二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié)

二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié)

一、二次函數(shù)概念：

1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如尸++陵+c（。，6,C是常數(shù),"0）

的函

數(shù)，叫做二次函數(shù)。

這里需要強(qiáng)調(diào)：①aW0②最高次數(shù)為2③代數(shù)式一定

是整式

2.二次函數(shù)尸/+法+。的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量X的二次式，X的最高次

數(shù)是2.

⑵。，兒C是常數(shù)，〃是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，。是常數(shù)項(xiàng).

例題:

例1、已知函數(shù)（01—1）2"+5X—3是二次函數(shù)，求m的值。

練習(xí)、若函數(shù)（m2+2m—7）x?+45是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取

值范圍

為。

二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：加的性質(zhì)：

a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

開口方頂點(diǎn)坐對稱

a的符號性質(zhì)

向標(biāo)軸

x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，

a>Q向上(0,0)y軸

y隨x的增大而減小；x=0時(shí)，y有最小

值0.

x>0時(shí)，y隨x的增大而減小；xvO時(shí)，

a<G向下（0,0）y軸

y隨x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大

值0.

2.丫=加+。的性質(zhì):

上加下減。

開口方頂點(diǎn)坐對稱

”的符號性質(zhì)

向標(biāo)軸

x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；xvO時(shí)，

a>0向上(0,c)y軸

y隨匯的增大而減小；x=0時(shí)，y有最小

值C.

x>0時(shí)，y隨x的增大而減??；x<0時(shí)，

a<0向下(0,c)y軸

y隨x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大

值c.

3.y=a(xf)2的性質(zhì):

左加右減。

開口方頂點(diǎn)坐對稱

〃的符號性質(zhì)

向標(biāo)軸

時(shí)，y隨X的增大而增大；XV〃時(shí)，

a>0向上(/7,0)

y隨x的增大而減小；x=//時(shí)，y有最小

值0.

x>〃時(shí)，y隨x的增大而減小；x</z時(shí)，

向下(60)

a<0y隨x的增大而增大；x=/?時(shí)，y有最大

值0.

4.y=a(x-/i)2+」的性質(zhì):

開口方頂點(diǎn)坐對稱

a的符號性質(zhì)

向標(biāo)軸

時(shí)，y隨式的增大而增大；〃時(shí)，

向上(〃，k)

a>0y隨x的增大而減??；x=/z時(shí)，y有最小

值2.

x>〃時(shí)，y隨x的增大而減?。粁v〃時(shí)，

(h,k)

a<0向下y隨x的增大而增大；x=〃時(shí)，y有最大

值上.

二次函數(shù)的對稱軸、頂點(diǎn)、最值

（技法：如果解析式為頂點(diǎn)式（X—h）?,則最值為k；如果解析式

為一般式2則最值為）

1.拋物線2x2+42-m經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則m的值為。

2.拋物2線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,則b=,c=.

3.拋物線y=x?+3x的頂點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.若拋物線y=2—6x經(jīng)過點(diǎn)(2,0),則拋物線頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)

的距離為()

A.V13B.VioC.VisD.V14

5.若直線y=+b不經(jīng)過二、四象限，則拋物線y=2++c()

A.開口向上，對稱軸是y軸B.開口向下，對稱軸是y軸

C.開口向下，對稱軸平行于y軸D.開口向上，對稱軸平行于

y軸

6.已知二次函數(shù)?+(m—1)—1有最小值為0,則m=。

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式產(chǎn)確定

其頂點(diǎn)坐標(biāo)(〃,左)；

⑵保持拋物線尸小的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(〃，%)處，

具體平移方法如下：

y=a(x-/j)-?產(chǎn)”(心/?)2+%

向上(Q0)【或下伏〈0)】平移固個(gè)單位

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“〃值正右移，負(fù)左移；左值正上移，

負(fù)下移”.

概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.

方法二：

⑴y=+6x+c沿y軸平移：向上(下)平移m個(gè)單位，y=ax2+bx+c

變成

y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+hx+c-m)

⑵y=ax?+bx+c沿軸平移：向左(右)平移加個(gè)單位，y=ax?+fec+c

變成y=a(x+m)2+h(x+m)+c(或y=a(x-m)2+h(x—/n)+c)

函數(shù)2的圖象和性質(zhì)例題：

1.拋物線2+49的對稱軸是。

2.拋物線2x2—1225的開口方向是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是。

3.通過配方，寫出下列函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：

(1)x"—21；(2)—3X2+8X—2；(3)—xJ—4

4、把拋物線,的圖象向右平移3個(gè)單位，在向下平移2個(gè)單位,

所得

圖象的解析式是2—35,試求b、c的值。

5、把拋物線-2x?+41沿坐標(biāo)軸先向左平移2個(gè)單位，再向上平

移3個(gè)單位，

問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有,

說明理由。

四、—次函數(shù)y=a（x-〃）2+攵與y=渥+fer+c的比較

從解析式上看，y=a（x-4+k與是兩種不同的表達(dá)形

式，后者通過配方可以得到前者，即y=/x+?f+與2，其中

I2a）4a

.b,4ac-b2

h=--,k=-----?

