第05講統(tǒng)計與概率14種常見考法歸類原卷版

第05講統(tǒng)計與概率14種常見考法歸類1.了解簡單隨機抽樣的含義，掌握兩種簡單的抽樣方法：抽簽法和隨機數(shù)法；了解分層隨機抽樣，掌握各層樣本量比例分配的方法.在簡單的實際情境中，能根據(jù)實際問題的特點，設計恰當?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.2.理解統(tǒng)計圖表的含義，能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.3.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.4.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標準差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.5.結合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律.6.結合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.7.理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算.8.理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.9.理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則.10.結合實例，會用頻率估計概率.11.在具體情境中，結合古典概型，了解兩個事件相互獨立的概念，能計算兩個相互獨立事件的概率.1.隨機抽樣（1）簡單隨機抽樣①定義：一般地，設一個總體含有N（N為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取n（1≤n＜N）個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣；②常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法.（2）分層隨機抽樣①定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配；②分層隨機抽樣的應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層隨機抽樣.2.常用統(tǒng)計圖表（1）頻率分布直方圖①縱軸表示，即小長方形的高＝；②小長方形的面積＝組距×＝頻率；③各小長方形的面積的總和等于1.（2）頻率分布表的畫法第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.（3）條形圖、折線圖及扇形圖①條形圖：建立直角坐標系，用橫軸（橫軸上的數(shù)字）表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個樣本（或某個范圍內(nèi)的樣本）的數(shù)量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為條形圖；②折線圖：建立直角坐標系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應各點，然后把各點用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為折線圖；③扇形圖：用一個圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為扇形圖.3.總體百分位數(shù)的估計（1）百分位數(shù)定義意義百分位數(shù)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100－p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值反映該組數(shù)中小于或等于該百分位數(shù)的分布特點（2）求一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步：計算i＝n×p%；第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i＋1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).4.總體集中趨勢的估計（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù).提醒（1）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受少數(shù)極端值影響；（2）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，一組數(shù)據(jù)可能有n個眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)；（3）與中位數(shù)、眾數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)的更多信息，對樣本數(shù)據(jù)中的少數(shù)極端值更加敏感.5.總體離散程度的估計（1）假設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x，則：①標準差s＝1n②方差s2＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]（2）分層隨機抽樣的均值與方差分層隨機抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為w，樣本方差為s2.以分兩層抽樣的情況為例.假設第一層有m個數(shù)據(jù)分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，方差為s12；第二層有n個數(shù)據(jù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為y，方差為s22.則x＝1m∑i=1mxi，s12＝1m∑i=1m（xi－x）2，y＝①則w＝mm+n②s2＝1m+n{m[s12＋（x－w）2]＋n[s22＋（6.隨機事件（1）事件的相關概念（2）概率和頻率①在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn（A）＝nAn為事件②對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn（A）隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P（A），因此可以用頻率fn（A）來估計概率P（A）.7.事件的關系和運算（1）兩個事件的關系和運算事件的關系和運算含義符號表示包含關系A發(fā)生導致B發(fā)生A?B相等關系B?A且A?BA＝B并事件（和事件）A與B至少有一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件（積事件）A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥事件A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立事件A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝，A∪B＝Ω（2）概率的幾個基本性質①概率的取值范圍：0≤P（A）≤1；②必然事件的概率P（Ω）＝1；③不可能事件的概率P（）＝0.（3）互斥事件的概率加法公式：如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；（4）對立事件的概率：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）＝1－P（A）或P（A）＝1－P（B）.8.古典概型（1）古典概型的特征（2）古典概型的概率公式P（A）＝事件A9.相互獨立事件（1）事件相互獨立：在一個隨機試驗中兩個事件A，B是否發(fā)生互不影響，則稱事件A與事件B相互獨立，當對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任意一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立；（2）獨立事件的概率公式①若事件A，B相互獨立，則P（AB）＝P（A）P（B）；②若事件A1，A2，…，An相互獨立，則P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.提醒P（AB）＝P（A）P（B）只有在事件A，B相互獨立時，公式才成立，1.簡單隨機抽樣需滿足：（1）被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；（2）逐個抽??；（3）是不放回抽??；（4）是等可能抽取.2.簡單隨機抽樣常用抽簽法（適用于總體中個體數(shù)較少的情況）、隨機數(shù)法（適用于個體數(shù)較多的情況）.3.分層隨機抽樣問題的類型及解題思路（1）求某層應抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算；（2）已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層隨機抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算；（3）分層隨機抽樣的計算應根據(jù)抽樣比構造方程求解，其中，抽樣比＝＝.（4）在分層隨機抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為x，第二層的樣本量為n，平均值為y，則樣本的平均值為.4.頻率分布直方圖的相關結論（1）頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1；（2）頻率分布直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距×，即矩形的面積；（3）頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù).5.頻率分布直方圖中的常見結論（1）眾數(shù)的估計值為最高矩形底邊的中點對應的橫坐標；（2）平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和；（3）中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.6.平均數(shù)、方差的公式推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，方差為s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是mx＋a，方差為m2s2.7.總體百分位數(shù)的估計需要注意的三個問題（1）總體百分位數(shù)估計的基礎是樣本百分位數(shù)的計算，因此計算準確是關鍵；（2）由于樣本量比較少，因此對總體的估計可能存在誤差，因此對總體百分位數(shù)的估計一般是估計值而非精確值.（3）確定要求的p%分位數(shù)所在分組[A，B），由頻率分布表或頻率分布直方圖可知，樣本中小于A的頻率為a，小于B的頻率為b，所以p%分位數(shù)＝A＋組距×p%-8.求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法（1）眾數(shù)：由定義知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即為眾數(shù)，若有兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)；（2）中位數(shù)：若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個，按照從小到大（或從大到小）的順序排列，位于中間位置的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若一組數(shù)據(jù)為偶數(shù)個，按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，位于中間位置的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：利用x＝1n∑i=19.標準差、方差的應用（1）標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的情況.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.（2）用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.10.計算分層隨機抽樣的方差的步驟（1）確定x，y，s12，（2）確定ω；（3）應用公式s2＝mm+n[s12＋（x－ω）2]＋nm+n[s22＋（y11.事件關系判斷的策略（1）判斷事件的互斥、對立關系時一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生；（2）判斷事件的交、并關系時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析.也可類比集合的關系和運用Venn圖分析事件.12.用頻率估計概率（1）頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.（2）利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.13.古典概型的概率求解步驟（1）求出所有樣本點的個數(shù)n；（2）求出事件A包含的所有樣本點的個數(shù)m；（3）代入公式P（A）＝mn求解14.求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法（1）枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題；（2）樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗結果.樹狀圖在解決求樣本點總數(shù)和事件A包含的樣本點個數(shù)的問題時直觀、方便，但畫樹狀圖時要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復；15.互斥事件概率的兩種求法（1）將所求事件轉化成幾個彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；（2）若將一個較復雜的事件轉化為幾個彼此互斥事件的和事件時分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮先求其對立事件的概率，即運用“正難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.16.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的策略（1）列出題中涉及的各個事件，并用適當?shù)姆柋硎?；?）厘清事件之間的關系（兩個事件是互斥還是對立，或者是相互獨立），列出關系式；（3）根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；（4）當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.考點一：簡單隨機抽樣例1．【多選】（2022秋·高一單元測試）對于簡單隨機抽樣，下列說法正確的是（

