狀參數(shù)對(duì)其形狀進(jìn)行調(diào)控．為了方便應(yīng)用，本文給出了一種確定形狀參數(shù)最優(yōu)取值的方法，以使得五次插值樣條具有最優(yōu)插值效果。插值法是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中用于曲線(xiàn)曲面造型的一種重要具．標(biāo)準(zhǔn)的分段三次Hermite插值是其中的一個(gè)重要的方法．但是，在插值條件確定的情況下，分段三次Hermite插值曲線(xiàn)的形狀完全確定的，插值曲線(xiàn)的逼近效果也隨之確定，這種插值被稱(chēng)之為確定性插值．如何在插值條件確定的情況下提高逼近效果，是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的重要研究課題．近些年來(lái)，不少作者討論了有理三次插值樣條的逼近性，這些插值樣條都具有標(biāo)準(zhǔn)的三次Hermite插值相似的性質(zhì)．學(xué)者們?cè)谟懻摬逯禈訔l的逼近性時(shí)，應(yīng)用Peano-Kernel定理，證明了插值誤差系數(shù)是有界的，從而，在理論上，當(dāng)插值區(qū)間趨于無(wú)窮小時(shí)，插值曲線(xiàn)逼于被插函數(shù)，但實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，插值區(qū)間不可能趨于無(wú)窮小，否則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加．至于在相同的插值條件下，這些樣條在逼近效果上能否比標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條好，這些文獻(xiàn)均沒(méi)有作比較．另外，這些有理形式的插值樣條含有多個(gè)參數(shù)，使得對(duì)它們的有關(guān)逼近性討論變得復(fù)雜．三．結(jié)論與展望三次插值樣條是工程中較為常見(jiàn)的一種構(gòu)造插值曲線(xiàn)的方法，但是插值條件給定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條存在形狀無(wú)法修改、僅滿(mǎn)足C1連續(xù)、不能精確表示常見(jiàn)工程曲線(xiàn)等缺陷。帶有參數(shù)的有理形式的插值樣條不僅具有標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條相似的性質(zhì)，而且其形狀可通過(guò)改變參數(shù)的取值進(jìn)行調(diào)節(jié)，在一定條件下，這些帶參數(shù)的有理插值樣條還能達(dá)到C2連續(xù)，但這些樣條卻不能精確表示一些常見(jiàn)的工程曲線(xiàn)。近年來(lái)，基于三角函數(shù)的幾何造型方法得到了廣泛的研究，一些學(xué)者對(duì)三角多項(xiàng)式樣條也作了有益的探討，其中謝進(jìn)等人針對(duì)帶參數(shù)的有理插值樣條不能精確表示工程中常見(jiàn)的曲線(xiàn)這一缺陷，提出了一種帶參數(shù)的有理三次三角插值樣條，和一般的有理樣條一樣，其形狀可通過(guò)形狀參數(shù)進(jìn)行調(diào)控，另外在適當(dāng)?shù)臈l件下，該樣條對(duì)應(yīng)的Ferguson曲線(xiàn)還能精確表示工程中一些常見(jiàn)的曲線(xiàn)。無(wú)論是一般的有理插值樣條，還是有理三角插值樣條，由于都是采用有理形式構(gòu)造樣條，因此其表達(dá)式變得復(fù)雜，計(jì)算量也隨之變得較大。為此，本文提出了一種帶形狀參數(shù)的三次三角多項(xiàng)式插值樣條曲線(xiàn)，該樣條曲線(xiàn)不僅與標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條曲線(xiàn)具有相同的性質(zhì)，而且可以利用形狀參數(shù)對(duì)樣條的形狀進(jìn)行調(diào)控。給定插值條件，當(dāng)參數(shù)取合適值時(shí)，該樣條曲線(xiàn)可達(dá)到C2連續(xù)，且整體逼近效果好于標(biāo)準(zhǔn)三次插值樣條。另一方面，在合適的條件下，該樣條曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的Ferguson曲線(xiàn)還可以精確表示橢圓與拋物線(xiàn)。由于所提出的三角插值樣條避免了使用有理形式，其表達(dá)式較為簡(jiǎn)潔，計(jì)算量也相對(duì)較小，從而為插值曲線(xiàn)曲面的構(gòu)造提供了一種新方法。在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、幾何造型、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等實(shí)際工程技術(shù)問(wèn)題中，人們往往需要對(duì)曲線(xiàn)曲面的形狀進(jìn)行靈活調(diào)控．