高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)三十二有關(guān)球的綜合問題新人教A版必修第二冊(cè)

課時(shí)作業(yè)(三十二)有關(guān)球的綜合問題練基礎(chǔ)1.[2022·山東東營(yíng)高一期末]一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積和體積之比值為()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．2eq\r(3)2．[2022·河北保定高一期末]某圓錐的母線長(zhǎng)為4，高為3，則該圓錐外接球的表面積為()A．16πB．eq\f(196π,9)C．24πD．eq\f(256π,9)3．[2022·福建寧德高一期末]如圖，“甜筒”狀旋轉(zhuǎn)幾何體，由一個(gè)圓錐與一個(gè)半球組合而成，其中圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則這個(gè)組合體的表面積為________．4．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．提能力5.[2022·湖南常德高一期末]軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，已知一等邊圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(3)，則該圓錐的內(nèi)切球體積為()A．4πB．eq\f(4π,3)C．πD．eq\f(π,6)6．(多選)[2022·福建龍巖高一期中]若正四面體外接球的表面積為eq\f(27π,2)，則()A．該正四面體的體積為eq\f(9\r(2),4)B．該正四面體的表面積為9eq\r(2)C．該正四面體內(nèi)切球的半徑為eq\f(\r(6),4)D．該正四面體的外接球上一動(dòng)點(diǎn)M到內(nèi)切球上一動(dòng)點(diǎn)N距離的最小值為eq\f(\r(6),2)7．[2022·湖南張家界高一期末]如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn)．設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則eq\f(m,n)＝________．8．已知一個(gè)球的外切圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、R，求出該球的表面積．9．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該球的體積．10．如圖是某種水箱用的“浮球”，它是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成．已知球的半徑是2cm，圓柱筒的高是2cm.(1)求這種“浮球”的體積；(2)要在100個(gè)這種“浮球”的表面涂一層防水漆，每平方厘米需要防水漆0.5g，共需多少防水漆？培優(yōu)生11.[2022·河北石家莊高一期末]我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童．如圖的芻童ABCD-EFGH有外接球，且AB＝4eq\r(3)，AD＝4，EH＝eq\r(15)，EF＝eq\r(5)，平面ABCD與平面EFGH間的距離為1，則該芻童外接球的表面積為()A.124πB．36πC．164πD．48π12．如圖，在水平放置的直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入兩個(gè)半徑相等的小球(球A和球B)，圓柱的底面直徑為2＋eq\r(2)，向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球B.(1)求球A的體積；(2)求圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比．課時(shí)作業(yè)(三十二)有關(guān)球的綜合問題1．解析：由題意知正方體外接球的直徑為eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，所以eq\f(S球,V球)＝eq\f(4πR2,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,R)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3).故選D.答案：D2．解析：設(shè)該圓錐外接球的半徑為R，則R2＝(3－R)2＋42－32，解得R＝eq\f(8,3)，故該圓錐外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(256π,9).故選D.答案：D3．解析：由題意，這個(gè)組合體的表面積為S＝eq\f(1,2)×4π×12＋π×1×2＝4π.答案：4π4．解析：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4π,3)×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).5．解析：軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則OD＝OE＝r，由題意可得∠OCD＝eq\f(π,6)，CD＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△OCD中，tan∠OCD＝eq\f(OD,CD)，所以O(shè)D＝CD·tan∠OCD＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,2)，即r＝eq\f(1,2)，所以內(nèi)切球體積為eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(π,6)，故選D.答案：D6．解析：設(shè)正四面體的外接球半徑為R，則4πR2＝eq\f(27π,2)，得R＝eq\f(3\r(6),4).把正四面體A-CFG補(bǔ)形為正方體ABCD-EFHG，則R＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(3\r(6),4)，得AB＝eq\f(3\r(2),2)，AF＝3.VA-CFG＝VABCD-EFHG－4VA-EFG＝(eq\f(3\r(2),2))3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(eq\f(3\r(2),2))3＝eq\f(9\r(2),4)，A正確．該正四面體的表面積為4S△AFG＝4×eq\f(1,2)×3×3×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，B錯(cuò)誤．設(shè)正四面體的高為h，則VA-CFG＝eq\f(1,3)S△AFG·h＝eq\f(9\r(3),12)h＝eq\f(9\r(2),4)，得h＝eq\r(6)，因?yàn)檎拿骟w的外接球球心與內(nèi)切球球心重合，所以內(nèi)切球半徑r＝eq\r(6)－eq\f(3\r(6),4)＝eq\f(\r(6),4)，C正確．該正四面體的外接球上一動(dòng)點(diǎn)M到內(nèi)切球上一動(dòng)點(diǎn)N距離的最小值為eq\f(3\r(6),4)－eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(6),2)，D正確．故選ACD.答案：ACD7．解析：設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，于是m＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2)，n＝eq\f(2πr2＋2πr·2r,4πr2)＝eq\f(3,2)，則eq\f(m,n)＝1.答案：18．解析：如圖所示圓臺(tái)及內(nèi)切球的軸截面ABCD，O1、O2、O分別為上、下底面中心及球心，設(shè)球半徑為x，則O1O2＝2x，過C作CE⊥AB于E，則CE＝2x，BE＝R－r，BC＝R＋r，∴在Rt△CBE中，由CB2＝BE2＋CE2，得(R＋r)2＝(R－r)2＋(2x)2，x2＝Rr，∴球的表面積為4πx2＝4πRr.9．解析：如圖所示，設(shè)正四棱錐P-ABCD的底面ABCD的中心為E，連接PE，AE，則PE為正四棱錐的高，PE＝4，AB＝2，AE＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)；設(shè)球心為O，則O一定在線段PE上，連接OA；設(shè)球的半徑為R，在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)；所以球的體積為V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))3＝eq\f(243π,16).10．解析：(1)因?yàn)樵摗案∏颉钡膱A柱筒底面半徑和半球的半徑r＝2cm，圓柱筒的高為2cm，所以兩個(gè)半球的體積之和為V1＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π(cm)3，圓柱的體積V2＝πr2h＝8π(cm)3，∴該“浮球”的體積是V＝V1＋V2＝eq\f(56,3)π(cm)3.(2)根據(jù)題意，上下兩個(gè)半球的表面積是S1＝4πr2＝16π(cm)2，而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為S2＝2πrh＝8π(cm)2，∴“浮球”的表面積為S＝S1＋S2＝24π(cm)2；所以給100個(gè)這種浮球的表面涂一層防水漆需要100×24π×0.5＝1200πg(shù)．11．解析：如圖，設(shè)上底面中心為O1，下底面中心為O2，芻童外接球的球心為O，則O，O1，O2共線，連接O1E，O2A，OE，OA，由已知可得O1E＝eq\r(5)，O2A＝4，O1O2＝1.設(shè)該芻童的外接球的半徑為R，OO2＝h，則R2＝16＋h2，R2＝5＋(h＋1)2，聯(lián)立解得R2＝41.∴該芻童的外接球的表面積為S＝4πR2＝164π.故選C.答案：C12．解析：(1)設(shè)圓柱的底面半徑為R，小球的半徑為r，且r<R，由圓柱與球的性質(zhì)知AB2＝(2r)2＝(2R－2r)2＋(2R－2r)2，即r2－4Rr