高中數(shù)學(xué)選修3全冊(cè)講義

數(shù)學(xué)課程講義教師用書（排列組合與二項(xiàng)式定理、概率與分布、統(tǒng)計(jì)、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析）第1頁，共152頁目錄TOC\o"1-5"\h\z第十七章排列組合與二項(xiàng)式定理 1\o"CurrentDocument"分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第一課時(shí)） 1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第二課時(shí)） 5排列 817.2.1排列（第一課時(shí)） 8\o"CurrentDocument"17.2.2 排列（第二課時(shí)） 1217.3組合 163.1 組合（第一課時(shí)） 16\o"CurrentDocument"3.2 組合（第二課時(shí)） 20\o"CurrentDocument"排列與組合的應(yīng)用 24二項(xiàng)式定理 325.1二項(xiàng)式定理的定義 32\o"CurrentDocument"5.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 35\o"CurrentDocument"17.6習(xí)題課：排列與組合、二項(xiàng)式定理 39第十八章概率與分布 421有限樣本空間與隨機(jī)事件 42事件的關(guān)系和運(yùn)算 42\o"CurrentDocument"古典概型 48\o"CurrentDocument"概率的基本性質(zhì) 52\o"CurrentDocument"事件的相互獨(dú)立性 55頻率的穩(wěn)定性 59隨機(jī)模擬 59\o"CurrentDocument"條件概率 63\o"CurrentDocument"全概率公式 67\o"CurrentDocument"離散型隨機(jī)變量及其分布列 7018.10.1離散型隨機(jī)變量 70第2頁，共152頁TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"18.10.2離散型隨機(jī)變量的分布列 7318.11離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 7818.11.1離散型隨機(jī)變量的均值 7818.11.2離散型隨機(jī)變量的方差 82\o"CurrentDocument"18.12二項(xiàng)分布 86\o"CurrentDocument"18.13超幾何分布 90\o"CurrentDocument"14正態(tài)分布 92第十九章統(tǒng)計(jì) 98\o"CurrentDocument"1隨機(jī)抽樣 9819.1.1 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 9819.1.2 分層隨機(jī)抽樣 102\o"CurrentDocument"19.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑 10519.2用樣本估計(jì)總體 107\o"CurrentDocument"19.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)（第一課時(shí)） 10719.2.2總體取值規(guī)律的估計(jì)（第二課時(shí)） 114\o"CurrentDocument"19.2.3總體百分位數(shù)的估計(jì) 118\o"CurrentDocument"19.2.4 總體集中趨勢(shì)的估計(jì) 121\o"CurrentDocument"19.2.5總體離散程度的估計(jì) 125\o"CurrentDocument"第二十章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 130\o"CurrentDocument"20.1變量間的相關(guān)關(guān)系與相關(guān)系數(shù) 130\o"CurrentDocument"20.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用 13520.2.1一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第一課時(shí)） 13520.2.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第二課時(shí)） 13820.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn) 14220.3.1分類變量與列聯(lián)表 142\o"CurrentDocument"20.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn) 145第3頁，共152頁第十七章排列組合與二項(xiàng)式定理分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(第一課時(shí))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.歸納得出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，能應(yīng)用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題..正確地理解“完成一件事情”的含義..根據(jù)實(shí)際問題的特征，正確地區(qū)分“分類”或“分步”.重點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用.難點(diǎn)：”完成一件事情''的含義；根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.【要點(diǎn)整合】.分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有"種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法..