）A．它要求被抽取樣本的總體的個體數(shù)有限B．它是從總體中逐個進行抽取的，在實踐中操作起來也比較方便C．它是一種有放回的抽樣D．它是一種等可能抽樣，在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的機會相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性變式1．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）利用簡單隨機抽樣的方法，從個個體中抽取14個個體，若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的可能性為__________．變式2．（2023·全國·高一專題練習）下列抽樣中適合用抽簽法的是（

）A．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進行質量檢驗B．從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進行質量檢驗C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱50件）產(chǎn)品中抽取6件進行質量檢驗D．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進行質量檢驗例2．（2023·高一單元測試）總體由編號為的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為_________．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481變式1．（2023春·全國·高一專題練習）欲利用隨機數(shù)表從00，01，02，，59這些編號中抽取一個容量為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機數(shù)表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位，直到取足樣本，則第4個被抽取的樣本的編號為______.6301637859

1695556719

9819507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954變式2．【多選】（2022秋·高一單元測試）已知下表為隨機數(shù)表的一部分，將其按每5個數(shù)字編為一組：08015

17727

45318

22374

21115

7825377214

77402

43236

00210

45521

6423729148

66252

36936

87203

76621

1399068514

14225

46427

56788

96297

78822已知甲班有60位同學，編號為01~60號，現(xiàn)在利用上面隨機數(shù)表的某一個數(shù)為起點，以簡單隨機抽樣的方法在甲班中抽取4位同學，由于樣本容量小于99，所以只用隨機數(shù)表中每組數(shù)字的后兩位，得到下列四組數(shù)據(jù)，則抽到的4位同學的編號可能是（