2a4a

五、二次函數(shù)產(chǎn)加+公+c圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)丫=加+法+,化為頂點(diǎn)式

2

y=a（x-h）+k,確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在

對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:

頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)（O，c）、以及（O，c）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)

（26,c）、與x軸的交點(diǎn)（占，0）,（七，0）（若與x軸沒有交點(diǎn)，則

取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸

的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)yuar'/’x+c的性質(zhì)

1.當(dāng)心o時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為釬-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2a

（b_4ac-h2>

「五,一兀一）*

當(dāng)x<_2時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)》>一2時(shí)，y隨x的增

2a2a

大而增大；當(dāng)時(shí)，y有最小值處世.

2a4a

2.當(dāng)"0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為X=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2a

［與，當(dāng)互］.當(dāng)時(shí)，），隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨

12674al2a2a

X的增大而減?。划?dāng)尸-幺時(shí)，y有最大值處衛(wèi).

2a4a

例題：函數(shù)（x—hT的圖象與性質(zhì)

1.填表：

拋物線開口方對稱軸頂點(diǎn)坐

向標(biāo)

y=-3(x-2)2

y=1(x+3)2

2.試說明函數(shù)（x—3T的圖象特點(diǎn)及性質(zhì)（開口、對稱軸、頂點(diǎn)

坐標(biāo)、增

減性、最值）。

3.二次函數(shù)（x—h）2的圖象如圖：已知a=,=,試求該拋物線的

解

析式。

二次函數(shù)的增減性

1.二次函數(shù)3x2—65,當(dāng)x>l時(shí),y隨x的增大而;

當(dāng)x<1時(shí)，y

隨x的增大而；當(dāng)1時(shí)，函數(shù)有最值是。

2.已知函數(shù)4xL-5,當(dāng)x>-2時(shí)隨x的增大而增大；當(dāng)x<-2

時(shí)，y

隨x的增大而減少；則x=l時(shí)的值為。

3.已知二次函數(shù)2—（1）1,當(dāng)X》1時(shí)，y隨X的增大而增大，則

m的取值范圍是.

4.已知二次函數(shù)一X?+3的圖象上有三點(diǎn)A（XU）（X22）（X33）且

3<X1<X2<X3,則丫您的大小關(guān)系為.

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a*0）；

2.頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a,h,左為常數(shù)，a#O）；

3.兩根式：y=a{x-xx\x-x2）（a#O,x,>x2是拋物線與》軸兩交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并

非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸

有交點(diǎn)，即從-4%20時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式

表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)產(chǎn)江+法+c中，〃作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然"0.

⑴當(dāng)a>。時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，

反之a(chǎn)的值越小，開口越大；

⑵當(dāng)”0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，

反之〃的值越大，開口越大.

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，〃的正負(fù)決

定開口方向，同的大小決定開口的大小.

2.一次項(xiàng)系數(shù)6

在二次項(xiàng)系數(shù)“確定的前提下，〃決定了拋物線的對稱軸.

⑴在a>0的前提下,

當(dāng)6>0時(shí)，上<0,即拋物線的對稱軸在），軸左側(cè)；

2a

當(dāng)6=（）時(shí)，_A=o,即拋物線的對稱軸就是y軸；

2a

當(dāng)b<o時(shí),-->0,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).

2a

⑵在4<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

當(dāng)6>0時(shí)，_±>0,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；

2a

當(dāng)6=0時(shí)，-A=o,即拋物線的對稱軸就是）,軸；

2a

當(dāng)6<0時(shí)，-±<0,即拋物線對稱軸在），軸的左側(cè).

2a

總結(jié)起來，在“確定的前提下，〃決定了拋物線對稱軸的位

置.

"的符號的判定：對稱軸x=-2在y軸左邊則她>0,在y軸

2a

的右側(cè)則仍<0，概括的說就是“左同右異”

總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

（1）當(dāng)c〉0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與

y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

⑵當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線

與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；

⑶當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與

y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).

總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

總之，只要a",c都確定，則這條拋物線就是唯一確定的.

例題：函數(shù)的圖象特征與a、b、c的關(guān)系

1.已知拋物線2的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號為()

>0>0>0>0>00

>0<00>0<0<0

2.已知拋物線2的圖象2如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.>OB.b>-2a

C.>OD.c<0

3.拋物線2中，b=4a,它的圖象如圖3,有以下結(jié)論：

①c>0；②》0③)0(4)b2-4<0(5)<0；其中正確的為()

A.①②B.①④C.①②③D.①③⑤

4.當(dāng)b<0是一次函數(shù)與二次函數(shù)2在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是

()

