福建省三明市永安名校2022-2023學年高二下學期返?？荚嚁?shù)學試卷

永安名校2022-2023學年高二下學期返?？荚?/p>

數(shù)學

完卷時間120分鐘；滿分150分;

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分.

1.已知點A是點4（2,9,6）在坐標平面。町內的射影，則點A的坐標為（）

A.(2,0,0)B.(2,9,0)C.(2,0,6)D.(O,9,6)

2.直線Jix—y+l=0的傾斜角的大小為（)

A.30B.60C.120D.150

22

.經(jīng)過點網(wǎng)回@且與雙曲線?一方

321有共同漸近線的雙曲線方程為（）

9222

A.匚匕=1B.匕-土=1

6868

22

y2x2D.工-匕=1

lcx?--------=1

8686

4.設/(x)=xln￥.若/'(%)=2,則%)

1ln2

A.-B.---C.eD.In2

22

5.圓廠+y?—6y+8=0與圓尸+?—8x=0的位置關系為（）

A.內切B.相交C.外切D.外離

6.在棱長均為1的平行六面體ABC。—AgGQ中,ZBAD=ZBAA,=ZDAA,=60,

則可卜（）

A.73B.76C.3D.6

7.等差數(shù)列｛4｝的公差”<0,%%=35,q+6=12,數(shù)列的前〃項和為5“,則S,,的最大

值為（）

A.72B.66C.132D.198

22

X

8.橢圓E:—+上=1（。>8>0）的左、右焦點分別為F4E上存在兩點A、B滿足

/b2

F{A=2F2B,\AF2\=^a,則￡的離心率為（）

A.—B.-C.—D.-

3322

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得

0分.

9.已知空間向量a=（A+l,女,—2）,b=（—2,l,2）,且d_!_〃，則（）

A.k=-6B.k=6C.|/?|=3D.|/?|=9

J?

10.已知雙曲線a一丁=m2（加工o）,則不因”的值改變而改變的是（）

A.焦距B.頂點坐標

C.頂點坐標離心率D.漸近線方程

11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角

垛“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，..，設第〃層有明個球,

從上往下〃層球的總數(shù)為S“，則（）

嬴

A.a、=35B.S5=35

11112022

C.a?+l-ari=n+lD,—+—+—+H------------=------------

4Q?。3“20222023

12.如圖，直三棱柱ABC-48cl中，C4_LC5,C4=C8=CG，D,E,M分別為

B￡,cq,AB1的中點，點N是棱AC上一動點，則()

A.MNLBC]B.存在點N,MNL平面BC|N

C.MN//平面\DED.存在點N,MN//DE

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫出直線2x+2y+l=0的一個方向向量m=.

丫221

14.雙曲線C：三一￡=1(“>0/>0)的右焦點F(c,0)到C的漸近線的距離為]c,則C

漸近線方程為.

22

15.已知橢圓C：=+]=l(a>0>0)的右頂點為A，直線x=@與橢圓C交于兩

a~b~2

點，若AM-AN=（），則橢圓。的離心率為.

16.如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個正方形分成9個

全等的小正方形，對中間的一個小正方形進行著色得到第1個圖案（圖1）；在第1個圖案

中對沒有著色的小正方形再重復以上做法得到第2個圖案（圖2）；以此類推，每進行一次

操作，就得到一個新的正方形圖案，設原正方形的邊長為1,記第〃個圖案中所有著色的正

方形的面積之和為%,則數(shù)列｛4｝的通項公式&=.

圖1圖2圖3圖4

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.數(shù)列｛4｝的前n項和為S“,S“=n2.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）令b“=-----,求數(shù)列也｝的前〃項和7；.

18.如圖，在四棱錐S—A3CD中，SAL底面A3C0,底面A3CD是梯形，其中

AD//BC,AD=-BC,AD1AB,且AD=1,5A=AB=2.

2

（1）求四棱銖S—ABC。的側面積;

（2）求平面SCD與平面S45的夾角的余弦值.

19.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(2,0),ZOAB=ZABC=120,|AB|=2

(1)求直線的方程；

(2)記Q43的外接圓為圓M，若直線OC被圓M截得的弦長為4,求點C的坐標.

20.如圖，在正四棱錐尸―ABCD中，O為底面中心，PO=AO=3,M為尸O中點，

PE=2EB

(1)求證：DM〃平面E4C；

(2)求：(i)點尸到平面EAC的距離；

(ii)求直線M4與平面E4C所成角的正弦值.

21.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蚐n=2an-2.

(1)證明｛%｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項公式;

(2)在/和。田之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為4的等差數(shù)列，求數(shù)列

<--，的前〃項和Tn.

22.已知拋物線C:V=2px(p>0)焦點F的橫坐標等于橢圓備氣=1的離心率.

(I)求拋物線。的方程；

(2)過(1,0)作直線/交拋物線。于兩點，判斷原點與以線段AB為直徑的圓的位置

關系，并說明理由.

答案

1-8BBDCCBBA

9.AC10.CD11.BC12.AD

13.【答案】(1,—1)14.【答案】>=±弓X

15.【答案】916.【答案】1—仁)

17.【答案】(1)a?=3n-2.(2)7；=1———.

3?+1

18.【答案】(1)12+872+476(2)也

3

19.【答案】(1)+x+y-4下)=0；(2)(2,25/3

【小問I詳解】

延長CB交x軸于點N,如圖，因/Q4B=120，則/N48=60，

又|AB|=|Q4|=2,則有B（3,G）,又=

>0，于是得/ANB=60，

-6因此，y-6=—g(x-與,

則直線BC的傾斜角為120，直線8C的斜率kBC

即

x/3x+y-4A/3=0

所以直線3C的方程為氐+>-46=0.

【小問2詳解】

依題意，設圓M的方程為/++尸=0,。2+￡2-4/>0,

F=0D=-2

由(1)得:<4+2Z)+F=0,解得<E=—2g

9+3+30+百E+F=OF=0

于是得圓M的方程為丁+/一2%一2百^=0,即(x—l)2+(y—G)2=4,圓心

M(1網(wǎng),半徑r=2，

因直線0C被圓M所截的弦長為4,則直線0C過圓心M(1,6),其方程為y=JIx,由

所以點C的坐標是(2,2g1

20.【答案】(1)證明見解析:

(2)(i)(ii)

55

【小問1詳解】

證明：連接BD，則。為8。的中點，且ACLBO,

在正四棱錐P—A3CZ)中，平面ABC。，

以點。為坐標原點，Q4、QB、OP所在直線分別為XX

z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則。（0,0,0）、A（3,0,0）、P（0,0,3）、8（0,3,0）、C（—3,0,0）、D（0,—3,0）、M（0,0，T）、

E（0,2,1）,OM=（0,3,|）

設平面E4C的法向量為，〃=（x，Xz）,C4=（6,0,0）,AE=（-3,2,l）,

則〈，取y=l,則加=（0,1,-2）,

m-AE--3x+2y+z-0

因為。M?比=3-3=0,則DM，機，又因為W平面及1C,所以，DM〃平面

EAC.

【小問2詳解】

/八...-

解：（ii）加（3,。聞，貝戶如…喇MAm32

2%

2

因此，直線M4與平面E4c所成角的正弦值為

〃+3

21.【答案】（1）證明見解析，%=2"（2）3——-

T

【小問1詳解】

因為S“=2a“-2,

當〃22時，S,T=2《I-2,

所以，當〃22時，an=2<7?_],又4=2q-2,解得q=2,

所以｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故=2"

【小問2詳解】