數(shù)學(xué)課件（新教材人教A版）第八章88直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲

線的位置關(guān)系第八章直線和圓、圓錐曲線1.了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、中點弦問題.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交?Δ

0；直線與圓錐曲線相切?Δ

0；直線與圓錐曲線相離?Δ

0.特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點.②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點.>＝<2.弦長公式判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(2)直線與拋物線只有一個公共點，則該直線與拋物線相切.(

)(3)與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點.(

)(4)圓錐曲線的通徑是所有的焦點弦中最短的弦.(

)√√√×√由題意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，2.已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是√設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，3.已知點A，B是雙曲線C：

＝1上的兩點，線段AB的中點是M(3,2)，則直線AB的斜率為√設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵點A，B是雙曲線C上的兩點，∵M(jìn)(3,2)是線段AB的中點，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，探究核心題型第二部分題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1

(1)若直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓

＝1的交點有個 B.至多1個個個√因為直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點，(2)(多選)已知直線y＝x與雙曲線

＝1(a>0，b>0)無公共點，則雙曲線的離心率可能為√√(1)直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(2)直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或重合).思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·梅州模擬)拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，l與x軸交于點A，過點A作拋物線的一條切線，切點為B，則△OAB的面積為√∵拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，∴l(xiāng)的方程為x＝－1，A(－1,0)，設(shè)過點A作拋物線的一條切線為x＝my－1，m>0，∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，(2)已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過雙曲線C的右焦點F，且傾斜角為60°的直線l與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線離心率的取值范圍為______.(1,2)例2

(2021·新高考全國Ⅱ)已知橢圓C的方程為

＝1(a>b>0)，右焦點為(1)求橢圓C的方程；題型二弦長問題由題意得，(2)設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x>0)相切.證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|＝由(1)得，曲線為x2＋y2＝1(x>0)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線MN：x＝1，不符合題意；當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點共線，所以必要性成立；充分性：設(shè)直線MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0，所以m2＝k2＋1，可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，化簡得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，(1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點的弦長都可以用弦長公式求.(2)拋物線的焦點弦的弦長應(yīng)選用更簡捷的弦長公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)設(shè)直線方程時應(yīng)注意討論是否存在斜率.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

已知焦點在x軸上的橢圓C：

＝1(a>b>0)，短軸長為橢圓左頂點A到左焦點F1的距離為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的右頂點為B，過F1的直線l與橢圓C交于點M，N，且S△BMN＝

求直線l的方程.由題意知，直線的斜率存在且不為0，F(xiàn)1(－1,0)，B(2,0)，設(shè)直線l的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，解得m＝±1，所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.例3

(2023·衡水模擬)已知橢圓C：

＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為

短軸頂點分別為M，N，四邊形MF1NF2的面積為32.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；題型三中點弦問題因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.因為四邊形MF1NF2的面積為32，(2)直線l交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標(biāo)為(－2,1)，求直線l的方程.由題意得，直線l的斜率存在.因為AB的中點坐標(biāo)為(－2,1)在橢圓內(nèi)部，故直線l的方程為y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.(1)解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求解.②點差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點坐標(biāo)分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和直線AB斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計算量.思維升華(2)點差法常用結(jié)論已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上的兩點，AB的中點為C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.思維升華思維升華設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線C上存在關(guān)于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標(biāo)為A.(1，－1) B.(2,0)C. D.(1,1)√因為焦點到準(zhǔn)線的距離為p，則p＝1，所以y2＝2x.設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2).則(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，又∵P，Q關(guān)于直線l對稱，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，又∵PQ的中點在直線l上，∴線段PQ的中點坐標(biāo)為(1，－1).課時精練第三部分1.已知直線l：kx＋y＋1＝0，橢圓C：

