高考復(fù)習(xí)8-7指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)（精練）（基礎(chǔ)版）（解析版）

8.7指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)（精練）（基礎(chǔ)版）

題組一指數(shù)的運(yùn)算

1

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)itW0.0273-+81°75+(1)°-3、

(2)若￡+；3=6，求的值?

【答案】(1)-5；(2)14.

,11111(

【解析】(1)0.0273-(-2)-2+8產(chǎn).75+《)0-3-1=031-36+33+1-§=?--36+27+l--=-5.

3

(2)若#，/.X+—+2=6,x+—=4,.'.x2+x-2+2=\f>,/.x2+.c2=14.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))化簡(jiǎn)下列各式：

2__

(1)(0.064二嚴(yán)]-g-7C0；

s1(1\ra$

(2)-a1'-If---3tz2h-'+443./)一3

6I)V>

5_1_3

【答案】(1)0；(2)--a2-b2.

4

22

【解析】⑴原式=]UJ[一⑺"(力[一圖°

-'<r4-i-i-

△51「」、「2V5」(zV5JL<I_3>c_13

(2)士〃力-2--3.2尸+4標(biāo)為-3=-3”6工3+4加力-3=--a6b%a3b2=_2a-2.Z,-2.

61)1)21J41J4

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))化簡(jiǎn)下列各式(其中各字母均為正數(shù)).

2

⑴'+。0。2"1。(6-2)'+1。；

(2)(11V_!1;

a4b2a3b3

\/

2

7邛r-7

⑶0.0645_歸_犬；

2L

a2.必

(4)

a/八167a-、-、I

【合案】（D-丁：（2）（3）0；（4）

110(石+2)

【解析】（1）原式=+50()2---------1--------L—+1

'心-2)(石+2)

?2，工

京11_51

(4)原式=----:-----=。326/2+36=一

--a

a6b6

1

r7Q_1_2

4（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算:(0.0081)4-3x(-)°xSl^+Oj)3

2_2_11

（2）化簡(jiǎn)：O'）工眇.

【答案】（1）3；（2）

【解析】⑴原式嗚產(chǎn)一*"+（產(chǎn)/瞿心決甥"

773b2.77-.力3-1-——1——1

(2)原式=----j——g----=a326b236==—.

4環(huán)a

5.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))分別計(jì)算下列數(shù)值：

11I------

(1)0.0643—(—兀)°+164+。(3—萬(wàn)了；

亢_X*"

(2)己知兀+廠|=6,(0<%<1),求一[三.

x2+x2

【答案】(1)乃—1；⑵-12.

[解析](1)原式=(0.43戶_(_))°+(24)一+|3_即=(0.4)-，-1+2-1+^-3,=7—1,

(2)?/x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=6(x-x-1),

(x-x-1)2=(x+x-1)-4=32,

VO<x<l,

??x—x1=—45/2,

AX2-%-2=6(X-X-1)=-24A/2,

/\_\2

又：/+”=x+x-1+2=8,

\/

VO<x<l,

.1_1「

"x2+x2=26

題組二指數(shù)函數(shù)的三要素

2+3

1.(2022張家口)函數(shù)y=------的值域?yàn)?)

2*+1

A.(0,2)B.[2,+00)C.(2,3)D.[1,2]

【答案】C

2X+I+311

【解析】y=-——^=2+—!—,0<——<1,，2<,<3故答案為：C.

2*+12'+12'+1

(1、/-2公

2.(2022湖南)若不等式111<23*+/恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

333

A.(0,-1)B.(—,+oo)C.(0,1)D.(—00,—)

444

【答案】B

2

【解析】不等式(g)42Q<23x+/恒成立，即(g)/_2m<(J-(3n/)，即%2_2nX>-(3%+?)恒

3

成立，即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立，所以A=(3-2?)2-4a2<0，解得a>-，所以實(shí)數(shù)a

4

3

的取值范圍是(：,+8),故答案為：B.

3.(2022嫩江月考)(多選)函數(shù)y=(a2—4a+4W是指數(shù)函數(shù)，則a的值不可以是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】ACD

【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義得a2-4a+4=l且存1,解得a=3.故答案為：ACD.

