高等數(shù)學(xué)期中考試試卷及答案

高等數(shù)學(xué)期中考試試卷及答案

鄭州輕工業(yè)學(xué)院2005-2006學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷一、判斷題（每題2分，共10分）1、若數(shù)列{x_n}收斂，數(shù)列{y_n}發(fā)散，則數(shù)列{x_n+y_n}發(fā)散。（×）2、limf(x)存在的充分必要條件是limf(x+)和limf(x-)都存在。（×）3、limx→1sin(πx/2)=limx→1πx/2=π/2。（√）4、limx→∞sinx/x=0。（√）5、若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有定義，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。（√）二、填空題（每題2分，共10分）1、已知f'(3)=2，則lim(h→0)[f(3-h)-f(3)]/h=2。（答案為2）2、y=π+xn+arctan(x)，則y'|x=1=n+1。（答案為n+1）3、曲線y=e^x在點(diǎn)(0,1)處的切線與連接曲線上兩點(diǎn)(0,1),(1,e)的弦平行。（答案為(1,e^1)）4、函數(shù)y=ln[arctan(1-x)]，則dy/dx=-1/(x^2-2x+2)。（答案為-1/(x^2-2x+2)）5、當(dāng)x→0時(shí)，1-cosx是x的階一無窮小。（答案為x^2/2）三、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10分）1、數(shù)列有界是數(shù)列收斂的(必要條件)。2、f(x)在x=x處有定義是limx→xf(x)存在的(必要條件)。3、若函數(shù)f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，則limx→1f(x)≠f(1)。(以上等式都不成立)4、下列命題中正確的是(無界變量必為無窮大)。5、lim(n→∞)(1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。四、計(jì)算下列極限（每題6分，共18分）1、lim(x+1-x^-1)=2。2、lim(x→+∞)[sec(x)-cos(x)]/x=0。3、lim(x→0)ln(1+x^2)/x=0。五、計(jì)算下列各題（每題6分，共18分）1、y=e^(sin^2x)。dy/dx=2cos(x)sin(x)e^(sin^2x)。2、y=tan^2x/(1+cosx)。dy/dx=(2tanxsec^2x(1+cosx)-tan^2xsinx)/(1+cosx)^2。3、y=ln((x^2+1)/(x^2-1))。dy/dx=4x/(x^2-1)^2。5、極限$\lim\limits_{x\rightarrowa}(1+x)^{\frac{1}{x}}$的值為()(A)1；（B)$\lna$；(C)$e^a$；(D)不存在．6、設(shè)在區(qū)間[a,b]上$f(x)>0,f'(x)<0,f''(x)>0$，令$S_1=\int_a^bf(x)dx,S_2=f(b)(b-a),S_3=[f(b)+f(a)](b-a)$，則有（）(A)$S_1<S_2<S_3$；（B)$S_2<S_1<S_3$；(C)$S_3<S_1<S_2$；(D)$S_2<S_3<S_1$．二、填空題（每題3分，共18分）1、數(shù)列極限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[\ln(n-1)-\lnn]=$。2、設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}3\cosx,&x<5\\2x+b,&x\geq5\end{cases}$在$(-\infty,+\infty)$內(nèi)連續(xù)，則$b=$。3、比較積分大小：$\int_1^1\lnxdx$______$\int_1^2\lnxdx$。4、設(shè)函數(shù)$f(x)$在$x=0$的某鄰域內(nèi)有直到$n+1$階的導(dǎo)數(shù)，則$f(x)$的$n$階麥克勞林展開式：$f(x)=a+a_1x+L+a_nx^n+R_n(x)$中系數(shù)$a_k=$（$k=1,2,\cdots,n$）。5、不定積分$\int\frac{dx}{x\sqrt{1+\tan^2x}}=$。6、曲線$y=\frac{1}{1+x}$在點(diǎn)$(2,2)$處的切線方程為_______________________。