＝1，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系是A.相離 B.相切

C.相交 D.無法確定1234567891011121314√基礎(chǔ)保分練由直線l：kx＋y＋1＝0，得直線l過定點(0，－1)，所以直線l與橢圓C相交.由拋物線的對稱性知，要使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，代入拋物線方程可解得p＝1.2.(2023·長春模擬)直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于A，B兩點，若使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則p等于√12345678910111213143.已知直線l的方程為y＝kx－1，雙曲線C的方程為x2－y2＝1.若直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是√1234567891011121314因為直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝1的右支交于不同的兩點，12345678910111213141234567891011121314√因為點P為直線l與橢圓的交點，

所以點P到直線AB的距離為d，123456789101112131412345678910111213141234567891011121314此時直線l與橢圓有2個交點，此時有2個P點，所以共有3個P點.12345678910111213145.(多選)已知直線l：x＝ty＋4與拋物線C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，O為坐標(biāo)原點，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則A.y1y2為定值B.k1k2為定值C.y1＋y2為定值D.k1＋k2＋t為定值√√√對于A，y1y2＝－16為定值，故A正確；對于C，y1＋y2＝4t，不為定值，故C錯誤；123456789101112131412345678910111213146.(多選)已知橢圓C：

＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c.直線l：y＝k(x＋c)(k∈R)與橢圓交于A，B兩點，則下列說法中正確的是A.△ABF2的周長為4a1234567891011121314√√由直線l：y＝k(x＋c)過點(－c,0)，知弦AB過橢圓的左焦點F1.所以△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141234567891011121314①②則a2－2c2≤3c2≤a2－c2，1234567891011121314即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，12345678910111213141234567891011121314如圖所示，由橢圓定義可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a

，則△ABF2的周長為4a，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABF2內(nèi)切圓的半徑為r，又△ABF2內(nèi)切圓的周長是2π，故2π＝2πr，則r＝1，12345678910111213141234567891011121314設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，123456789101112131412345678910111213149.已知橢圓C：長軸長為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解得a＝2，c＝1，則b2＝3，1234567891011121314(2)已知直線l過定點

，若橢圓C上存在兩點A，B關(guān)于直線l對稱，求直線l的斜率k的取值范圍.1234567891011121314易知直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為當(dāng)直線l的斜率k＝0時，易得在橢圓C上有無數(shù)對A，B關(guān)于直線y＝0對稱；1234567891011121314兩式相減得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0，因為線段AB的中點在橢圓內(nèi)部，1234567891011121314解得－2<k<0或0<k<2，綜上，直線l的斜率k的取值范圍為(－2,2).123456789101112131410.已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，點P(5，

)在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；1234567891011121314依題意，c＝2，所以a2＋b2＝4，1234567891011121314解得a2＝50(舍去)或a2＝2，(2)記O為坐標(biāo)原點，過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，若△OAB的面積為

求直線l的方程.1234567891011121314依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因為直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，1234567891011121314(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121314故滿足條件的直線l有兩條，12345678910111213141234567891011121314綜合提升練11.(2022·六安模擬)已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為

＝1(a>b>0)，則在橢圓上一點A(x0，y0)處的切線方程為

＝1，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓C1：

＋y2＝1，O為坐標(biāo)原點，點B為C1在第一象限中的任意一點，過B作C1的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，則△OCD面積的最小值為√設(shè)B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由題意得，1234567891011121314123456789101112131412.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線與C交于A，B兩點(點A在x軸上方)，過A，B分別作l的垂線，垂足分別為M，N，連接MF，NF.若|MF|＝

|NF|，則直線AB的斜率為_____.1234567891011121314如圖，由題意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因為∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，123456789101112131413.(2022·濟(jì)南模擬)已知拋物線C：y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，直線l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1，M2，M3，M4四點，則下列各式結(jié)果為定值的是A.|M1M2|·|M3M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M3|·|M2M4| D.|FM1|·|M1M2|1234567891011121314√拓展沖刺練如圖，分別設(shè)M1，M2，M3，M4四點的橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦點F(1,0)，準(zhǔn)線l0：x＝－1，由定義得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，