廣西壯族自治區(qū)桂平市第五中學屆高三下學期聯考數學（文）試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數學(文)(3—2)（試卷總分150分考試時間120分鐘)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1。已知復數的共軛復數為，且（為虛數單位），則（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再利用復數模的計算公式求解即可。【詳解】解:，，則。故選：B.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算,模的求法，屬于基礎題。2。已知集合，,則（）A. B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】求解函數的定義域化簡集合，然后利用交集運算求解即可。【詳解】解：，,.故選：D?！军c睛】本題考查交集運算，函數的定義域的求法，屬于基礎題.3.已知，，，，則，，的大小關系是（)A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據對數運算和指數運算比較大小即可?！驹斀狻拷猓河深}設知，，，，又,，則。故選:C.【點睛】本題考查對數運算和指數運算,結合對數函數，指數函數及余弦函數的性質，屬于基礎題。4.把能表示為兩個連續(xù)奇數的平方差的正整數稱為“幸運"，則在這個數中,能稱為“幸運數”的個數是（）A。 B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】利用新定義，求出幸運數的滿足條件，然后利用數列通項公式即可。【詳解】解:設兩個連續(xù)奇數為,，則它們的平方差為，故“幸運數"即為能被整除的正整數，在這個數中，幸運數組成一個首項為,公差為的等差數列,末項為，設共有個幸運數，則,解得,.故選：C?！军c睛】本題考查新定義的連接與應用,數列的應用，數列通項公式的運用，考查計算能力，屬于基礎題.5。函數的部分圖象可以為（）A. B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】先判斷函數的奇偶性，再代入特殊值，進而判斷結果。【詳解】解:函數是奇函數，則圖象關于原點對稱，則排除B、D,又,則排除C.故選：A?！军c睛】本題考查函數的奇偶性,結合三角函數的特殊值的運用，屬于基礎題。6.某市為慶祝建國周年,營造一個安全的交通出行環(huán)境，方便市民出行，對全市兩千多輛出租車的行駛年限進行了調查，現從中隨機抽出輛出租車，已知抽到頻率的出租車的行駛年限都在年之間,根據調查結果,得到出租車行駛年限情況的殘缺頻率分布直方圖，如圖所示,利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計出租車行駛年限的中位數大約是（）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】先算出數據位于的頻率，再設中位數，依據中位數的概念可知兩邊面積都是，進而列式，求出中位數的值.【詳解】解：由頻率分布直方圖知，數據位于的頻率為,前三個矩形的面積之和為設中位數,則，解得，。故選：B。【點睛】本題考查根據頻率直方圖運算中位數的問題,考查運算能力，屬于基礎題。7.的值為（）A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式的逆用進行化簡，進而算出結果即可?！驹斀狻拷?。故選：A.【點睛】本題考查兩角和的正弦公式，考查運算能力，屬于基礎題.8.已知單位向量，,且,若,，則下列式子一定成立的是（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據題意可知,再利用,是單位向量且，，代入化簡，即可判斷出結果.【詳解】解：，，，是單位向量且，，.故選：C?！军c睛】本題考查平面向量的數量積與模長公式的應用問題,屬于基礎題。9.如圖所示的程序框圖，輸入,若輸出的值為，則判斷框內應填入的條件為（）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據程序框圖進行模擬運算,即可得出結果.【詳解】解：由程序框圖知，，，，第一次：,，,否，循環(huán)，，第二次:，，，否,循環(huán)，第三次：,,，否，循環(huán)，第四次：,，，否，循環(huán)，第五次：,，,是，此時。則判斷框內應填入的條件為.故選:C.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和應用，屬于基礎題.10.