三、解答題（每題6分，共36分）1、求極限：$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}\int_x^{2x}\ln(1-t)dt$；2、設(shè)函數(shù)$y=\sin^3x+\cosx+\tan\frac{x}{2}$，求$\frac{dy}{dx}$；3、已知方程$xy=e^{x+y-1}$確定$y$是$x$的函數(shù)，求$dy|_{x=1}$；4、求函數(shù)$y=2x^3+x^2-4x+3$的單調(diào)區(qū)間；5、求極限$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\int_x^{2x}\frac{\cost^2}{t}dt$；6、計(jì)算不定積分$\intx^4\lnxdx$。四、（本題滿分7分）討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq0\\x+1,&x<0\end{cases}$在$x=0$處的可導(dǎo)性。五、（本題滿分7分）證明：當(dāng)$x>0$時(shí)，$1+x\ln(x+1+x^2)>1+x^2$。六、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，證明存在一點(diǎn)$\xi\in(a,b)$，使得$bf(b)-af(a)=[f(\xi)+\xif'(\xi)](b-a)$。七、（本題滿分7分）求圓$x^2+y^2=R^2$內(nèi)接矩形的最大面積。1、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，則f(2x-1)的定義域?yàn)閇0.5,1]。2、設(shè)f(x)=sin(x-1)/2x-1，則x=1點(diǎn)是函數(shù)f(x)的可去間斷點(diǎn)。3、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如下圖所示，則f(x)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，兩個(gè)極大值點(diǎn)。4、設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，則有∫f(x)dx=F(x)+c。5、∫xf''(x)dx=xf'(x)-f(x)+c。二、填空題（每題3分，共15分）1、a=1/3，b=1/3。2、lim(h→0)(f(2-h)-f(2))/3h=3。3、f(x)在x處可導(dǎo)是f(x)在x處連續(xù)的條件，f(x)在x處連續(xù)是f(x)在x處可微的條件，f(x)在x處可微是f(x)在x處可導(dǎo)的條件。4、ex的帶有Lagrange型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式為ex=∑k=0n(xk/k!)+Rn(x)，其中Rn(x)=exi(x-x)n+1/(n+1)!，i∈(0,1)。5、x=-1。三、解答題（每題6分，共36分）1、使用洛必達(dá)法則，得到limx→∞sin(sinx2)/x=0，因此limx→∞sin(sinx2)dx=0。2、首先，sinx>0，因此lnsinx>0，e>1，所以xy>0。然后，sinx<1，因此sinsinx2<sinx2，所以0<sin(sinx2)/x<sinx2/x。根據(jù)夾逼定理，得到limx→∞sin(sinx2)/x=0，因此limx→∞xylnsinx=0。3、將方程y=xy+ex+y改寫為y-ex=xy+y，對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到dy/dx=y+xy'+e+y'，移項(xiàng)得到dy/dx=(1+x)y'+(1+y)e，解得y'=(dy/dx-e)/(1+x-y)。4、y=x+1的單調(diào)區(qū)間為(-∞,-1)和(-1,∞)，凹區(qū)間為(-∞,-1/3)，凸區(qū)間為(-1/3,∞)。5、∫e3x/xdx=1/3(e3x/x)'+2/3∫e3x/x2dx=1/3(e3x/x)'+2/9(e3x/x2)'+4/27∫e3x/x3dx=1/3(e3x/x)'+2/9(e3x/x2)'+4/81(e3x/x3)'+8/243∫e3x/x4dx+...=∑n=0∞(2/3)n(e3x/xn)+(2/3)n+1∫e3x/xn+1dx。6、將1-sinx的分母有理化，得到∫(1-sinx)/(1+cosx)dx=∫(1+cosx)/(1+cosx)dx-∫(sinx-cosx)/(1+cosx)dx=x-∫(sinx-cosx)/(1+cosx)dx，令u=1+cosx，得到∫(sinx-cosx)/(1+cosx)dx=∫(1-u)/udu=ln|1+cosx|-x。四、（本題滿分7分）在x=0處，f(x)=0。在x≠0處，f(x)=xsin(1/x)，因?yàn)閘imx→0f(x)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)。