5.已知二次函數(shù)y=?++c,如果a>b>c,且a+b+c=O,貝!!它

的圖象可能是圖所示的（）

6.二次函數(shù)y=2++c的圖象如圖5所示，貝Lb?—4,2a+b,

a+b+c四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

7.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)2與（a〈c）圖象可能是圖所示的（）

D

8.反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，則二次函數(shù)y=221c的圖象

大致為圖中的（）

ABC

D

9.反比例函數(shù)中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，則二次函

數(shù)y=2+2的圖象大致為圖中的（）

ABCD

二次函數(shù)解析式的確定:

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用

待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)

的形式，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)

式;

3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式;

4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

例題：函數(shù)解析式的求法

一、已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為一般式2,然后

解三元方程組求解；

1.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)

三點(diǎn)，求該二

次函數(shù)的解析式。

2.已知拋物線過A(1,0)和B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)且

=5,求該二

次函數(shù)的解析式。

二、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，或拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋

物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式(X—h)2求解。

3.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-6),且經(jīng)過點(diǎn)(2,

-8),求該二

次函數(shù)的解析式。

4.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—3),且經(jīng)過點(diǎn)P(2,

0)點(diǎn)，求二

次函數(shù)的解析式。

三、已知拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式(x

—X1)(X—X2)O

5.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),函數(shù)有最小值

-8,求該二次

函數(shù)的解析式。

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)

式表達(dá)

1.關(guān)于X軸對稱

廣底+法+C關(guān)于X軸對稱后，得到的解析式是y=—ax1—hx—c；

y=a(x-h)2+k關(guān)于x軸對稱后,得到的解析式是y=-a(x-〃y-k;

2.關(guān)于y軸對稱

),=加+云+。關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=加-6x+c;

y=a(x-〃1+Z關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+/?『+A;

3.關(guān)于原點(diǎn)對稱

》=底+法+。關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y=-ax1+hx-c;

y=a(x-/?y+k關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y=-a(x+%)2-Z；

4.關(guān)于頂點(diǎn)對稱(即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。)

y=ax2+〃x+c關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是〉=-加-bx+c-匕；

2a

y=a(x-〃)，X關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y=-a(x-/?1+%.

5.關(guān)于點(diǎn)(如〃)對稱

y=a(x-h)2+k關(guān)于點(diǎn)(M,〃)對稱后，得到的解析式是

y=-?(%+—+2〃-k

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀

一定不會(huì)發(fā)生變化，因此同永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的

表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式,

習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)

及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后

再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二交函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)情況):

一兀―■次方程ax2+bx+c=O是一■次函數(shù)y=ax2+fcv+c當(dāng)函數(shù)值y=0

時(shí)的特殊情況.

圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

①當(dāng)A=/-4ac>0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)4(為，0),8(%,0)(百1),

其中的不，多是一元二次方程以2+加+”0卜-0)的兩根.這兩點(diǎn)

間的距離鉆=|x2Tb犯嚴(yán).

②當(dāng)△=()時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)△<()時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

1-當(dāng).>。時(shí)，圖象落在X軸的上方，無論X為任何實(shí)數(shù)，都

有y>0;

2,當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都

有y<0.

2.拋物線產(chǎn)江+云+c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方

程;

⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由

一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)產(chǎn)五+"+c中a,b,c的符號,

或由二次函數(shù)中“，6,c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形

結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和

已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可

由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式

爾+法+以440）本身就是所含字母》的二次函數(shù)；下面以a>0時(shí)為

例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)

系：

A>0拋物線與X軸二次三項(xiàng)式的值可一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)

有兩個(gè)交點(diǎn)正、可零、可負(fù)根

A=0拋物線與五軸二次三項(xiàng)式的值為一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)

只有一個(gè)交點(diǎn)非負(fù)數(shù)根

A<0拋物線與龍軸二次三項(xiàng)式的值恒一元二次方程無實(shí)數(shù)根.

無交點(diǎn)為正

例題：二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)（二次函數(shù)與一元二次方程

的關(guān)系）

1.如果二次函數(shù)y=x?+4x+c圖象與x軸沒有交點(diǎn)，其中c為

整數(shù)，則c=（寫一個(gè)即可）

2.二次函數(shù)y=x2-23圖象與x軸交點(diǎn)之間的距離為

3.拋物線y=-3x?+2x—1的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.沒有交點(diǎn)B.只有一個(gè)交點(diǎn)C.有兩個(gè)交點(diǎn)D.有三個(gè)

交占八、、

4.如圖所示，二次函數(shù)y=x2—4x+3的圖象交x

軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,則△的面

積為()

A.6B.4C.3D.1

5.已知拋物線y=5x2+(m—1)x+m與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在y軸同

側(cè)，它們的距離平方等于為，則m的值為()

A.-2B.12C.24D.48

6.已知拋物線y=x-28,

(1)求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,且它的頂點(diǎn)為

P,求△的面積。

、函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)應(yīng)用剎車距離

何時(shí)獲得最大利潤

最大面積是多少

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是

關(guān)鍵；開口、頂點(diǎn)和交點(diǎn)，它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷

與Y軸來相見的符號較特別,符號與a相關(guān)聯(lián);頂點(diǎn)位置先找見，

Y軸作為參考