已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上一點，且，若坐標原點到直線距離是，且橢圓的焦距為，則（)A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過,作直線的垂線，垂足為，，則,由題設知，，進而算出，由橢圓的定義知，，運用余弦定理化簡得，進而算出的值?！驹斀狻拷猓哼^,作直線的垂線，垂足為,,則，由題設知，，是的中點，，在中,，，由橢圓定義知，，在中,由余弦定理得，,化簡得，又橢圓的焦距為，，則。故選：C.【點睛】本題考查橢圓的基本性質,考查余弦定理的運用，屬于中檔題。11。在中,內角,，的對邊分別為，，，已知，，則（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】利用正弦定理化簡得,則，再利用余弦定理求出的值。【詳解】解:由正弦定理及得，，,，,則，由余弦定理得，，又，,即，。故選：B.【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理，化簡求值，考查分析能力,屬于中檔題。12.已知雙曲線的漸近線與圓在第一象限的交點為，、分別是雙曲線的左、右焦點，若，則雙曲線的離心率的值為（）A。 B。 C?；?D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】有題意可知，得出交點,由可得,結合關系，求出關系，進而算出離心率的值?！驹斀狻拷猓河傻?又,則，整理得，或，舍去,或.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程,離心率的計算方法，考查分析能力和運算能力,屬于中檔題。第Ⅱ卷(非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分,第13~21題為必考題,每個試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分。把答案填在題中橫線上.13。曲線在點處的切線與拋物線相切,則__________?！敬鸢浮炕颉窘馕觥俊痉治觥肯惹髮У?曲線在點處的切線的斜率為，由切點為，得切線方程為，并與拋物線方程聯立得,進而算出時的值?！驹斀狻拷猓海?，則曲線在點處的切線的斜率為，又切點為，切線方程為，聯立得,,解得或。故答案為：或.【點睛】本題考查導數的幾何意義和切線方程,屬于中檔題.14。已知是數列的前項和，，數列是公差為的等差數列，則__________.【答案】【解析】【分析】由數列是公差為的等差數列,得出，則數列是公比為的等比數列,則,進而算出結果?！驹斀狻课觯簲盗惺枪顬榈牡炔顢盗?，即，又，數列是公比為的等比數列，則。。故答案:?！军c睛】本題考查等差數列的性質和等比數列的通項公式，屬于中檔題.15。函數的最小正周期為__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥糠诸愑懻摵偷那闆r，化簡函數式子,進而可以畫出圖象，來判斷最小正周期即可?！驹斀狻拷?當時,即時，，當時，即時，，則函數的最小正周期為故答案為：?！军c睛】本題考查正弦型函數的最小正周期的求法，屬于中檔題.16。在三棱錐中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，當其外接球的表面積為,且點到底面的距離為時，則側面的面積為__________.【答案】【解析】【分析】設點在底面上的射影為，根據題意可知點為的外心,并且為斜邊的中點，設，則，設外接球的半徑為，由題設知，，則，,代入數據解得,進而求出側面的面積。【詳解】解:設點在底面上的射影為,，，則點為的外心，又底面是以為斜邊的等腰直角三角形，點為斜邊的中點，設，則,設外接球的半徑為，由題設知，，，設球心為,則在上,，即解得，，側面的面積是.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐外接球有關的問題，結合勾股定理的運用，考查分析能力和運算能力,屬于中檔題。三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17。某市實驗中學數學教研組，在高三理科一班進行了一次“采用兩種不同方式進行答卷”考試實驗，第一種做卷方式：按從前往后的順序依次做；第二種做卷方式:先做簡單題，再做難題.為了比較這兩種做卷方式的效率，選取了名學生，將他們隨機分成兩組，每組人。第一組學生用第一種方式，第二組學生用第二種方式，根據學生的考試分數（單位：分）繪制了莖葉圖如圖所示.若分（含分）以上為優(yōu)秀，根據莖葉圖估計兩種做卷方式的優(yōu)秀率;設名學生考試分數的中位數為，根據莖葉圖填寫下面的列聯表:超過中位數的人數不超過中位數的人數合計第一種做卷方式第一種做卷方式合計根據列聯表,能否有的把握認為兩種做卷方式的效率有差異？附：，?！敬鸢浮康谝环N做卷方式的優(yōu)秀率為；第二種做卷方式的優(yōu)秀率為；填表見解析；有的把握認為兩種做卷方式的效率有差異?