）A．15，27，18，53 B．27，02，25，52C．14，25，27，22 D．15，27，18，74考點二：分層隨機抽樣例3．（2023·高一單元測試）簡單隨機抽樣，分層抽樣之間的共同點是（

）A．都是從總體中逐個抽取B．將總體分成幾個部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取C．抽樣過程中每個個體被抽到的概率是相等的D．將總體分成幾層，然后分層按照比例抽取變式1．【多選】（2023春·湖南長沙·高一雅禮中學校考階段練習）某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質量，公司質監(jiān)部門用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，則（

）A．在每一種型號的轎車中可采用抽簽法抽取B．抽樣比為C．三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的變式2．【多選】（2023秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）某市有大、中、小型商店共1500家，且這三種類型的商店的數(shù)量之比為，現(xiàn)在要調查該市商店的每日零售額情況，從中隨機抽取60家商店，則下列選項正確的有（

）A．1500家商店是總體B．樣本容量為60C．大、中、小型商店分別抽取4、20、36家D．被抽取的60家商店的零售額情況是所抽取的一個樣本變式3．（2023春·陜西西安·高一西安市黃河中學校聯(lián)考階段練習）光明社區(qū)老年合唱隊中，歲的有30人，位老人參加某項活動，已知從歲的老人中抽取了3人，則的值為__________.變式4．（2023春·北京順義·高一牛欄山一中校考階段練習）當前，國家正分批修建經(jīng)濟適用房以解決低收入家庭住房緊張的問題．已知甲、乙、丙三個社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶．若第一批經(jīng)濟適用房中有90套住房用于解決這三個社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問題，先采用分層隨機抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為_______.變式5．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學生都在家進行網(wǎng)上上課，某校高一，高二，高三共有學生6000名，為了了解同學們對某授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這6000名學生中抽取一個容量60的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則該校高二年級的人數(shù)為（

）A．1000 B．1500 C．2000 D．1000變式6．（2023春·河北邯鄲·高一大名縣第一中學校考階段練習）某學校高一、高二、高三三個年級共有學生3500人，其中高三學生數(shù)是高一學生數(shù)的兩倍，高二學生人數(shù)比高一學生人數(shù)多300，現(xiàn)在按的比例分配分層隨機抽樣的方法抽取樣本，則應抽取高一學生數(shù)為________．例4．（2022春·廣東江門·高一江門市第一中學校考期中）高一某班級有男生35人，女生15人，用分層抽樣的方法從全班學生中抽取一個容量為10的樣本，抽出的男生平均體重為70kg，抽出的女生平均體重為50kg，估計該班的平均體重是（

）A．54kg B．60kg C．64kg D．65kg變式1．（2023春·江西南昌·高一南昌市外國語學校?？茧A段練習）某學校高一年級有300名男生，200名女生，通過分層隨機抽樣的方法調查數(shù)學考試成績，抽取總樣本量為50，男生平均成績?yōu)?20分，女生平均成績?yōu)?10分，那么可以推測高一年級學生的數(shù)學平均成績約為（

）A．110分 B．115分 C．116分 D．120分變式2．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學?？茧A段練習）某校有男教師160人，女教師140人，為了調查教師的運動量的平均值(通過微信步數(shù))，按性別比例分配進行分層隨機抽樣，通過對樣本的計算，得出男教師平均微信步數(shù)為12500步，女教師平均微信步數(shù)為8600步，則該校教師平均微信步數(shù)為（

）A．12500 B．10680C．8600 D．10550考點三：扇形（餅狀）圖例5．【多選】（2023春·陜西西安·高一西安市黃河中學校聯(lián)考階段練習）對某地區(qū)2023年的學生人數(shù)進行了統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖.在初中生中，九年級學生人數(shù)最多，八年級學生人數(shù)最少，七年級學生人數(shù)約為1.2萬，則（

）

A．該地區(qū)2023年的學生人數(shù)約為15萬B．該地區(qū)2023年高中生的人數(shù)比八年級學生人數(shù)的2倍還多C．該地區(qū)2023年小學生的人數(shù)比初中生?高中生和大學生的人數(shù)之和還多D．該地區(qū)2023年九年級的學生人數(shù)在初中生人數(shù)中的占比約為變式1．（2022春·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）獨角獸企業(yè)被視為新經(jīng)濟發(fā)展的一個重要風向標，2021年中國獨角獸企業(yè)行業(yè)分布廣泛，覆布圖（圖中的數(shù)字表示各行業(yè)獨角獸企業(yè)的數(shù)量），其中“北上廣”三地的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比為70%．則下列說法正確的是（

