高中數(shù)學(xué)4-4-2第2課時對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（學(xué)案）

4.4.2第2課時對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

課程標(biāo)準學(xué)科素養(yǎng)

1.會進行同底對數(shù)和不同底對數(shù)大小的比較(重點).1.數(shù)形結(jié)合

2.會解簡單的對數(shù)不等式.2.數(shù)學(xué)運算

3.掌握對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及單調(diào)性的判定方法(重、難點).

【自主學(xué)習(xí)】

一.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］是由^=/(%)與歹=8(》)復(fù)合而成，若/(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合

函數(shù)./lg(x)］為；若大x)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)./［g(x)］為.

對于對數(shù)型復(fù)合函數(shù)y=log4x)來說，函數(shù)yulogAx)可看成是y=log"“與〃=/)兩個簡

單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減''的規(guī)律即可判斷.

另外，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要考慮函數(shù)的定義域.

二.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

對于形如夕=1%危)(。>0,且存1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：

(1)分解成v=iog“”，，，=/a)兩個函數(shù)；

(2)解/(x)>0,求出函數(shù)的定義域；

(3)求〃的取值范圍；

(4)利用y=lo須”的單調(diào)性求解.

【經(jīng)典例題】

題型一比較對數(shù)值的大小

點撥：比較對數(shù)值大小時常用的4種方法

1.同底的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，如例1(1).

2.同真的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化，如例1(2).

3.底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量，如例1(3).

4.若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進行分類討論，如例1(4).

例1比較下列各組值的大?。?/p>

(l)k>g5(與log51；

(2)logi2與logi2；

35

(3)log23與logs4.

(4)loga3.Lloga5.2(a>0,且#1).

【跟蹤訓(xùn)練】1下列不等式成立的是(其中a>Q且。#1)()

A.logu5.1<log(,5.9B.log-2.1>log-2.2C.logi.i(a+l)<logi,iaD.log32.9<logo.52.2

題型二解對數(shù)不等式

點撥：兩類對數(shù)不等式的解法

(1)形如log?/(x)<log?g(x)的不等式.

①當(dāng)0<4<1時，可轉(zhuǎn)化為/(x)>g(x)>0;②當(dāng)a>l時，可轉(zhuǎn)化為0</(x)<g(x).

b

(2)形如log〃x)<b的不等式可變形為log,4X)。=\ogaa.

①當(dāng)0<4<1時，可轉(zhuǎn)化為J[x}>ab-,②當(dāng)a>\時，可轉(zhuǎn)化為0勺

例2已知Iog0,3(3x)<log0,3(x+1)，則X的取值范圍為()

A.［；,+ooB.(-co/c.(TID(0,1

【跟蹤訓(xùn)練】2已知函數(shù)/(x)=loga(x—1),g(x)=loga(6—2x)(a>0,且aWl).

(1)求函數(shù)s(x)=/(x)+g(x)的定義域；

(2)試確定不等式/(x)傘(x)中x的取值范圍.

題型三對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

點撥：對于函數(shù)y=logj(x),如果定義域為D

y=lo隊/(x)的增區(qū)間y=log,J(x)的減區(qū)間

a>l定義域內(nèi)Hx)的單調(diào)增區(qū)間定義域內(nèi)人X)的單調(diào)減區(qū)間

0<a<l定義域內(nèi)/(X)的單調(diào)減區(qū)間定義域內(nèi)./(X)的單調(diào)增區(qū)間

例3求函數(shù)y=logo,3(3—2x)的單調(diào)區(qū)間。

【跟蹤訓(xùn)練】3函數(shù)/(x)=ln(f—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-co,-2)B.(—oo,1)C.(l>+oo)D.(4,+oo)

題型四對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

點撥：

與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域：求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域，一方面，要抓住

對數(shù)函數(shù)的值域；另一方面，要抓住中間變量的取值范圍，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求其值域

(多采用換元法).

例4求下列函數(shù)的值域：

2

(l)^=log2(x+4)；

(2)y=logj_(3+2x—x2).

2

【跟蹤訓(xùn)練】4函數(shù)/(x)=log2(3'+l)的值域為(

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.(1,+oo)D.[1,+oo)

【當(dāng)堂達標(biāo)】

1.設(shè)a=log32,b=log52,c=log23,則()

A.a>c>hB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

2.已知兀0=10須(8—3辦)在［-1,2］上是減函數(shù)，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.(0,1)B.0,才C.4)D.(1,+oo)

3.(多選)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+x)—ln(l—x),則/(%)是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.在(0,1)上是增函數(shù)D.在(0,1)上是減函數(shù)

4.函數(shù)/(x)=ln(3+2x—f)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是

5.函數(shù)yulog^x2—6x+ll)的值域為.

2

6.(1)已知log?g>l,求。的取值范圍；

（2）已知Iog0.7（2x）<log0.7（x—1）,求X的取值范圍.

7.求函數(shù)/)=log“(2x2—3x—2)的單調(diào)區(qū)間.

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

增函數(shù)減函數(shù)

【經(jīng)典例題】

例1(1)法一(單調(diào)性法)：對數(shù)函數(shù)y=log5X在(0,+oo)上是增函數(shù)，而(</，所以log5(<log5g.

