高考沖刺-函數(shù)

高考沖刺：函數(shù)

【高考展望】

函數(shù)知識是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是每年高考必考的重要知識點之一，分析歷

年高考函數(shù)試題，大致有這樣幾個特點：

1.常常通過選擇題和填空題，全面考查函數(shù)的基本概念，性質(zhì)和圖象.

2.在解答題的考查中，常常與不等式、導數(shù)、數(shù)列，偶爾也與解析幾何等結合命題，以

綜合題的形式出現(xiàn).

3.從數(shù)學具有高度抽象性的特點出發(fā)，沒有忽視對抽象函數(shù)的考查.

4.每年高考題中都會涌現(xiàn)出一些函數(shù)新題型，但考查的重點仍然是對函數(shù)有關知識的深

刻理解.

【知識升華】

1.了解映射的概念，理解函數(shù)的概念并能在簡單的問題中應用.

2.理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法，并能

利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程.

3.掌握基本初等函數(shù)的圖像，掌握某些簡單函數(shù)的圖像變換.

4.理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和

性質(zhì).

5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

6.能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題.

【典型例題】

類型一：函數(shù)的定義域及其求法

函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一.這里主要幫助考生靈活掌握

求定義域的各種方法，并會應用用函數(shù)的定義域解決有關問題.

例1.函數(shù)y=Jlog2K-2的定義域是()

(A)(3,+°°)(B)[3,+8)(C)(4,+8)(D)[4,+°°)

【思路點撥】此為復合函數(shù)的定義域求解，對數(shù)、根式等不能漏

x>0

【解析】由=>x>4.,故選D.

log2x-2>0

舉一反三:

Jx-2-1

【變式1】函數(shù)/(x)=X--------的定義域為

log2(x-l)

【答案】[3,+8)

【解析】由上一2|-120且》一1>0且X—1H1得xN3

例2.若函數(shù)/(x)=log?(x+1)(?>0,aWl)的定義域和值域都是[0,1],則”等

A.-B.V2C.—D.2

32

【思路點撥】因為底數(shù)不確定，需要討論.

【解析】f(x)=bg“(x+1)的定義域是[0,1],...OWxWl,則K+1W2.

當時，0=log“l(fā)Wlog“(x+1)Wlog“2=l,.'.a=2；

當0<a<l時，Iog?2^1ogfl(x+1)Wlog"l=0,與值域是[0,1]矛盾.

綜上,a=2.

【答案】D

舉一反三：

【變式1】函數(shù)y=Jx(x—1)+五的定義域為()

A.{x|xNo}B.{x|x'l}C.{x|x21}U{。}

D.{x|OWxWl}

【答案】C.

【解析】由x(x—1)20且xNO得xNl或x=0.

類型二：復合函數(shù)問題

復合函數(shù)問題屬于偏難些的內(nèi)容.此類題目往往分為兩類:一是結合函數(shù)解析式的求法

來求復合函數(shù)的值.二是應用已知函數(shù)定義域求復合函數(shù)的定義域.

3.若函數(shù)y=/(x)的值域是[，,3],則函數(shù)'—的值域是

例F(JC)=/(X)+—

2f(x)

()

“J門cS101「「510]rs10]

A.[萬,3]B.[2,§]°，‘5'丁]D.[3,]]

【思路點撥】對于復合函數(shù)的很多問題都是可以通過換元法來解決的.

【答案】B

【解析】令r=.f(x),貝F(x)=r+U[2,y]

舉一反三：

【變式1】函數(shù)/(x)對于任意實數(shù)x滿足條件/(x+2)=宗y,若/⑴=一5,則

/(〃5))=-----------

【答案】-1

5

【解析】由/(尤+2)=焉，得/(X+4)=R^=/(X),所以

“X)/(x+2)

/(5)=/(I)=一5，貝叮(〃5))=/(-5)=/(-1)=--=—!.

/(-1+2)5

【高清課堂：高考沖刺第3講函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)368992例1】

2X(x<0)

例4.已知f(x)=<>/3(0<x<l)求/(/(/(?)))。

logjX(x>1)

、3

【思路點撥】分段函數(shù)求值，也應該從自變量的分段開始.

【解析】當a<0時，/(/(/(?)))=/(/(2fl))=/(V3)=~

當0WaW1時，/(/(/(?)))=/(/(V3))=/(-1)=今

當。>1時,/(/(/(?)))=/(/(log；-))=/(25)=73

3

一；(?<0)

所以/(/(/(。)))=也(0<?<1)

V3(a>1)

舉一反三：

【變式1】設函數(shù)/(幻=，丁''''則/(」一)的值為()

x"+x-2,x>l,/(2)

i15278

_----C-8

A.16B.169

【解析】V/(2)=22+2-2=4,;./(卷)=/(5=1_(；)2=記.

類型三：函數(shù)的重要性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性和周期性)

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.這里主要

幫助讀者深刻理解奇偶性、單調(diào)性和周期性的定義，掌握判定方法，正確認識單調(diào)函數(shù)與奇

偶函數(shù)的圖象.

例5.若函數(shù)/(x)、g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)-g(x)=e*,

則有()

A./(2)</(3)<g(0)B.g(0)</(3)</(2)

c./⑵<g(0)</(3)D.g(0)</(2)</(3)

【思路點撥】根據(jù)兩個函數(shù)的奇偶性可以分別求出這兩個函數(shù)，再看各自的單調(diào)性.