）A．房產(chǎn)居家和消費行業(yè)的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比不足10%B．人工智能，汽車交通以及智能硬件行業(yè)的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比超過50%C．“北上廣”三地的獨角獸企業(yè)共有170家D．電子商務行業(yè)的獨角獸企業(yè)數(shù)量最多變式2．（2022春·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820-1910）設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大?。硻C構統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤的是（

）A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加B．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍D．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增變式3．（2022·高一單元測試）新高考方案規(guī)定，普通高中學業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績將計入高考總成績，即“選擇考”成績根據(jù)學生考試時的原始卷面分數(shù)，由高到低進行排序，評定為年參加“選擇考”總人數(shù)是年參加“選擇考”總人數(shù)的倍，為了更好地分析該校學生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計了該校年和年“選擇考”成績等級結果，得到如下圖表：針對該?！斑x擇考”情況，年與年比較，下列說法正確的是（

）A．獲得等級的人數(shù)減少了B．獲得等級的人數(shù)增加了倍C．獲得等級的人數(shù)減少了一半D．獲得等級的人數(shù)相同考點四：條形圖與折線圖例6．（2022春·吉林長春·高一長春外國語學校?？计谀┠硨W校為了解高三年級學生在線學習情況，統(tǒng)計了2021年2月18日﹣27日（共10天）他們在線學習人數(shù)及其增長比例數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的條形圖與折線圖的組合圖．根據(jù)組合圖判斷，下列結論正確的是（）A．前5天在線學習人數(shù)的方差大于后5天在線學習人數(shù)的方差B．前5天在線學習人數(shù)的增長比例的極差大于后5天的在線學習人數(shù)的增長比例的極差C．這10天學生在線學習人數(shù)的增長比例在逐日增大D．這10天學生在線學習人數(shù)在逐日增加變式1．（2023春·江西吉安·高一江西省泰和中學?？计谀┠臣彝?020年收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖1所示，2021年收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖2所示．已知2021年的“旅行”費用比2020年增加了500元，則該家庭2021年的“衣食住”費用比2020年增加了（

）A．2000元 B．2500元 C．3000元 D．3500元變式2．（2022秋·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）網(wǎng)上一家電子產(chǎn)品店，今年1﹣4月的電子產(chǎn)品銷售總額如圖1，其中某一款平板電腦的銷售額占當月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比如圖2．根據(jù)圖中信息，有以下四個結論，推斷不合理的是（）A．從1月到4月，電子產(chǎn)品銷售總額為290萬元B．該款平板電腦4月份的銷售額比3月份有所下降C．今年1﹣4月中，該款平板電腦售額最低的是3月D．該款平板電腦2至4月的銷售額占當月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比與1月份相比都下降了變式3．（2022春·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）某保險公司推出了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險.現(xiàn)對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得出如下的統(tǒng)計圖：用樣本估計總體，以下四個選項錯誤的是（

）A．30~41周歲參保人數(shù)最多B．隨著年齡的增長，人均參保費用越來越多C．54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%D．定期壽險最受參保人青睞考點五：頻率分布直方圖例7．（2021秋·高一單元測試）某校對高一新生進行體能測試（滿分100分），高一（1）班有40名同學成績恰在內(nèi)，繪成頻率分布直方圖（如圖所示），從中任抽2人的測試成績，恰有一人的成績在內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．變式1．（2021春·陜西渭南·高一校考期末）某教育機構為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在元的同學有30人，則n的值為（

）A．55 B．50 C．1000 D．100變式2．（2021秋·高一單元測試）為落實《國家學生體質健康標準》達標測試工作，全面提升學生的體質健康水平，某校高二年級體育組教師在高二年級隨機抽取100名男生，測試了立定跳遠項目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠195cm及以上成績?yōu)楹细瘢?55cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計全校1000名男生中立定跳遠項目合格的男生有（

）A．660名 B．940名 C．970名 D．800名變式3．（2023春·天津南開·高一天津二十五中校考階段練習）某校舉行知識競賽，對全校參賽的1000名學生的得分情況進行了統(tǒng)計，把得分數(shù)據(jù)按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法不正確的是（