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕怕实挠嬎惴椒ㄟ\算即可；先算出中位數，代入數據算出的值，比較數據，得出結論.【詳解】解：根據莖葉圖中的數據知，用第一種做卷方式答卷的分數在分（含分）以上的有人,第一種做卷方式的優(yōu)秀率為用第二種做卷方式答卷的分數在分（含分）以上的有人，第二種做卷方式的優(yōu)秀率為；這50名學生的考試分數按從小到大的順序排列后，排在中間的兩個數據是和,則它們的中位數為；由此填寫列聯表如下:超過中位數的人數不超過中位數的人數合計第一種做卷方式第一種做卷方式合計，故的把握認為兩種做卷方式的效率有差異?！军c睛】本題考查列聯表中的數據計算卡方的方法，概率的求法，屬于中檔題.18.正項數列的前項和為，且.證明：數列為等差數列；求使成立的的最小值。【答案】證明見解析；?！窘馕觥俊痉治觥坑深}意可知，當時，由得，化簡得，,進而即可求證。由知，，，進而得出，，進而可以判斷出的最小值?！驹斀狻拷猓鹤C明：當時,,,當時，由得，，化簡得,，數列是以為首項，以為公差的等差數列.由知，,，，,則，當時，上式也成立,,則不等式為，，故使成立的的最小值為?！军c睛】本題考查等差數列的通項公式,考查轉化能力，屬于中檔題。19。如圖，在直三棱柱中，，，,，、分別為、的中點。求證：平面；設為上一點，且,求點到平面的距離.【答案】證明見解析；?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕?并且得出四邊形為正方形，進而即可求證;先算出點到平面的距離即為,由,可求出,設點到平面的距離為,則，進而求出點到平面的距離?！驹斀狻拷猓鹤C明：,，，即，又是直三棱柱，平面，則，、分別為、的中點，且，，四邊形為正方形，則，又，平面。由知，即，又是直三棱柱，平面，，則點到平面的距離即為,,由知,，且，，設點到平面的距離為,則，則，即點到平面的距離為.【點睛】本題考查空間立體幾何圖形中線面垂直的判定，考查等體積法的運用，考查分析能力和運算能力，屬于中檔題。20。已知函數，,為的導數.求證：在區(qū)間上存在唯一零點；（其中,為的導數）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍?！敬鸢浮孔C明見解析;。【解析】【分析】先寫出，求導得，則函數在區(qū)間上單調遞增，進而即可求證在區(qū)間上存在唯一零點;由知,，則，即在上恒成立，令，利用導數判斷單調性，進而算出的取值范圍?！驹斀狻拷猓鹤C明：，，則，顯然，函數在區(qū)間上單調遞增.又，,在區(qū)間上存在唯一零點。由知,，不等式即為，即在上恒成立，令則，當時,，在是增函數，當時，，則在單調遞增，故，故，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查導數在函數中的應用，考查分析能力和運算能力，屬于中檔題。21。已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點,過點的直線交拋物線于，兩點，點在第一象限.若,，求直線的方程；若，點為準線上任意一點，求證：直線，，的斜率成等差數列.【答案】;證明見解析.【解析】【分析】設點在準線上的射影為，由拋物線的定義知,,設,列式聯立求出，直線AB的斜率為，進而寫出直線的方程；若,則拋物線，準線，設直線的方程為，聯立得消得，利用韋達定理,進而求出，即可求證。【詳解】解：設點在準線上的射影為，由拋物線的定義知,，設,，由題設知，，，解得，則，，即，①又由拋物線的定義知，，即，②聯立①②，解得,或,，∴，則，焦點為，，則直線的斜率為，故直線的方程為;證明:若，則拋物線，，準線,設直線的方程為，，，，由消去得，，則，,則又,,故直線,，的斜率成等差數列?！军c睛】本題考查拋物線的基本性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于難題.請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.【選修4-4坐標系與參數方程】22。在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數),以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為。求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；已知點是曲線上的任意一點，求點到直線的距離的最小值.【答案】；;.【解析】【分析】參數方程轉化為普通方程即可,運用轉化公式將直線的極坐標方程轉化為直角坐標方程即可；由知，曲線的普通方程為,設其參數方程為，則，利用點到直線的距離公式代入求點到直線的距離的最小值。【詳解】解：由（為參數）得，,曲線C的普通方程為；由得，,，，直線l直角坐標方程為；由知，曲線的普通