分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第I步有加種不同的方法，做第2步有"種不同的方法，那么完成這件事共有N=mx〃種不同的方法..兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題區(qū)別一針對(duì)的是“分類”問題針時(shí)的是“分步”問題區(qū)別二各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法互相依存區(qū)別三任何一種方法都可以做完這件事只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事有〃類不同的方案，在第1類方案中有叫種不同的方法，在第2類方案中有Tn2種不同的方法，……，在第〃類方案中有加“種不同的方法，那么完成這件事共有N=m}+m2+---+mn種不同的方法..分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事需要分成〃個(gè)步驟，做第1步有的種不同的方法，做第2步有加2種不同的方法，做第"步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=叼x%X…x〃1“種不同的方法..注意的問題.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意的問題(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算是完成這件事.(2)完成這件事的"類方法是相互獨(dú)立的，無論哪種方案中的哪種方法都可以獨(dú)立完成這件事，而不需要再用到其他的方法.(3)確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對(duì)“這件事''進(jìn)行分類，要求每一種方法必屬于某一類方案，不同方案的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類時(shí)必須做到既"不重復(fù)''也"不遺漏第4頁，共152頁.應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理要注意的問題(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨(dú)用題目中所給的某種方法是不是能完成這件事，也就是說是否必須要經(jīng)過幾步才能完成這件事.(2)完成這件事分若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步，這件事都不能完成.(3)根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步驟之間不能重復(fù)，也不能遺漏.【典例講練】題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理例1某校高二(1)、(2)、(3)班，各班人數(shù)如下表：男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高二⑴班302050高二(2)班303060高二(3)班352055(1)從這三個(gè)班中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法；(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？［解析］(1)從每個(gè)班選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，共有3類不同的方案：第1類，從高二(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法：第2類，從高二(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法：第3類，從高二(3)班中選出I名學(xué)生，有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從三個(gè)班中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，共有50+60+55=165種不同的選法.(2)從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有3類不同的方案：第I類，從高二(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法：第2類，從高二(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高二(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有30+30+20=80種不同的選法.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵：用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合它的分類標(biāo)準(zhǔn)，在這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)下，完成這件事的任何一種方法只屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的.【練習(xí)1】x,yeN\Kr+y<6,試求有序正整數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù).［解析］按x的取值進(jìn)行分類：尸1時(shí)，y=l,2,3,4,5,共構(gòu)成5個(gè)有序正整數(shù)對(duì)；%=2時(shí)，y=l,2,3,4,共構(gòu)成4個(gè)有序正整數(shù)對(duì)；x=3時(shí)，y=l,2,3,共構(gòu)成3個(gè)有序正整數(shù)對(duì)；x=4時(shí)，y=l,2,共構(gòu)成2個(gè)有序正整數(shù)對(duì)；x=5時(shí)，y=l,共構(gòu)成1個(gè)有序正整數(shù)對(duì).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：共有N=5+4+3+2+l=15(個(gè))有序正整數(shù)對(duì).