）A．圖中的x B．得分在的人數(shù)為400C．這組數(shù)據(jù)的極差為50 D．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為77變式4．（2022春·天津和平·高一耀華中學校考期末）某中學全體學生參加了數(shù)學競賽，隨機抽取了400名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（

）A．直方圖中xB．在被抽取的學生中，成績在區(qū)間的學生數(shù)為30人C．估計全校學生的平均成績?yōu)?3分D．估計全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為95分考點六：總體百分位數(shù)的估計例8．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期末）有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，則其25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為（

）A．144 B．145 C．148 D．153變式1．（2022春·云南·高一統(tǒng)考期末）棉花的纖維長度是衡量棉花質量的重要指標.在一批棉花中隨機抽測20根棉花的纖維長度（單位：mm），按從小到大排序結果如下：82

86

113

115

140

143

146

170

175

195202

206

233

236

238

255

260

263

264

265請你估計這批棉花的第5百分位數(shù)是（

）A．84 B．86 D．115變式2．（2023春·湖南長沙·高一長沙市明德中學?？茧A段練習）有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98則其25%分位數(shù)、中位數(shù)與75%分位數(shù)分別為（

）A．65，76，82 B．66，74，82 C．66，76，79 D．66，76，82例9．（2023春·江蘇蘇州·高一校考階段練習）下圖是根據(jù)某班學生在一次體能素質測試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的分位數(shù)為（

）A．75 C．78 變式1．（2023春·山西太原·高一校聯(lián)考階段練習）少年強則國強，少年智則國智．黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺了一系列政策和行動計劃，提高學生身體素質．為了加強對學生的營養(yǎng)健康監(jiān)測，某校在3000名學生中，抽查了100名學生的體重數(shù)據(jù)情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．樣本的眾數(shù)為65 D．該校學生中低于的學生大約為1000人例10．（2023春·江西南昌·高一校考期中）為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三一班，二班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（單位：℃）若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對應相等，則為（

） 變式1．（2022春·廣東潮州·高一統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，4，x，7，8（其中），若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)倍，則該組數(shù)據(jù)的方差和60%分位數(shù)分別是（

）A．，5 B．5，5 C．，6 D．5，6變式2．（2023秋·山東東營·高一統(tǒng)考期末）十名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設其中位數(shù)為a，眾數(shù)為b，第一四分位數(shù)為c，則a，b，c大小關系為（

）A． B．C． D．考點七：總體集中趨勢的估計例11．（2023春·四川廣元·高一廣元中學?？计谥校┠嘲嘤心猩?0名，女生30名．一次數(shù)學考試（所有學生均參加了考試），男生數(shù)學成績平均為92，女生數(shù)學成績平均分為97，則該班數(shù)學成績平均分為（

）A．94 C．95 變式1．（2023秋·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）《數(shù)術記遺》記述了積算（即籌算）、珠算、計數(shù)等共14種算法.某研究學習小組共7人，他們搜集整理這14種算法的相關資料所花費的時間分別為83，84，80，69，82，81，81（單位:min）.則這組時間數(shù)據(jù)的（

）A．極差為14 B．方差為22 C．平均數(shù)為80 D．中位數(shù)為80例12．（2022·高一單元測試）某滑冰館統(tǒng)計了2021年11月1日到30日某小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（

）A．該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最少B．估計該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16C．估計該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值大于14變式1．（2023·高一單元測試）某校舉辦了迎新年知識競賽，隨機選取了100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下，則根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結論不正確的是（

）A．該校約有一半學生成績高于70分 B．該校不及格人數(shù)比例估計為25%C．估計該校學生成績的中位數(shù)為70分 D．估計該校學生的平均成績超過了70分變式2．（2022秋·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級中學校考階段練習）為了調查某市市民對出行的滿意程度，研究人員隨機抽取了1000名市民進行調查，并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如圖所示的頻率分布直方圖，其中．(1)求、的值；(2)求被調查的市民的滿意程度的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(3)若按照分層抽樣從，中隨機抽取8人，應如何抽?。孔兪?．（2023春·福建三明·高一永安市第九中學?？茧A段練習）2021年3月18日，位于孝感市孝南區(qū)長興工業(yè)園內(nèi)的湖北福益康醫(yī)療科技有限公司正式落地投產(chǎn)，這是孝感市第一家獲批的具有省級醫(yī)療器械生產(chǎn)許可證資質的企業(yè)，也是我市首家“一次性使用醫(yī)用口罩、醫(yī)用外科口罩”生產(chǎn)企業(yè)．在加大生產(chǎn)的同時，該公司狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該企業(yè)質檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖．