當(dāng)x≠0時(shí)，f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x)/x，因?yàn)閘imx→0f'(x)不存在，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)。五、（本題滿分7分）對(duì)于x>0，將右邊的e/x展開成冪級(jí)數(shù)，得到e/x=1/x+1/x2+1/(2x3)+...，因此e>1+x+1/2x2。對(duì)于x<0，將右邊的1+x展開成冪級(jí)數(shù)，得到1+x=1-x+x2/2-x3/6+...，因此e>1+x+x2/2，因此當(dāng)x>0時(shí)，e>1+x+1/2x2。1、x→0，1-cosx與x是等價(jià)無窮??；ln(1+4x)與4x是同階但非等價(jià)無窮小。因此，x→0時(shí)，x(1-cosx)ln(1+4x)的極限為0。2、根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，dy/dt=dy/dx*dx/dt=23a(1+t^2)^(-2)。3、使用分部積分法，令u=x，dv=e^x*dx，則du/dx=1，v=e^x，因此原式為xe^x-∫e^x*dx=xe^x-e^x+C。4、使用代換法，令u=x^2+1，du/dx=2x，則原式變?yōu)椤襡^udu=e^u+C=e^(x^2+1)+C。5、使用分部積分法，令u=1+lnx，dv=dx/x，則du/dx=1/x，v=lnx，因此原式為(1+lnx)lnx-∫(1/x)*lnx*dx=(1+lnx)lnx-x+C。6、y''=(x^2-2x+3)e^-x。7、根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)公式，dy/dx=-[e^(y-sinxy)cosx+x*e^(y-sinxy)cosxy]/[e^(y-sinxy)cosy+y*e^(y-sinxy)cosxy]。因此在點(diǎn)(π/2,0)處，dy/dx=-π/2。8、將ex-(1+x)展開為冪級(jí)數(shù)，得到ex-(1+x)=Σ(x^n/n!)-(Σx^n/n!+1)，因此ex-(1+x)>x^2/2，又因?yàn)閏osx<1，所以1-cosx>x^2/2，即ex-(1+x)>1-cosx，證畢。9、設(shè)f(x)=ln(1+sinx)/(1+cosx)，則f'(x)=(cosx-ln(1+sinx)+sinx-ln(1+cosx))/(1+sinx+cosx+sinxcosx)>0，因此f(x)單調(diào)遞增，f(0)=0，因此f(x)>0，即ln(1+sinx)/(1+cosx)>0，即ln(1+sinx)>ln(1+cosx)，即sinx>cosx，因此x>π/4。10、由于f'(x)=g(x)，因此f(x)=∫g(x)dx=∫(1+cosx)^(-1)dx=arctan(tan(x/2)-1)+C。一、選擇題（每題2分，共30分）1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的單調(diào)區(qū)間為（B）。A.(-∞,0)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,1)D.(0,+∞)2.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x-1)/(x^2-1)，則點(diǎn)x=1是f(x)的（C）。A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.跳躍間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)滿足f'(x)>0，f''(x)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)（B）。A.單調(diào)減、凹曲線B.單調(diào)減、凸曲線C.單調(diào)增、凸曲線D.單調(diào)增、凹曲線4.設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，則有（A）。A.∫f(x)dx=F(x)B.d[∫f(x)dx]=f(x)dxC.∫dF(x)=F(x)D.d∫F'(x)dx=F(x)+c5.不定積分∫x*f''(x)dx=（C）。A.x*f(x)-f(x)+CB.x*f'(x)-f'(x)+CC.x*f'(x)-f(x)+CD.x*f(x)-f'(x)+C二、填空題（每題3分，共15分）1.已知lim(1-a)x^4+bx^3+2/x^3+x-2=2，則a=（1/2），b=（-1/2）。2.設(shè)y=ex+sin3x，則y'=（e+3cos3x）。3.f(x)在x處連續(xù)是f(x)在點(diǎn)x可微的（必要）條件。4.不定積分∫(2+3x)^3dx=(1/3)*(2+3x)^4+C。5.函數(shù)y=x^3+2x+1在區(qū)間[-∞,+∞]內(nèi)單調(diào)增加。三．解答題（每題6分，共42分）1.