4.(2022長(zhǎng)春月考)已知函數(shù)/(%)=一，一，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)

(2X—1,x>—1

A.[-l,+oo)B.(-L+oo)C.D.R

【答案】B

【解析】當(dāng)xv-l時(shí)，f(x)=x2-2>-l,當(dāng)XN-1時(shí)，/(x)=2v-l>-1,綜上可得函數(shù)/(X)的值域?yàn)?/p>

(-1,+8).故答案為：B【分析】根據(jù)分段函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的值域求解即可.

5.(2021.全國(guó)乙卷)下列函數(shù)中最小值為4的是()

A.y=%2+2x+4

C.y=2"+22TD.y=Inx+---

Inx

【答案】C

【解析】對(duì)于A：因?yàn)閥=(x+iy+3,則ymm=3;故A不符合題意;

對(duì)于B：因?yàn)閥=)也無(wú)|+卜mq,設(shè)t=|sinx|(e(01])，則y=g⑴+由雙溝函數(shù)知,

4一

函數(shù)y=g(t)=f+-(Ovf41)是減函數(shù),所以ymin=g(l)=5,所以B選項(xiàng)不符合;

-444

v2-xXV

對(duì)于C因?yàn)閥=2+2=2+—>2J2?一=4,當(dāng)且僅當(dāng)2'=-7nx=1時(shí)“=”成立,

2'V2"2

即ymin=4,故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D：當(dāng)xe(O,l)時(shí)，y=lnx+—<0,故D選項(xiàng)不符合,

Inx

故答案為：C.

6.（2022?北京市第二十二中學(xué)高三開學(xué)考試）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（）

A.y=lnxB.y=exC.y=x3D,y=-

x

【答案】C

【解析】A.函數(shù)y=lnx的定義域?yàn)椋∣,+8）,值域?yàn)镽；

B.函數(shù)y=爐的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+a）；

C.函數(shù)y=的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽；

D.函數(shù)尸一的定義域?yàn)閧X|XKO},值域?yàn)閧y|y#O},故選：C

7.（2022?江蘇?礦大附中高三階段練習(xí)）（多選）函數(shù)〃?=22，_2-'+2的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)閇1,2],下列

結(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是（）

A.Mc（-oo,lJB.Mo[-2,1JC.leMD.OeM

【答案】ACD

【解析】由于/（x）=22v-2e+2=（2、—I）?+1e[1,2],

.?.（2，-1）2.-.r-16[-1,1],.-.2'e[O,2],.-.xe（-oo,l],

即函數(shù)/（x）=2"-2加+2的定義域?yàn)椋?8,1]

當(dāng)函數(shù)的最小值為1時(shí)，僅有x=O滿足，所以O(shè)eM,故D正確；

當(dāng)函數(shù)的最大值為2時(shí);僅有x=l滿足，所以leM，故C正確；

即當(dāng)M=[0,1]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇1,2],故故知二[-2,1]不一定正確，故A正確，B錯(cuò)誤；

故選：ACD

6.（2022奉賢期中）指數(shù)函數(shù)＞=優(yōu)（。＞0,a"）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,9）,則該指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式

為.

【答案】y=3"

【解析】指數(shù)函數(shù)y="（a＞0且a/l）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,9）,所以9=4,解得。=3,

所以該指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為y=31故答案為：y=31

7.（2022定遠(yuǎn)月考）已知。＞0，且aHl,若函數(shù)/（?=2優(yōu)-4在區(qū)間上的最大值為

io,貝ijq=.

【答案】布或;

【解析】(1)若。>1,則函數(shù)y=a，在區(qū)間[-1,2]上是遞增的，

當(dāng)x=2時(shí)，/(%)取得最大值/⑵=2/_4=10,即a2=7，

又。>1,=S.(2)若0<。<1,則函數(shù)y=ax在區(qū)間[-1,2]上是遞減的，

當(dāng)x=-l時(shí)，f(x)取得最大值/(-1)=27-4=10,

所以a=-.

7

綜上所述，a的值為近或g.

故答案為：V7或—

題組三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

I.(2022.重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí))若命題2、+x-aWO”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,5]B.[6,+oo)C.(-oo,3]D.[3,+oo)

【答案】D

【解析】因?yàn)?e[l,2],2,+x-aW0,

所以aN(2，+x)n$x€[l,2],

顯然y=2、x在xw[l,2]上單調(diào)遞增,

所以aZ2，l=3,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[3,+a>).