因此，構(gòu)造帶形狀參數(shù)的曲線(xiàn)曲面逐漸成為幾何造型與計(jì)算中的一個(gè)研究熱點(diǎn)．例如，帶形狀參數(shù)的曲線(xiàn)曲面以及Ｂ樣條曲線(xiàn)曲面等．這些帶有形狀參數(shù)的曲線(xiàn)曲面不但保留了原曲線(xiàn)曲面的性質(zhì)，而且其形狀可通過(guò)所帶的形狀參數(shù)進(jìn)行靈活調(diào)控．由于三次插值樣條是工程中常見(jiàn)的一種插值模型，但當(dāng)插值條件固定時(shí)，傳統(tǒng)三次插值樣條的形狀卻無(wú)法調(diào)控，因此也有一些學(xué)者構(gòu)造了帶形狀參數(shù)的型插值樣條．例如，帶形狀參數(shù)的有理三次三角插值樣條、有理三次插值樣條、四次插值樣條、三次三角插值樣條等．些帶形狀參數(shù)的型插值樣條除了具有傳統(tǒng)三次插值樣條的插值性與Ｃ１連續(xù)性外，在插值條件保持不變的情況下可利用形狀參數(shù)靈活調(diào)控其形狀．注意到，為了使插值樣條滿(mǎn)足Ｃ２連續(xù)，上述帶形狀參數(shù)的型插值樣條均是通過(guò)對(duì)形狀參數(shù)施加Ｃ２連續(xù)性約束條件后，再通過(guò)迭代計(jì)算所有形狀參數(shù)值．這種方法不但增大了計(jì)算量，而且通過(guò)迭代計(jì)算得到的形狀參數(shù)值均為近似值，當(dāng)樣條的分段較多時(shí)，隨著誤差的累積，靠后相鄰的樣條段的Ｃ２連續(xù)性就無(wú)法保證．為此，構(gòu)造一種帶形狀參數(shù)的五次插值樣條，該樣條除了具有帶形狀參數(shù)的型插值樣條的特性外，在插值條件保持不變時(shí)還可自動(dòng)滿(mǎn)足Ｃ２連續(xù)，同時(shí)可利用形狀參數(shù)對(duì)其形狀進(jìn)行調(diào)控．為了方便應(yīng)用，可以用一種確定形狀參數(shù)最優(yōu)取值的方法，以使得五次插值樣條具有最優(yōu)插值效果。四．參考文獻(xiàn)[1]倪明田，吳良芝.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社，2003。[2]李軍成，李月娥，謝淳.帶形狀參數(shù)的三次三角Hermite插值樣條曲線(xiàn)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2014，50(17):182-185.[3]李軍成，謝煒.自動(dòng)滿(mǎn)足C2連續(xù)的帶參數(shù)五次Hermite插值樣條[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，43（2）：176-180.[4]謝進(jìn)，檀結(jié)慶，李聲鋒，鄧四清.有理三次三角Hermite插值樣條曲線(xiàn)及其應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46(5):7-9.[5]李軍成，宋來(lái)忠，龍志文.帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類(lèi)三次三角Bézier曲線(xiàn)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2010，27(2):218-220.[6]李軍成，劉純英，楊煉.帶參數(shù)的四次Hermite插值樣條[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2012，32(7):1860-1870.[7]嚴(yán)蘭蘭，李水平.形狀可調(diào)插值曲線(xiàn)曲面的參數(shù)選擇[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào)，2016，21(12):1685-1695.[8]張彩明，汪嘉業(yè).C2連續(xù)的四次樣條曲面插值[J].中國(guó)科學(xué)，2003，33(2):116-126.[9]YANLanlan，LIANGQiongfeng.AnextensionoftheBéziermodel[J].AppliedMathematicsandComputation，2011，218(6):2863-2879.[10]BASHIRU，ABBSAM，ALIJM.TheG2andC2rationalquadratictrigonometricBéziercurvewithtwoshapeparameterswithapplications[J].AppliedMathematicsandComputation，2013，219(20);10183-10197.[11]LIJuncheng.AclassofcubictrigonometricBéziercurvewithashape