【答案】D

叩]/(x)—g(x)=e*

【解析】?<即<,

/(-X)-g(—x)=e~x[―/(x)-g(x)=e''

ex-exex+ex

，/(x)=---，g(x)=-------

x—x2—2

.?.g(O)=l,又???/*)=￡丁單調(diào)遞增，*2)</(3)且/⑵=1/>1.

舉一反三：

【變式l】/(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，〃(x)=/(x)+g(x),則““X),g(x)

均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的()

A.充要條件B.充分而不必要的條件

C.必要而不充分的條件D.既不充分也不必要的條件

【答案】B

【解析】先證充分性：因為/(x),g(x)均為偶函數(shù)，

所以y(—x)=/(x),g(—x)=g(x),

有〃(一X)=/(-%)+g(—x)=/(X)+g(x)=〃(x),

所以/?(x)為偶函數(shù).

反過來，若以冷為偶函數(shù)，/(x),g(x)不一定是偶函數(shù).

如人(》)=x2，/(x)=x,g(x)=x?-X，故選B.

方法二：可以選取兩個特殊函數(shù)進行驗證.

例6.設/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，并且_/(x)—g(x)=/—X,求/(X).

【思路解析】/(X)、g(x)的奇偶性已知，可以從奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義來分析問題。

【解析】/(X)為奇函數(shù)/./(-%)=-/(%)

g(x)為偶函數(shù)/.g(—X)=_g(x)

f(x)-g(x)=x2-xf(-x)-g(-x)=/+x

從而-y(x)-g(x)=+x,y(x)+g(X)=-X2-X

J/(x)-g(x)=--X[/(x)=-x

1/(尤)+g(尤)=-/—Xlg(x)=-—

舉一反三：

【變式1】設奇函數(shù)/(x)在(0,+00)上為增函數(shù)，且/(1)=0,則不等式

/。)一/(一》)<0的解集為()

X

A.(—L0)U(l，+8)B.(-oo,-l)U(0,l)

C.(―oo,—1)U(L+oo)D.(-LO)U(O,l)

【答案】D.

【解析】由奇函數(shù)/(x)可知/(*)一/(—“)=絲D<0,而/(1)=0,

XX

貝4(T)=—/⑴=0,

方法一:當x>0時，/(%)<0=/(1)；

當x<0時，/(x)>0=/(—1),

又/(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)，則奇函數(shù)/(x)在(—8,0)上為增函數(shù),

/.0cx<1,或一l<x<0.

方法二:作出函數(shù)/(無)的示意圖，有

當x〉o時，y(x)<o=/(i)即o<x<i；

當x<0時，/(%)>0=/(-1),即一l<x<0.

類型四：函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，

利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用.因此，讀者要掌握繪制函數(shù)圖

象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).此類題

目還很好的考查了數(shù)形結合的解題思想.

例7.函數(shù)〃x)=log“(x-l),(0<a<l)的圖象大致是()

(A)(B)(C)(D)

【思路點撥】對數(shù)函數(shù)的基本圖像要掌握，而圖象的平移等變換要理解并應用.

【解析】/(x)=logjx-l),(0<a<l).

此函數(shù)圖象是由函數(shù)/(x)=log.x,(0<a<1)向右平移一個單位得到的，

故選A.

舉一反三：

【變式1】汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中

汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖像可能是()

A.B.C.D.

【答案】A.

【解析】根據(jù)汽車加速行駛勻速行駛$=濟，減速行駛S=—'a產(chǎn)結合函

22

數(shù)圖像可知。

例8.直線y=x+Z?與函數(shù)y=的圖像有兩個不同的交點，求實數(shù)人的取值范

圍。

【思路點撥】在同一直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像，當直線介于AB和CD之間時,

直線和函數(shù)y=J1-國的圖像有兩個不同的交點。

㈤

【解析】如圖，直線CD和半圓相切，所以1b-V2

亞

因為點B(O,I),所以1=。；.b=i所以實數(shù)力的取值范圍為

舉一反三：

【變式1】設函數(shù)/(x)=|x+l|+|x—a|的圖象關于直線x=l對稱，則。的值為()

(A)3(B)2(C)l(D)-l

【答案】A

【解析】?.?函數(shù)/(幻=|》+1|+|了一。|的圖象關于直線》=1對稱

/(0)=/(2)即2=|。|一|2-。］,把選項ABCD的值逐一代入,

可以確定選A.

類型五：函數(shù)與其它知識的綜合應用

與數(shù)列知識結合的函數(shù)、不等式，解題時往往以不等式和數(shù)列知識結合為工具，結合函

數(shù)知識,通過計算和推理來解決問題.

〃，邑

例9.設數(shù)列｛?,,｝的前幾項和為S,,，點(neN，)均在函數(shù)丁=3x—2的圖像上.

n

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

3777

(II)設d=,T?是數(shù)列優(yōu)｝的前〃項和，求使得T?<—對所有nGN*都成

a“見+120

立的最小正整數(shù)加.

【思路點撥】數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此絕大多數(shù)的數(shù)列綜合題都可以應用函數(shù)的方法、

思想來解決.

s,

【解析】(I)依題意得，-2,即S“=3〃2—2〃.

n

22

當〃之2時，an-Sn-Sn_｝-(3H-2n)-^3(n-l)-2(n-l)=6n-5;

2

當〃=1時，ax=S[=3xl—2=l=6xl—5.

所以?！?6n-5(/ieN*).

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