常用離散分布

關(guān)于常用離散分布第1頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例

拋一枚均勻硬幣,令

則隨機(jī)變量X服從(0-1)分布.其分布律為則稱X服從(0-1)

分布或兩點(diǎn)分布.記為X~b(1,p)第2頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布刻畫.說明第3頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

3

二項(xiàng)分布

記為X~b(n,p).X為n重伯努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時(shí)，b(1,p)為0-1分布.第4頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二項(xiàng)分布的圖形第5頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

試驗(yàn)次數(shù)為n=4,“成功”即取得合格品的概率為p=0.8,

所以,X~b(4,0.8)思考：若Y為不合格品件數(shù)，Y？Y~b(4,0.2)

一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,則取得合格品件數(shù)X服從二項(xiàng)分布.第6頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

例2.4.1

設(shè)X~b(2,p)，Y~b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由P(X1)=8/9

，知P(X=0)=1/9.

由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9

=P(X=0)=(1p)2，從而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.第7頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三若隨機(jī)變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,

記為X~P().4泊松分布第8頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三第9頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三泊松分布的圖形第10頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.第11頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中

,泊松分布是常見的.第12頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例2.4.5

商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的銷售量服從參數(shù)為l=8的泊松分布。為了以90%以上的概率保證該商品不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該商品多少件？

解由附錄的泊松分布表知

只要在月底進(jìn)貨12件(假定上個(gè)月沒有存貨)，就可以90%的概率保證這種商品在下個(gè)月內(nèi)不會脫銷。第13頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三泊松定理定理2.4.1(二項(xiàng)分布的泊松近似)在n重伯努里試驗(yàn)中，記pn

為一次試驗(yàn)中成功的概率.若npn

，則第14頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二項(xiàng)分布

泊松分布n很大,p

很小上面我們提到單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出第15頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

例2.4.7有10000名同年齡且同社會階層的人參加了某保險(xiǎn)公司的一項(xiàng)人壽保險(xiǎn)。每個(gè)投保人在每年初交納200元保費(fèi)，而在這一年中若投保人死亡，則受益人獲10000元的賠償費(fèi)。根據(jù)生命表知這類人的年死亡率為0.001。試求保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上（1）虧本的概率；（2）至少獲利500000元的概率。第16頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三記為X~h(n,N,M).超幾何分布對應(yīng)于不返回抽樣模型

：N個(gè)產(chǎn)品中有M個(gè)不合格品，

從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X.2.4.3超幾何分布第17頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三記為X~Ge(p)

X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).

幾何分布具有無記憶性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)2.4.4幾何分布第18頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三負(fù)二項(xiàng)分布(巴斯卡分布)記為X~Nb(r,p).X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“第r次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).第19頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三注意點(diǎn)（1）

二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立0-1隨機(jī)變量之和.

n重伯努利試驗(yàn)可看作由n個(gè)相同的、獨(dú)立進(jìn)行的伯努利試驗(yàn)組成，若將第i個(gè)伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)記為Xi~b(1,p)(i=1,…,n),n重伯努利試驗(yàn)成功的總次數(shù)X=X1+X2+…+Xn

，它服從b(n,p).第20頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三注意點(diǎn)（2）

負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立幾何隨機(jī)變量之和.

做一系列的伯努利試驗(yàn)，如果將首個(gè)成功出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)記為X1，第二個(gè)成功出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)（從第一次成功之后算起）記為X2，…，第r個(gè)成功出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)記為Xr,

則Xi獨(dú)立同分布，且Xi

~Ge(p).此時(shí)有X=X1+X2+…+Xn~Nb(r,p).第21頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三1.

（0–1）分布，其分布律為

解：第22頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三2二項(xiàng)分布設(shè)X服從參數(shù)為n、p

的二項(xiàng)分布，其分布律為有第23頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三3泊松分布設(shè)X

服從參數(shù)為的泊松分布，其分布律為X的數(shù)學(xué)期望為

第24頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三又可算得=故第25頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三常用離散分布的數(shù)學(xué)期望

幾何分布Ge(p)的數(shù)學(xué)期望=1/p

0-1分布的數(shù)學(xué)期望=p

二項(xiàng)分布b(n,p)的數(shù)學(xué)期望=np

泊松分布P()的數(shù)學(xué)期望=第26頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1p)

二項(xiàng)分布b(n,p)的方差=np(1p)

泊松分布P()的方差=