題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理例2設(shè)巴蜀中學(xué)高一某班級(jí)有任課教師11名，男生28名，女生25名.現(xiàn)要從中選出男、女生以及任課教師各一名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？［解析］28x25x11=7700(種)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題的注意事項(xiàng)：(1)仔細(xì)審題，抓住關(guān)鍵點(diǎn)確立分步標(biāo)準(zhǔn)，有特殊要求的先行安排.(2)分步要保證各步之間的連續(xù)性和相對(duì)獨(dú)立性.【練習(xí)2】春節(jié)期間，某電視臺(tái)開展了“替你為父母送東西”的活動(dòng)，在外地打工的小王要給家在農(nóng)村的父母買一臺(tái)冰箱和一臺(tái)洗衣機(jī)，現(xiàn)有5種型號(hào)的冰箱和3種型號(hào)的洗衣機(jī)，那么小王共有多少種購買方案？［解析］小王可分兩步完成：第一步，購買一臺(tái)冰箱，有5種方法；第二步，購買一臺(tái)洗衣機(jī)，有3種方法.因此共有5x3=15種不同的購買方案.題型三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例3—棟7層的樓房備有電梯，在一樓有甲、乙、丙三人進(jìn)了電梯，則滿足：有且只有一個(gè)人上7樓，且每人都在不同的樓層卜電梯，且甲不去2樓的所有可能情況有多少種？［解析］分類為：若甲在七樓下電梯，分步為5*4；若乙在七樓下電梯，分步為4x4：若丙在七樓下電梯，分步為4x4：故共有5x4+4*4+4x4=52種情況.求解較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題：(1)對(duì)于較復(fù)雜的問題，可以在分類方法中分步進(jìn)行，或者在每步中進(jìn)行分類.(2)對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰.(3)涉及“多面手”的題型，關(guān)鍵是分清"多面手''可以"干什么活【練習(xí)3】有一項(xiàng)活動(dòng)，需在3名老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選部分人員參加.(1)若只需一人參加，有多少種不同的選法？(2)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加，有多少種不同的選法？(3)若需一名老師、一名同學(xué)參加，有多少種不同的選法？［解析］(1)有三類：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學(xué)中選一人，有8種方法：5名女同學(xué)中選一人，有5種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，有3+8+5=16種選法.(2)分三步：第1步選老師，有3種方法；第2步選男同學(xué)，有8種方法；第3步選女同學(xué)，有5種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3x8x5=120種選法.(3)可分兩類，每一類又分兩步.第1類，選一名老師再選一名男同學(xué)，有3x8=24種選法；第2類，選一名老師再選一名女同學(xué)，共有3x5=15種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有24+15=39種選法.3第6頁，共152頁題型四：分類討論思想解決排數(shù)問題例4用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比2015大的四位偶數(shù)？［解析］解法一：按末位是0,2,4分為三類：第一類，末位是0的有4x4x3=48個(gè)；第二類，末位是2的有3x4x3=36個(gè)；第三類，末位是4的有3x4x3=36個(gè).其中2014不合題意，應(yīng)去除，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得"=48+36+36—1=119個(gè).解法二：按千位是2,3,4,5分四類：第一類，千位是2的有2x4x3=24個(gè)，其中2014不合題意，應(yīng)去除；第二類，千位是3的有3x4x3=36個(gè)；第三類，千位是4的有2x4x3=24個(gè)：第四類，千位是5的有3x4x3=36個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理，得"=24+36+24+36—1=119個(gè).【練習(xí)4】從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）A.24 B.18 C.12 D.6［答案］B［解析］由于題目要求的是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇；如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析（3種選擇），之后十位（2種選擇），最后百位（2種選擇），共12種；如果是第二種偶奇奇的情況，分析同理：個(gè)位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是0,一種情況）,共6種；綜上：總共12+6=18種情況，選擇B.【課后鞏固】完成課時(shí)作業(yè)（165）【課后鞏固】4第7頁，共152頁17.1.2分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(第二課時(shí))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.【要點(diǎn)整合】1.解決計(jì)數(shù)問題的求解方法(1)直接結(jié)合運(yùn)用兩個(gè)原理解決：首先要明確是先“分類”后“分步”，還是先"分步”后“分類”；其次在"分類”和“分步”的過程中，均要確定明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分步程序.