求極限lim(1+2+…+n)/n=(n+1)/2。2.求極限limx→0(x-sin(x))/x^3=1/6。3.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ey+xy=e所確定，求y'(-1)=1/e。4.設(shè)函數(shù)y=3-2x^2+sinx，則y''(-π/2)=2。5.求不定積分∫(1+x)/(1+x+x^2)dx=ln|1+x+x^2|+C，求dy/dx。6.求曲線x=acos(t),y=bsin(t)在t=π/4處的切線方程，其中a=1,b=2。7.求不定積分∫x^4lnxdx=(1/5)*x^5*lnx-(1/25)*x^5+C。四、（本題滿分10分）求函數(shù)y=2x^3-3x^2的極值與函數(shù)曲線的拐點(diǎn)。解：y'=6x(1-x)，令y'=0得x=0或x=1，y(0)=0，y(1)=-1，y''=6-12x，當(dāng)x=1/2時(shí)，y''<0，所以x=1/2是函數(shù)y=2x^3-3x^2的極大值點(diǎn)，x=0是函數(shù)y=2x^3-3x^2的極小值點(diǎn)。當(dāng)x=2/3時(shí)，y''<0，所以函數(shù)y=2x^3-3x^2在x=2/3處有拐點(diǎn)。五、（本題滿分10分）要造一圓柱形油罐，體積為V，問底半徑r和高h(yuǎn)等于多少時(shí)，才能使表面積最?。窟@時(shí)底半徑r與高h(yuǎn)的比是多少？解：設(shè)圓柱底半徑為r，高為h，則圓柱表面積為S=2πr^2+2πrh，體積為V=πr^2h，由V=πr^2h得h=V/(πr^2)，代入S=2πr^2+2πrh中得S=2πr^2+2V/r，令S'=4πr-2V/r^2=0得r^3=V/(2π)，所以r=(V/(2π))^(1/3)，代入h=V/(πr^2)中得h=2r，所以底半徑r與高h(yuǎn)的比為1:2^(1/3)。六、（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且滿足a<f(x)<b，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且滿足f'(x)<1，證明方程f(x)=x在(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)根。證明：在區(qū)間[a,b]上，由于a<f(x)<b，所以f(a)<a，f(b)>b，故f(x)-x在區(qū)間[a,b]上的符號(hào)與f(a)-a和f(b)-b的符號(hào)相反。又因?yàn)閒(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且滿足f'(x)<1，所以f(x)-x在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減，因此f(x)-x=0在(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)根。一、單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)x→0時(shí)，xsin(1/x)為無窮小量。2.方程x3-3x+1=0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根。3.若f'(x)=sin(x)，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是1-cos(x)。4.已知f(x)=x3+ax2+bx在x=1處有極值-2，則常數(shù)a,b的值為a=-2，b=1。5.極限lim((1/x)5+x^-a)(x→0)(a≠0,b≠0)的值為bbbe^(ln(b/a))。二、填空題1.當(dāng)a=1時(shí)，limf(x)(x→∞)存在。2.不定積分∫(1/x)(1+ln(x))dx=ln(x)+xln(x)-x+C。3.已知f'(3)=3，則lim(f(3+2h)-f(3))/h(h→0)=6。4.曲線y=x4-6x2+3x的凸區(qū)間為(-∞,-1]∪[1,∞)。5.函數(shù)y=x+2cos(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值為2+2√2。三、解答題1.lim(-x)/(xe^-1+1)=lim(-x)/(xe^-1)+lim(-x)/1=-1/e。2.當(dāng)x≠2時(shí)，y=(x-2)/(x-2)=1，間斷點(diǎn)為x=2，是可去間斷點(diǎn)。3.y=xlim(t→∞)(t+x)/t^2，dy/dx=lim(t→∞)(1/x)(t/(t+x)-1/t^2)=-1/x。4.y'=cos(x)+xsin(x)+4。5.e+y+xy'=e，y'=(e-e^(x+1))/x。6.∫e^xdx=e^x+C。四、求曲線y=xt^2,x=2(1-t),y=1-t在t=1處的曲率。