故選：D

2.(2022?黑龍江?牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))己知a=68,^=l\c=86,則。也c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】令f(x)=(14—x)lnx,則/'(x)=-lnr+4—1.

因?yàn)閥=-Inr在(0,+8)上單調(diào)遞減，y=?-1在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以廣⑺=Tnx+亍-1在（0,+功上單調(diào)遞減.

1414

而:⑸=—ln5+——l>0,/r（6）=-ln6+——1<0,

56

所以在（6,一）上有r（x）<0.

所以〃X）=（14-X）欣在（6,戶）上單調(diào)遞減.

所以）（6）>/（7）>/（8）,BP81n6>71n7>61n8

故68>7，>86.故a>b>c.

故選：D

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知。=0.3°5,人=0.3°。0=（:/,則〃、b、c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

【答案】C

【解析】函數(shù)y=03是定義域R上的單調(diào)減函數(shù)，且0.5<0.6,則0.36>0.3。6,即〃>>，

又函數(shù)y=x°s在（0,+8）上單調(diào)遞增，且0.3<|,于是得0.3°,<（|^，即c>”，

所以a、b、c的大小關(guān)系為

故選：C

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）三個(gè)數(shù)a=0.42,^=log20.3,。=2。6之間的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】；0VO.42Vo.40=1,??.（）<<<1,

logjO.3<log21=0,.,.h<0,

,.■2°-6>20=l,：.c>l,

'.b<a<c,

故選：C.

5.（2022?山東?棗莊市第三中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)了（打=加-9'-3"若存在非零實(shí)數(shù)司，使得

/（-與）=/（%）成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】（（用

【解析】因?yàn)榇嬖诜橇銓?shí)數(shù)%,使得了（-4）=/（與）成立,

所以初?9-'_3一、=m■9'—3*（x力0）有解,

化簡(jiǎn)機(jī)(9T-9')=3T-3*(x豐0)有解，即m=號(hào)7(乂豐°)有解.

因?yàn)?,+3TN2^/F于=2，當(dāng)且僅當(dāng)3，=3一，，即x=0時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)閤w(),所以3"+3-*>2,0<,

所以0<相<1.

2

故答案為：[o.1]

6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=9'-m3*+,”+6,若方程f(-x)+f(x)=0有解，則實(shí)數(shù)機(jī)

的取值范圍是.

【答案】[2V14+4,+oo)

【解析】由題意得:9"+9--皿3'+3一、)+2，"+12=0有解

令3"+3T=t(t>2),則9"+9T=產(chǎn)-2

.?/_皿+2機(jī)+10=0有解，即m(?2)=產(chǎn)+10有解,顯然f=2無(wú)意義

，/>2,令/一2=y(y>0)

.?.機(jī)=()+2)+1。=丁+匕+4之2J1Z+4,當(dāng)且僅當(dāng)y=—,即y=時(shí)取等，「.me[2\/14+4,+oo)

yyy

故答案為：^2>/14+4,+8),

7.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))己知函數(shù)/。)=-/+3工+5送3=2*+*若內(nèi)￡[0,2],加￡[2,3],使得

/a)vg(w)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

3

【答案】>——

4

【解析】當(dāng)尤e[0,2]時(shí)，/(x)=-x2+3x+5=-^x-|J+y,

3，3、29

???當(dāng)時(shí)，/(x)max=/^-J=—,

當(dāng)xe[2,3]時(shí)，g(x)=2、+a為增函數(shù)，

所以x=3時(shí)，g(x)取得最大值g(3)=8+a,

?.?對(duì)X/&e[0,2],3x2e[2,3],使得/（與）＜8（々）,

；?/(X)M<g(x)m”,

293

—v8+。，解得a>—.

44

3

故答案為：CL>――.

4

8.(2022遂寧期末)已知方程4A-A:-2v+,-3-2v+4=0(x>0)有兩個(gè)不相等實(shí)根，則k的取值范

圍為.

【答案】-<k<l

2

【解析】令2r=m，因?yàn)閤>0,所以m>l,方程4*一上2向一32+4=0(%>0),即

加2_(2%+3)根+4=0(w>1)，因?yàn)?'一上2"+|-3-2*+4=0(%>0)有兩個(gè)不相等實(shí)根，所以方

程加2_(22+3)加+4=0在m>l由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令/(x)=f_(2k+3)%+4,則

/(x)=f_(2k+3)x+4在x>l時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，

”1

珈以p=[-(2k+3)]2-4x4>0，解得，

故答案為：—<k〈I

2

9(2022河北).設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x),x@R,是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

【答案】-1

【解析】,??函數(shù)f(x)=x(ex+ae'x),x￡R是偶函數(shù)，「.f(-x)=f(x),即(-x)?(ex+aex)=x

(ex+aex),整理，得(a+1)(l+e2x)=0.