(2)利用一些非常規(guī)計(jì)數(shù)問題的解決方法①枚舉法 將各種情況通過樹形圖、表格等方法一一列舉出來，它適用于計(jì)數(shù)種數(shù)較少時(shí)，分類計(jì)數(shù)時(shí)將問題分類實(shí)際也是將分類種數(shù)一一列舉出來.②間接法 若計(jì)數(shù)時(shí)分類較多或無法直接計(jì)數(shù)時(shí)，可用間接法，先求出沒有限制條件的總數(shù)，再減去不滿足條件的種數(shù).③轉(zhuǎn)換法 轉(zhuǎn)換問題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知的問題，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體問題，靈活處理.【典例講練】題型一：組數(shù)問題例1用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的(1)四位密碼？(2)四位數(shù)？(3)四位奇數(shù)？［解析］(1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個(gè)位置上的數(shù)字，有5種選取方法：第二步，選取左邊第二個(gè)位置上的數(shù)字，有4種選取方法：第三步，選取左邊第三個(gè)位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個(gè)位置上的數(shù)字，有2種選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N=5x4x3x2=120個(gè).(2)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1,234中選取一個(gè)數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步，從1,2,3,4中剩余的三個(gè)數(shù)字和0共四個(gè)數(shù)字中選取?個(gè)數(shù)字作百位數(shù)字,有4種不同的選取方法：第三步，從剩余的三個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法;第四步，從剩余的兩個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作個(gè)位數(shù)字，有2種不同的選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N=4x4x3x2=96個(gè).(3)完成“組成無復(fù)重?cái)?shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1,3中任取一個(gè)有2種方法，第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個(gè)還有3個(gè)可任取一個(gè)有3種方法，第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2x3x3x2=36個(gè).【練習(xí)1］由數(shù)字0,123,4,5能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？［解析］第一步：千位上有1,2,3,4,5,共5種選法；第二步：百位上可以從剩余的5個(gè)數(shù)中選1個(gè)，共5種選法；第三步：十位上可從剩余的4個(gè)數(shù)中選1個(gè)，共4種選法：第四步：個(gè)位上可從剩余的3個(gè)數(shù)中選1個(gè)，共3種選法.利用分步計(jì)數(shù)原理，共有5x5x4*3=300個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

題型二：分配問題例2(1)8本不同的書，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人1本，有多少種不同的分法？(2)3位旅客投宿到1個(gè)旅館的4個(gè)房間(每房間最多可住3人)有多少種不同的住宿方法？(3)將4封信投入3個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？［解析］(1)分三步，每位同學(xué)取書一本，第1、2、3個(gè)同學(xué)分別有8、7、6種取法，因而由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同分法共有N=8x7x6=336(種).(2)分三步，每位旅客都有4種不同的住宿方法，因而共有不同的方法N=4x4x4=64(種).(3)完成這件事情可以分四步，第一步，投第一封信，可以在3個(gè)郵筒中任選一個(gè)，因此有3種投法；第二步，投第二封信，同樣有3種投法；第三步，投第三封信，也同樣有3種投法：第四步，投第四封信,仍然有3種投法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得出不同的投法共有N=3x3x3x3=81(種).或應(yīng)用住店法:此題相當(dāng)于4個(gè)人住三間店.【練習(xí)2】有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽，①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，則有種不同的參賽方法；②每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則有種不同的參賽方法.［答案］①3」②4?題型三：涂色問題②例3用〃種不同顏色為下面兩塊廣告牌著色(如下圖①②)，要求在/、B、C、。四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同?種顏色.②(1)若〃=6,為①著色時(shí)共有多少種不同的方法？(2)若為②著色時(shí)共有120種不同的方法，求".［解析］(1)方法一分步：先涂8區(qū)，有6種涂法，再涂CM,有5種涂法，最后涂4、。區(qū)域，各有4種涂法，???共有6x5x4x4=480種涂法.方法二以四個(gè)區(qū)域涂〃種顏色為標(biāo)準(zhǔn)分類，可知至少用三種顏色，最多用四種顏色.