由公式k=|y''|/(1+y'^2)^(3/2)，可得y''=2x，y'=-2/(1-t)，x'=2，x''=0，代入公式可得k=2/(1-t)^(3/2)。五、設(shè)f'(sin(x))=cos(2x)+tan(x)，求f(x)。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得f'(x)=cos(2arcsin(x))+tan(arcsin(x))，令u=arcsin(x)，則f'(x)=cos(2u)+tan(u)，代入x=sin(x)可得f'(sin(x))=cos(2x)+tan(x)，因此f(x)=∫(cos(2arcsin(x))+tan(arcsin(x)))dx=∫(2x^2-1)/(1-x^2)dx=-x-2ln|1-x^2|+C。六、在曲線y=ln(x)(2≤x≤4)上求一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P的切線與直線x=2,x=4及ox軸所圍成的梯形的面積最小。設(shè)點(diǎn)P為(x,ln(x))，則過點(diǎn)P的切線斜率為1/x，與x=2,x=4及ox軸交點(diǎn)分別為(2,ln(2))，(4,ln(4))和(0,0)。設(shè)梯形的高為h，底邊長(zhǎng)為b，則由面積公式可得S=h(b1+b2)/2=h(2+4+2x)=2h+4hx，由于點(diǎn)P在曲線上，因此滿足y=ln(x)，即h=ln(x)-x，代入S可得S=2ln(x)-2x+4ln(x)-4x+2ln(x)-2x=8ln(x)-8x。對(duì)S求導(dǎo)可得S'=8/x-8=8(1/x-1)，令S'=0可得x=1，因此點(diǎn)P為(1,0)。七、證明當(dāng)x>0時(shí)，e+sin(x)<1+x。由泰勒展開可得e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，因此e+sin(x)<1+x+x^2/2!+x^3/3!+sin(x)，又因?yàn)閤^2/2!+x^3/3!>0，sin(x)>-1，因此e+sin(x)<1+x+1-x=2+x<1+x(當(dāng)x>0時(shí))，證畢。八、（本題滿分5分）設(shè)$f(x)=g(x)h(x)$，其中$h(x)$在$a$的某鄰域內(nèi)連續(xù)，$g(x)$在點(diǎn)$a$處可導(dǎo)，且$g'(a)=A,g(a)=0$。試求$f'(a)$。答案：根據(jù)乘積法則，有$f'(a)=g'(a)h(a)+g(a)h'(a)=Ah(a)$。因?yàn)?g(a)=0$，所以$f'(a)=0$。1.原式$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+12}=1$。2.法一：$y=ex\lnx$，所以$\frac{dy}{dx}=ex\lnx(\lnx+1)=x(\lnx+1)$。法二：$\lny=x\lnx$，兩邊求導(dǎo)得$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\lnx+1$，即$\frac{dy}{dx}=y(\lnx+1)=x(\lnx+1)$。因此，$\frac{dy}{dx}=x(\lnx+1)$。3.$F(x)=\int\cosx\,dx=\sinx+C$，$F(0)=0$，代入得$C=0$，即$F(x)=\sinx$。$\intxF(x)\,dx=\intx\sinx\,dx=-\intx\,d\cosx=-x\cosx+\int\cosx\,dx=-x\cosx+\sinx+C$。4.令$1-x=t$，則$x=1-t$，$dx=-dt$，$\int\frac{2-x}{1-x^2}\,dx=\int\frac{2-(1-t)}{t^2}\cdot(-dt)=\int\frac{1-t}{t^2+1}\,dt=-2\arctant+C=-2\arctan(1-x)+C$。5.函數(shù)的定義域?yàn)?(-\infty,+\infty)$。$y'=3x-3=3(x-1)(x+1)$，令$y'=0$得$x=-1,1$，$y''=6x$，令$y''=0$得$x=0$。因此，$x=-1,0,1$是關(guān)鍵點(diǎn)。法一：列出增減表。|x|$(-\infty,-1)$|$-1$|$(-1,0)$|$0$|$(0,1)$|$1$|$(1,+\infty)$||-------|--------------|----|--------|---|-------|--|-------------||$y'$|$-$|$0$|$+$|$0$|$-$|$0$|$+$||$y''$|$+$|$-$|$-$|$0$|$+$|$+$|$+$||$y$|$\nearrow$|$2$|$\searrow$|$0$|$\searrow$|$-2$|$\nearrow$|因此，極大值$y(-1)=2$，極小值$y(1)=-2$，拐點(diǎn)$(0,0)$。