VxeR,l+e2x>0,/.a+l=0,故a=-l.故答案為-1.

10.(2022云南)要使函數(shù)y=l+2'+a@在(x￡(-oo,1])有y>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

3

【答案】(---.，+8)

4

【解析】設(shè)t=2x,因?yàn)閤e(-01],所以0V9.

.__i_/<iV1

則原函數(shù)等價(jià)為y=l+t+aR要使y>0恒成立，即y=l+t+aG>0,所以a>——=----.

7

設(shè)/??)=—(；)-1，則=++1,因?yàn)?<￡2,所以,

Qin1丫1/(11Y13第2、3

所以y=-一~1—H—W——I—4—=,所以a>——.

卜4(2444

3

故答案為：(一:.，+8).

4

題組四指數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用

y=/^+lg(3-4X+V)的定義域?yàn)镸.

1.(2022泗縣開學(xué)考)已知函數(shù)

(1)求M；

(2)當(dāng)x&M時(shí)，求/(x)=a-2r+2+3x4'(?>-3)的最小值.

【答案】見解析

—>0Kx^l.、

【解析】(1)解：?.?由題可得U-X可解得

3-4x+x2>0

/2、24

(2)A/(x)=a-2X+2+3x4(=3(2A'+yj-^a2，

乂一<2'<2,a>—3).<.---<2.

23

①若一gwg,即a~~^時(shí)，/(x)min=/(一l)=2a+；,

②若-<-—<2,即-3<?<--時(shí)，

234

A2

所以當(dāng)2=-1a,即x=log2(T|時(shí)，/U)min=-1a.

.f(x.2a+|(a>-1)

??/1町min-14o

3fl2(-3<a<-4)

2(2022石家莊期末)設(shè)指數(shù)函數(shù)/(x)=(m+2)v,幕函數(shù)g(x)=(m2+m+l)x3.

(1)求加；

(2)設(shè)a<Q,如果存在與x2e[-2,2],使得>g(x2),求a的取值范圍.

【答案】見解析

m+2Hl

【解析】(1)解：根據(jù)題意得：m+2>0，解得加=0.

m2+m+1=1

(2)解：由(1)知f(x)=2*,g(x)=d,

存在％,x2G[-2,2],使得4a)>g(%2)，等價(jià)于當(dāng)今々￡[一2,2]時(shí)?，

["JLXgHL，

又a<0,所以=qf(-2)=3,

[g&)L=g(-2)=(-2)3=-8,

所以->-8,解得：a>-32,

4

所以ae(-32,0)

3.(2022浙江期中)己知函數(shù)f(x)=2x+k-2-x.

(1)若/(x)在(1,+8)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)若f(x)+l<k-2x在[2,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】(l)〃x)=2'+h2T=2，+?，令f=2，,則/(%)=/+-，由xe(l,+a>)可得t>2,

L

由條件可知>=，+—在(2,+8)是增函數(shù).

當(dāng)^<0時(shí).，結(jié)論顯然成立；當(dāng)k>0時(shí).，則4k<2,：.Q<k<4.

綜上，k的取值范圍為k<4.

(2)由/(x)+l<h2，可得2。+H2-*+1<%2，因?yàn)閄G[2,+OO),所以2'-2r>0,所

2，+1/；〉2*/+1_產(chǎn)+1——.1

以k>*'令”2*，則,2*—2T.1/一1r-1t-\>

2-27

t

1114

因?yàn)閒>4，所以0<---4—,1<1H----<一,

t-13/-I3

4

所以k的范圍是k>-.

3

一3*+a

4.(2022泰州月考)已知函數(shù)f(x)=\

?3x+'+h

(1)當(dāng)。=方=1時(shí)，求滿足/(x)=3X的x的取值:

(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

①存在teR,不等式f[t2-2t)<f(2t2-k)有解，求k的取值范圍；

②若函數(shù)g(x)滿足/(x)[g(x)+2]=g(3r-3，),若對(duì)任意xs