(1)求出直方圖中m的值；(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質量指標值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）；(3)現(xiàn)規(guī)定：質量指標值小于70的口罩為二等品，質量指標值不小于70的口罩為一等品．利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，其中一等品和二等品分別有多少個．例13．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一鐵路一中校考期末）某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86，94，88，92，90，五名女生的成績分別為88，93，93，88，93下列說法一定正確的是（

）A．這種抽樣方法是一種分層隨機抽樣B．這五名男生成績的中位數(shù)大于這五名女生成績的中位數(shù)C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D．該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)變式1．（2023·高一單元測試）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從使用該產(chǎn)品的用戶中隨機調查了100個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到如圖所示的用戶滿意度評分的頻率分布直方圖.若用戶滿意度評分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為a,b,c,則（

）A． B． C． D．變式2．（2021春·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）某校舉行校園歌手大賽，6位評委對某選手的評分分別為9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，設該選手得分的平均數(shù)為x，中位數(shù)為y，眾數(shù)為z，則（

）A． B． C． D．考點八：總體離散程度的估計例14．（2021秋·高一單元測試）某公司生產(chǎn)的飲水機過濾器濾芯在2020年12月份的第一周的日生產(chǎn)量（單位：萬件）如下表：日期日生產(chǎn)量/萬件則該公司這一周的日生產(chǎn)量的方差為（精確到0.01）（

） 變式1．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學?？茧A段練習）在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個班級的數(shù)學成績統(tǒng)計如下表，則兩個班所有學生的數(shù)學成績的方差為（）．班級人數(shù)平均分數(shù)方差甲40705乙60808 B．13 變式2．（2023春·安徽·高一安徽省潁上第一中學校聯(lián)考階段練習）小明在整理數(shù)據(jù)時得到了該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為20，方差為28，后來發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將11記錄為21，另一個錯將29記錄為19.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，例15．（2023春·遼寧大連·高一大連市一0三中學?？茧A段練習）經(jīng)過簡單隨機抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為，且數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則下列說法正確的是（

）A．若數(shù)據(jù)，方差，則所有的數(shù)據(jù)都為0B．若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為6C．若數(shù)據(jù)，的方差為，則的方差為12D．若數(shù)據(jù)，的分位數(shù)為90，則可以估計總體中有至少有的數(shù)據(jù)不大于90變式1．（2023春·陜西西安·高一西安市黃河中學校聯(lián)考階段練習）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）A． B． C． D．變式2．（2022春·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知甲、乙、丙、丁、戊五位同學高一入學時年齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)均為16，方差為0.8，則三年后，下列判斷錯誤的是（

）A．這五位同學年齡的平均數(shù)變?yōu)?9 C．這五位同學年齡的眾數(shù)變?yōu)?9 D．這五位同學年齡的中位數(shù)變?yōu)?9考點九：隨機事件關系的判斷例16．（2023春·河南洛陽·高一洛陽市第三中學校聯(lián)考階段練習）某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定幾率中獎的新飲料．甲?乙兩名同學都購買了這種飲料，設事件為“甲?乙都中獎”，則與互為對立事件的是（

）A．甲?乙恰有一人中獎 B．甲?乙都沒中獎C．甲?乙至少有一人中獎 D．甲?乙至多有一人中獎變式1．（2022春·河南省直轄縣級單位·高一濟源高中?？计谀┐鼉?nèi)分別有紅?白?黑球個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．恰有一個白球；一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；紅?黑球各一個變式2．（2021春·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中隨機抽取三件產(chǎn)品，設事件A=“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件B=“三件產(chǎn)品全是次品”，事件C=“三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結論中不正確的是（

）A．A與C互斥 B．B與C互斥C．A、B、C兩兩互斥 D．A與B對立變式3．（2023·高一單元測試）某人射擊一次，成績記錄環(huán)數(shù)均為整數(shù)．設事件：“中靶”；事件：“擊中環(huán)數(shù)大于5”；事件：“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”；事件：“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”．則正確的關系是（

）A．與為對立事件 B．與為互斥事件 C．與為對立事件 D．與為互斥事件變式4．（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）從高一（男、女生人數(shù)相同,人數(shù)很多）抽三名學生參加數(shù)學競賽，記事件A為“三名學生都是女生”，事件B為“三名學生都是男生”，事件C為“三名學生至少有一名是男生”，事件D為“三名學生不都是女生”，則以下錯誤的是（