第一類：用三種顏色著色，A,。區(qū)域必須是同種顏色，有6x5x4=120種涂法.第二類：用四種顏色著色，四個(gè)區(qū)域的顏色均不相同，有6x5x4x3=360種涂法.所以共有120+360=480種不同方法.(2)與(I)的區(qū)別在于與D相鄰的區(qū)域由兩塊變成三塊.同理，不同的著色方法種數(shù)是〃(〃一1)(〃一2)(〃-3)=120=5x4x3x2,對(duì)照易知〃=5.【練習(xí)3】用6種不同的顏色把右圖中/、8、C、。四塊區(qū)域分開，允許同一色涂不同的區(qū)域，但相鄰的區(qū)域不能涂同一色，則不同的涂法共有()A.400種 B.460種C.480種 D.496種［答案］C［解析］6x5x4x4=480.題型四：多面手問題例4某藝術(shù)小組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴與會(huì)小號(hào)的各1人，有多少種不同的選法？［解析J由題意可知，在藝術(shù)小組9人中，有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)（把該人稱為“多面手”），只會(huì)鋼琴的有6人，只會(huì)小號(hào)的有2人，把選出會(huì)鋼琴、小號(hào)各1人的方法分為兩類：第一類：多面手入選，另1人只需從其他8人中任選一個(gè)，故這類選法共有8種.第二類：多面手不入選，則會(huì)鋼琴者只能從6個(gè)只會(huì)鋼琴的人中選出，會(huì)小號(hào)者也只能從只會(huì)小號(hào)的2人中選出，故這類選法共有6x2=12種.因此共有N=8+12=20種不同的選法.【練習(xí)4】若將上題改為：其中7人會(huì)鋼琴，4人會(huì)小號(hào)，結(jié)果如何？［解析］可知既會(huì)鋼琴，又會(huì)小號(hào)的有（7+4）—9=2人，以此兩人是否入選進(jìn)行分類.（其中只會(huì)鋼琴5人，只會(huì)小號(hào)2人）（1）2人中有1人入選，有2種選法，剩下的1人從其余7人中任選一個(gè)，有7種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有2x7=14種選法：（2）2人均入選，此類即1種選法；（3）2人都不入選，則會(huì)鋼琴的1人只能從5個(gè)只會(huì)鋼琴者當(dāng)中選出，會(huì)小號(hào)的1人也只能從只會(huì)小號(hào)的2人中選出，故這類選法共有5x2=10種.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有14+1+10=25種不同選法.［課后鞏固］ 完成課時(shí)作業(yè)（166）7第10頁，共152頁17.2排列排列(第一課時(shí))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解排列的概念..了解排列數(shù)的概念..掌握排列數(shù)公式的推導(dǎo)方法..能用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.重點(diǎn)：排列的概念；排列數(shù)公式；用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.難點(diǎn)：排列數(shù)公式的推導(dǎo)方法.【要點(diǎn)整合】.排列的有關(guān)概念(1)定義：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出m(加4〃)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從"個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.(2)相同排列：兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同..排列數(shù)與排列數(shù)公式(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出，〃(m<〃)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A：表示.(2)排列數(shù)公式：A?=〃(〃一1)(〃一2)…(〃一加+1)=——r：特別地，A：=〃x(〃一1)x(〃一2)x…x2x1=n!(tn, 且mW"),規(guī)定：0!=I.［注］1.關(guān)于排列的概念給出的〃個(gè)元素是互不相同的，且抽取的"，個(gè)元素是沒有重復(fù)抽取的；排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取元素”，二是“按照一定順序排列注意在解題時(shí)應(yīng)細(xì)心觀察：一“抽取"是否''重復(fù)"，二是否與順序有關(guān)..排列數(shù)公式的特征①m個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積；②最大數(shù)是"，最小的是("-m+1).【典例講練】題型一：排列概念例I 判斷下列問題是否是排列問題：(1)從2,3,5,7,11中任取兩數(shù)相乘可得多少個(gè)不同的積？(2)從上面各數(shù)中任取兩數(shù)相除，可得多少個(gè)不同的商？(3)某班共有50名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正副班長(zhǎng)各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？(4)某商場(chǎng)有四個(gè)大門，若從一個(gè)門進(jìn)去，購買商品后再從另一個(gè)門出來，不同的出入方式共有多少種？［解析］(1)乘法符合交換律與順序無關(guān)，不是排列問題.(2)上、下互換結(jié)果不一樣，與順序有關(guān)，是排列問題.(3)請(qǐng)同學(xué)們記住“正”的就是“正”的，正副不同，是排列問題.(4)“門”不同，先后也不一樣，是排列問題.探究排列的核心是“順序”，有“順序”就是排列問題.那么如何判斷是否有順序呢？最常用的辦法是把得到的結(jié)果變換元素的位置，如果結(jié)果變了，就是有“順序”，若結(jié)果不變，就是無“順序”.【練習(xí)1］判斷下列問題是否是排列問題.