34

法二(中間值法)：因為logs^vO，Iog5；>0,

34

所以log5a<10g5§.

(2)法一(單調(diào)性法)：由于log[2=-、，logj_2=—

Iog215log2g

又因?qū)?shù)函數(shù)y=log”在(0,+s)上是增函數(shù),

M|>|，所以0>log2；>log2^,

所以一\<二~7，所以Iogl2<logl2.

Iog2§log2g35

法二(圖象法):如圖，在同一坐標(biāo)系中分別畫出^=logix及y=logix的圖象，由圖易知:logi2<log1

3535

2.

(3)取中間值1,因為Iog23>k>g22=l=log55>k)g54,所以Iog23>log54.

(4)當(dāng)時,函數(shù)y=logoX在(0,+oo)上是增函數(shù)，又3.1<5.2,所以1。&3.1<1085.2；

當(dāng)0<?<1時,函數(shù)y=lo&x在(0,+oo)上是減函數(shù),又3.K5.2,所以log“3.1>log"5.2.

【跟蹤訓(xùn)練】1B解析：對于選項A,因為。和1大小的關(guān)系不確定，無法確定指數(shù)函數(shù)和

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，故A不成立；對于選項B,因為以3為底的對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，所以成立；

對于選項C,因為以1.1為底的對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以不成立；對于選項D,log32.9>0,

logo.52.2<0,故不成立，故選B.

3x>0,

x+l>0,解

{3x>x+1,

/口1

得x>2.

\x-1>0,

【跟蹤訓(xùn)練】2(1)由1c八解得l<x<3,.?.函數(shù)s(x)的定義域為{x|lVxV3}.

、62x>0,

(2)不等式/(x)Sg(x),即為loga(x—l)<log,,(6—2x),

l<x<3,7

①當(dāng)時，不等式等價于解得1<立!；

lx—1<6—2x,3

[l<x<3,7

②當(dāng)OVaVl時，不等式等價于\解得裊<3.

[x—l>6-2x,3

綜上可得，當(dāng)時，不等式的解集為(1，I；當(dāng)OVaVl時，不等式的解集為最3).

例3解：由3—2x>0,解得設(shè)/=3—2x,8,習(xí)，□函數(shù)y=logo.3/是減函數(shù)，且函

數(shù)/=3—2x是減函數(shù)，□函數(shù)y=logo,3(3—2x)在(一8,號上是增函數(shù)，即函數(shù)y=logo.3(3—2x)

的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,|),沒有單調(diào)遞減區(qū)間.

【跟蹤訓(xùn)練】3D解析：要使函數(shù)有意義，則：x2—2x—8>0,解得：》<一2或x>4,結(jié)合二次

函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(4,

+oo),故選D.

例4解：(l?=log2a2+4)的定義域為R.

nx2+4>4,Ulog2(/+4)Kog24=2.W=log2(f+4)的值域為{y匠2}.

(2)設(shè)u=3+2x~x2,則u=-(x-1)2+4<4.

□w>0,0()<〃*.又y=logj.“在(0,+oo)上是減函數(shù)，Ulogl?>logl4=-2,

222

□y=logj_(3+2r—x2)的值域為2}.

2

【跟蹤訓(xùn)練】4A解析：口3'+1>1,且加)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，

Y

□log2(3+l)>log21=0,故該函數(shù)的值域為(0,+oo).

【當(dāng)堂達標(biāo)】

1.D解析：a=log32<log33=l；c=log23>k)g22=l,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知Iog52<log32,，b<a<c,

故選D.

84

2.B解析：由題意，矢口8—3依>0,%￡[-1,2],.,.8+3a>0,8—6。>0,一鏟&<于又易矢口a>0,

4

且存1,「.Ovavl或此時可知函數(shù)g(x)=8—3ax是減函數(shù).若./(x)在［―1,2］上是減函

數(shù)，則必有A1.所以實數(shù)。的取值范圍為(1，，.故選B.

］~Hx2

3.AC解析：由題意可得，函數(shù)/(x)的定義域為(一1,1),且/(x)=lnjG=lnq7*-l)，易知夕

2

=七一1在(0,1)上為增函數(shù)，故於)在(0,1)上為增函數(shù)，又./(—x)=ln(1一力一ln(1+x)=—/(x),

故/(x)為奇函數(shù)，選AC.

4.(—1,1)(1,3)解析：?.,3+2x—x2〉。，Ax2—2x—3<0.

—l<x<3.

令〃=3+2x—x2=—(x2-2x-3)=-(x—1)2+4,

???當(dāng)工￡(一1,1)時，〃是x的增函數(shù)，y是In〃的增函數(shù)，故函數(shù)/a)=ln(3+2x—f)的單調(diào)遞增

區(qū)間是(一1,1).

同理，函數(shù)々OnlnQ+Zx—x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).

5.(—oo,—1］解析：Dx2—6x+11=(x—3)2+2>2,□log-^x2—6x+11)<log-2=-1,故所求函數(shù)

2