）A． B．C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件C對立考點十：用頻率估計概率例17．（2023·高一單元測試）將一枚硬幣擲10次，正面向上出現(xiàn)了6次，若用表示正面向上這一事件，則（）A．發(fā)生的概率為 B．發(fā)生的概率接近C．在這十次試驗中發(fā)生的頻率為 D．在這十次試驗中發(fā)生的頻率為6變式1．（2023·高一單元測試）某人從水庫中打了一網(wǎng)魚共1000條，作上記號再放回水庫中，數(shù)日后又從水庫中打了一網(wǎng)魚共條，其中條有記號，由此估計水庫中共有魚的條數(shù)為（

）A． B． C． D．無法估計變式2．（2023·高一單元測試）一批瓶裝純凈水，每瓶標注的凈含量是，現(xiàn)從中隨機抽取10瓶，測得各瓶的凈含量為（單位：）：542548549551549550551555550557若用頻率分布估計總體分布，則該批純凈水每瓶凈含量在之間的概率估計為（

） 考點十一：古典概型例18．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學校考階段練習）甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（）A． B． C． D．變式1．（2023春·高一單元測試）從1，2，3，4，5，6中隨機選取2個不同的數(shù)字組成（，且），則恰好能使得的概率是______.變式2．（2023春·河南安陽·高一安陽一中?？茧A段練習）四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉自己的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著.那么，沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（

）A． B． C． D．變式3．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）在確保新型冠狀病毒肺炎疫情防空到位的前提下，我市中小學陸續(xù)分階段復學.某高中在復學之后，為了幫助學生調整心理狀態(tài)，理性面對疫情，科學合理有效安排學習生活，成立了由5名男教師和2名女教師組成的心理咨詢團隊.現(xiàn)從這個團隊中隨機抽取3人專門負責高一年級的心理咨詢工作，則至少選中1名女教師的概率是__________．變式4．（2023春·北京通州·高一統(tǒng)考期中）袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中紅球3個，白球2個．(1)從中有放回地依次隨機摸出2個球，求第一次摸到白球的概率；(2)從中無放回地依次隨機摸出2個球，求第二次摸到白球的概率；(3)若同時隨機摸出2個球，求至少摸到一個白球的概率．變式5．（2022春·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學校考期末）甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有道不同的題目，其中選擇題道，判斷題道，甲、乙兩人各抽一道（不重復）．(1)甲抽到選擇題且乙抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？考點十二：互斥事件與對立事件的概率例19．（2023春·高一單元測試）拋擲一顆質地均勻的骰子，觀察擲出的點數(shù)，設事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B為“出現(xiàn)2點”，已知，，則“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率為（

）A． B． C． D．變式1．【多選】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）袋子中裝有6個大小質地完全相同的球，其中2個紅球，4個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，下列結論正確的有（

）A．第一次摸到紅球的概率是B．第二次摸到紅球的概率是C．兩次都摸到紅球的概率是D．兩次都摸到黃球的概率是變式2．【多選】（2023春·高一單元測試）某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是（）A． B．C． D．變式3．【多選】（2023春·福建三明·高一永安市第九中學?？茧A段練習）設A，B為兩個隨機事件，以下命題正確的為（

）A．若A，B是互斥事件，，則B．若A，B是對立事件，則C．若A，B是獨立事件，，則D．若，且，則A，B是獨立事件考點十三：獨立事件的判斷及概率例20．（2023·高一單元測試）下列各對事件中，不互為相互獨立事件的是（

）A．甲?乙兩運動員各射擊一次，事件“甲射中10環(huán)”，事件“乙射中9環(huán)”B．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名學生參加演講比賽，事件“從甲組中選出1名男生”，事件“從乙組中選出1名女生”C．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件"第二次摸到白球”D．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”變式1．【多選】（2023·高一單元測試）甲罐中有3個紅球、2個白球，乙罐中有4個紅球、1個白球，先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐，分別以表示由甲罐中取出的球是紅球?白球的事件，再從乙罐中隨機取出1個球，以表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是（

）A．事件互斥 B．事件與事件相互獨立C． D．變式2．【多選】（2023春·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學校考階段練習）連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設事件“第一次出現(xiàn)3點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為10”，則下列說法正確的有（

）A．A與B不互斥且相互獨立 B．A與D互斥且不相互獨立C．B與C不互斥且相互獨立 D．B與D互斥且不相互獨立例21．（2023春·福建廈門·高一福建省廈門第二中學?？茧A段練習）已知事件與相互獨立，且，則（