①從2,3,5,7,9中任取兩數(shù)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，可得多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？②空間有10個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，則這10個(gè)點(diǎn)共可組成多少個(gè)不同的四面體？③某班有10名三好學(xué)生，5名后進(jìn)生，班委會(huì)決定選5名三好學(xué)生對(duì)5名后進(jìn)生實(shí)行一幫一活動(dòng)，共有多少種安排方式？④若從10名三好學(xué)生中選出5名和5名后進(jìn)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種安排方式？［答案］①是②不是③是④不是題型二：排列數(shù)的運(yùn)算有32A；+7A；例21)計(jì)算：一!——盧A；-A；(2)解方程:3A：=2A；m+6A]［解析］⑴=12A：+7A： 2x8x7x6x5x44-7x8x7x6x5 8x7x6x5x(8+7［解析］⑴=1A；-A；8x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x58x7x6x5x(24-9)(2)由3A：=2A；+|+6A；,得3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-l)x>3,3(x-l)(x-2)=2(x+l)+6(x-l).? 2即3x-17x+10=0.解得x=5或x=§(舍去)./,x=5.探究2上述類型題的處理方法是利用排列數(shù)公式A：=n(n-l)(n-2)...(n-m+l)m或A,二/ 、，消掉式子中的A：，轉(zhuǎn)化為關(guān)于〃的代數(shù)方程再求解?\n-mj.【練習(xí)2］(1)解方程3A；=4A；“：(2)已知- §支=89,求〃的值.即4x91 、［解析］(1)由3A；=4A；i,得戶*=/ 化簡(jiǎn)得X?—19x+78=0,解得\=6,x2=13(8-x/(10—x)!又?.?x48且X—1W9,...原方程的解是x=6.(2)vA；5A1=K11二5)(：6)-1卜口_gg,...(n—5)(n—6)=90,，n=15或n=-4(舍).9第12頁，共152頁題型三：證明排列數(shù)恒等式例3(1)求證：A'=A：+mA『(mKn)；TOC\o"1-5"\h\z(2)求證：彳 \7二-1 7 ］?(n+1)!n(n!(n+l)J［證明］(1)證法一：A二+mA：T=n(n—l)???(n—m+l)+m?n(n—l)???(n—m+2)=n(n—l)---(n-m+2)［(n-m+l)+m］=(n-H)n(nT)???(n-m+4=丁一AmAm-in! n!n!［(n-m+l)+m］(n+1)! .m證法一An+mAn + 心證法三：(構(gòu)造法)設(shè)從n+1個(gè)不同元素外,a2,-,a-i中取出m個(gè)不同元素的排列數(shù)為A3,則其可分為兩類，一類是不含跖的排列共有A：,另一類是含力的排列，先排列為的位置有機(jī)種，再從剩余的〃個(gè)元素中選出m-l個(gè)元素排在剩余的m-l個(gè)位置有種，此類共有mA,種，由分類計(jì)數(shù)原理可知等式A*=Ar+mAr'成立.(2)右邊工,一二二=_［勺+1)「=左邊,所以原等式成立.n|_n!(n+l)Jn(n+1)(n+1)探究3(1)正確運(yùn)用排列數(shù)公式是順利進(jìn)行推進(jìn)運(yùn)算的關(guān)鍵.(2)類似等式n-n!=(n+l)!-n!你會(huì)運(yùn)用與證明嗎？【練習(xí)3】1!+2,2!+3,3!+-,,+n-n!—(n+1)!_.［答案］1［解析］原式=(2!-1!)+(3!-2!)+…+［(n+1)!-n!］=(n+l)!-1.題型四：排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用例4(1)10個(gè)人走進(jìn)只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一個(gè)人，則共有多少種不同的坐法？(2)6個(gè)人走進(jìn)放有10把不同椅子的屋子，每個(gè)人必須且只能坐一把椅子，則共有多少種不同的坐法？［解析］(1)坐在椅子上的6個(gè)人是走進(jìn)屋子的10個(gè)人中的任意6個(gè)人.若我們把人抽象地看成元素，將6把椅子當(dāng)成6個(gè)不同的位置，則原問題使抽象為：從10個(gè)元素中任取6個(gè)元素占據(jù)6個(gè)不同的位置，顯然是從10個(gè)元素中任取6個(gè)元素的排列問題，可見，共有A；0=151200種坐法.(2)同(1)恰好相反，被坐的6把椅子是10把中的任意6把.將椅子看成元素，6個(gè)人看成6個(gè)不同的位置，本質(zhì)上與(1)相同，這種看法顯然同生活中的看法截然相反，它正說明了排列中“元素”和"位置'’的相對(duì)性.本題也有A：o=151200種坐法.探究本例為排列提供了一個(gè)易于操作的(占位)模型：〃個(gè)不同的元素去占據(jù)m個(gè)不同的位置，若nNm且每個(gè)位置只占(排)一個(gè)元素，則有A：種不同的占(排)法；若n<m且每元素只占一個(gè)位置，則有A二種不同的占(排)法.【練習(xí)4】（1）①4種不同蔬菜種植在3塊不同土質(zhì)的田地里，每塊田地種一種蔬菜，共有種不同種法.②3種不同蔬菜種植在4塊不同的田地里，每種蔬菜種一塊地，共有種不同種法.［答案］①A：=24②A：=24（2）從1,2,3,4中，任取兩個(gè)不同數(shù)字組成平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則組成不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.4 C.12 D.24［答案］C［課后鞏固］ 完成課時(shí)作業(yè)（167）17.2.2排列(第二課時(shí))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】重點(diǎn)：用排列知識(shí)解決實(shí)際問題.【要點(diǎn)整合】.