法二：$y''(-1)=-6<0$，所以極大值$y(-1)=2$；$y''(1)=6>0$，所以極小值$y(1)=-2$；$y'''=6\neq0$，所以$(0,0)$為拐點(diǎn)。6.盒子的高為$h=x\tan30^\circ=\frac{3}{\sqrt{3}}x=x\sqrt{3}$，底面邊長(zhǎng)為$a-2x$，三角形的高為$(a-2x)\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}(a-2x)$。因此，盒子的容積為$V=x(a-2x)^2$，$0<x<\frac{a}{2}$。$V'=2x(a-2x)(-2)+x(2a-4x)\cdot2=2x(3a-10x)$，令$V'=0$得$x=\frac{3a}{10}$，$V''(x)=6a-20x$，$V''(\frac{3a}{10})=-6a<0$，所以$x=\frac{3a}{10}$時(shí)容積最大，最大值為$V(\frac{3a}{10})=\frac{27}{1000}a^3$。7.(1)當(dāng)$\alpha>0$時(shí)，$\lim\limits_{x\to\alpha}|\frac{\sinx}{x-\alpha}|\leq1$，因此$\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=\lim\limits_{x\to\alpha}\sin\frac{1}{x-\alpha}=\sin\frac{1}{\alpha}$，即$f(x)$在$x=\alpha$處連續(xù)。當(dāng)$\alpha\leq0$時(shí)，$\lim\limits_{x\to\alpha}\sin\frac{1}{x-\alpha}$不存在，因此$f(x)$在$x=\alpha$處不連續(xù)。(2)$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin\frac{1}{x+h}-\sin\frac{1}{x}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2\cos\frac{1}{x+h}\sin\frac{1}{2(x+h)}\sin\frac{1}{2x}}{h}$。當(dāng)$\alpha>1$時(shí)，$\lim\limits_{x\to\alpha}\frac{1}{x-\alpha}=0$，因此$\lim\limits_{h\to0}\cos\frac{1}{x+h}=\cos\frac{1}{\alpha}$，$\lim\limits_{h\to0}\sin\frac{1}{2(x+h)}=\sin\frac{1}{2\alpha}$，$\lim\limits_{h\to0}\sin\frac{1}{2x}=\sin\frac{1}{2\alpha}$，因此$f'(\alpha)=\lim\limits_{h\to0}\frac{2\cos\frac{1}{x+h}\sin\frac{1}{2(x+h)}\sin\frac{1}{2x}}{h}=\cos\frac{1}{\alpha}$。當(dāng)$\alpha\leq1$時(shí)，$f'(x)$不存在。因此，當(dāng)$\alpha>1$時(shí)，$f(x)$在$x=\alpha$處可導(dǎo)。七、證明：對(duì)于函數(shù)$f(x)=\tanx$，在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)。根據(jù)拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$$\tanb-\tana=\sec^2\xi\cdot(b-a)$$由于$\frac{1}{2}\pi<a<\xi<b<\frac{3}{2}\pi$，所以$\cos\frac{1}{2}\pi>\cos\xi>\cosb$，于是有$$\frac{b-a}{2\cosa\cosb}<\tanb-\tana<\frac{b-a}{2\cosa\cosb}$$八、證明：對(duì)于函數(shù)$f(x)$，當(dāng)$x\tox_0$時(shí)，$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{x}=l$，則有$$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{x}\cdot\frac{1}{x}=\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot\frac{x_0}{x^2}=\frac{l}{x_0}$$根據(jù)題意，有$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$$則$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x