） 變式1．【多選】（2022春·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）已知事件A，B，且，則（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果A與B相互獨立，那么D．如果A與B相互獨立，那么變式2．（2023春·天津寶坻·高一天津市寶坻區(qū)第一中學校考階段練習）已知甲、乙、丙參加某項測試時，通過的概率分別為0.6，0.8，0.9，而且這3人之間的測試互不影響．(1)求甲、乙、丙都通過測試的概率；(2)求甲未通過且乙、丙通過測試的概率；(3)求甲、乙、丙至少有一人通過測試的概率．變式3．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）溺水、校園欺凌等與學生安全有關的問題越來越受到社會的關注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學生安全知識競賽，規(guī)定每隊3人，每人回答一個問題，答對得1分，答錯得0分.在競賽中，甲、乙兩個中學代表隊狹路相逢，假設甲隊每人回答問題正確的概率均為，乙隊每人回答問題正確的概?分別為，，，且兩隊各人回答問題正確與否相互之間沒有影響.(1)分別求甲隊總得分為3分與1分的概率；(2)求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率.考點十四：統(tǒng)計和概率的綜合例22．（2023春·江蘇無錫·高一錫東高中?？茧A段練習）本學期初，某校為檢驗高三學生網(wǎng)絡學習的效果，對全校高三學生進行期初數(shù)學測試（滿分100），并從中隨機抽取了100名學生的成績，以此為樣本，分成，，，，五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．

(1)求圖中的值；(2)估計該校高三學生期初數(shù)學成績的平均數(shù)和85%分位數(shù)；(3)為進一步了解學困生的學習情況，從數(shù)學成績低于70分的學生中，分層抽樣6人，再從6人中任取2人，求此2人分數(shù)都在的概率．變式1．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）某校組織了所有學生參加黨史知識測試，該校一數(shù)學興趣小組從所有成績（滿分100分，最低分50分）中，隨機調查了200名參與者的測試成績，將他們的成績按，，，，分組，并繪制出了部分頻率分布直方圖如圖所示．

(1)請將頻率分布直方圖補充完整；(2)估計該校所有學生成績的第60百分位數(shù)；(3)從成績在，內(nèi)的學生中用分層抽樣的方法抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人開座談會，求這2人來自不同分組的概率．變式2．（2023·高一單元測試）某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，全校學生參加了這次競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計．請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組8第2組a第3組20第4組第5組2b合計頻率分布直方圖

(1)寫出a，b，x，y的值；(2)在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動，求所抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率．變式3．（2023春·安徽·高一安徽省潁上第一中學校聯(lián)考階段練習）某學校需要從甲、乙兩名學生中選一人參加全國高中數(shù)學競賽，現(xiàn)整理了近期兩人5次模擬考試的成績，結果如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績（分）7880658592乙的成績（分）7586709574(1)如果根據(jù)甲、乙兩人近5次的考試成績，你認為選誰參加較合適？并說明理由；(2)如果按照如下方案推薦參加全國高中數(shù)學競賽：方案一：每人從5道備選題中任意抽出1道，若答對，則可參加全國高中數(shù)學競賽，否則被淘汰；方案二：每人從5道備選題中任意抽出3道，若至少答對其中2道，則可參加全國高中數(shù)學競賽，否則被淘汰.已知學生甲只會5道備選題中的3道，那么學生甲選擇哪種答題方案可參加全國高中數(shù)學競賽的可能性更大？并說明理由.1．【多選】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為_________；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為_________．4．【多選】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率一、單選題1．（2023春·全國·高一專題練習）某校為了解高一年級學生的生涯規(guī)劃情況，在高一年級的6個班級中任選2個班級，并在所選班級中按男女比例抽取樣本，則應采用的抽樣方法是（

）A．簡單隨機抽樣 B．分層抽樣C．先用分層抽樣，再用隨機數(shù)表法 D．先用抽簽法，再用分層抽樣2．（2023·全國·高一專題練習）已知一個總體中有n個個體，用抽簽法從中抽取一個容量為20的樣本.若每個個體被抽到的可能性是，則n等于（

）A．10 B．50 C．100 D．不確定3．（2023·全國·高一專題練習）已知某班共有學生46人，該班語文老師為了了解學生每天閱讀課外書籍的時長情況，決定利用隨機數(shù)表法從全班學生中抽取10人進行調查．將46