某些元素要求相鄰的問題，常用“捆綁”的辦法：把相鄰或要求在一起的元素捆在一起看成一個(gè)元素與其他元素排列；然后再松綁，即內(nèi)部再排列..某些元素要求不相鄰的問題，常用“插空”的辦法：即先排其他元素，然后在其形成的空位中選出空位排要求不相鄰的元素..部分元素順序一定的問題可用“消序法”：〃個(gè)元素全排列有A：種順序，若其中6個(gè)元素之間順序一定，則只有順序.Am"in.在復(fù)雜的排列問題中，一般不是一下子就將全部元素排好，而是分步排列有限制要求的元素或位置，再用分步計(jì)數(shù)原理求解.【典例講練】題型一：捆綁法例1(1)4名男同學(xué)，3名女同學(xué)站成一排.①3名女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？②甲、乙兩同學(xué)之間恰有3人，有多少種不同的排法？⑵用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中2和3相鄰的五位偶數(shù)有多少個(gè)？(3)某單位有7個(gè)連在一起的停車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的乍需要停放，如果要求剩余的4個(gè)空車位連在一起，那么不同的停放方法有()A.16種 B.18種 C.24種 D.32種［答案］⑴①720②720(2)18(3)C［解析J(l)①3名女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排好，共有A；種排法，由于3名女同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體再與男同學(xué)一起排隊(duì)，這時(shí)是5個(gè)元素的全排列，應(yīng)有A；種排列，由分步計(jì)數(shù)原理可得，有A；A；=720種不同排法.②分步進(jìn)行，首先將甲、乙兩人排好，有A；種排法，再從余下的5人中選3人排在甲、乙二人中間，有A；種排法，這時(shí)把已排好的5人視為一個(gè)整體，與最后剩下的2人再排，即看作3個(gè)元素的全排列，又有A；種排法，這樣，由分步計(jì)數(shù)原理總共有A；A：A；=720種不同排法.(2)分兩類：①形如XXX32的五位數(shù)有A；=6個(gè)，12第15頁，共152頁②形如xxxx4的五位數(shù)有A；?A；=12個(gè)，由分類計(jì)數(shù)原理知共有6+12=18個(gè).(3)4個(gè)空位連在一起，看成1個(gè)元素，與3輛不同型號(hào)的車進(jìn)行全排列有A：=24種不同放車方法.探究1元素相鄰(或在一起)形成小集團(tuán)就用捆綁法.注意先捆后排！【練習(xí)1】(1)四對(duì)夫妻坐一排照相，每對(duì)夫妻都不能隔開坐，則不同的坐法種數(shù)為.［解析］四對(duì)夫妻看成四個(gè)"元素''有A：種排法，每對(duì)夫妻有2種排法，故其有A：-24=384種.(2)計(jì)劃在某畫展展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國(guó)畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有( )A.A：A；種 B.A；A：A；種 C.3A；A；種 D.A；A：A；種［解析］先考慮特殊元素的特殊位置.由題意4幅油畫的不同陳列方式有A：種，5幅國(guó)畫的不同陳列方式有A；種，-一幅水彩畫只能陳列在中間位置，這樣油畫和國(guó)畫的陳列方式又有工彳種.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，畫展的不同陳列方式有A；A：A；種，故選D.題型二：插空法例2(1)4名男同學(xué)，3名女同學(xué)站成一排，①任何兩名女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？②甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(2)用1,2,3,4,567,8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個(gè).(用數(shù)字作答)(3)有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有種.［答案］⑴①1440②960(2)576(3)72［解析］(1)①先將男生排好，共有A：種排法，再在這4名男生中間及兩頭的5個(gè)空位中插入3個(gè)女生有A；種方案，故符合條件的排法共有A：A；=1440種不同排法.②先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A：種排法：由于甲、乙要相鄰，故再將甲、乙連在一起排好，有A；種排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體及丙兩個(gè)元素分別插入原先排好的4人的空格位置中有A；種排法，因此，這樣一共有A：A；A；=960種不同排法.(2)相鄰捆綁，不相鄰插空，八位數(shù)共有A：A：A；A；A；=576.(3)6個(gè)座位3人就坐，有3個(gè)空位.3人坐成一排有A；種不同坐法，且形成4個(gè)空，將兩個(gè)相連的空位看成一個(gè)大空位，把這個(gè)大空位及另一個(gè)空位插入上述4個(gè)空中有A：種，所以共有A；A：=72種.探究2(1)不相鄰則插空.(2)要恰當(dāng)?shù)睦斫忸}意，如恰有兩個(gè)空位相鄰，其實(shí)質(zhì)就是這相鄰的兩個(gè)空位與另一個(gè)空位不相郃！13第16頁，共152頁【練習(xí)2】(1)6人排成一排，甲、乙不相鄰的排法有種.［解析］另外4人排成一排有A：種排法，且形成5個(gè)空，從中選2個(gè)排甲、乙有A；種排法，故共有A：A；=480種.(2)2個(gè)男生和4個(gè)女生排成一排，其中男生既不相鄰也不排兩端的不同的排法有()A.A：A；種 B.A：A：種 C.A；A：種 D.A；A：種［解析］先排4個(gè)女生有A：種排法，然后讓2個(gè)男生插入中間三個(gè)空中的兩個(gè)位置有A；種排法.據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知選A.題型三：消序法例3(1)男生4名，女生3名排成一排，若三名女生從左至右順序一定(不一定相鄰)，則有種不同的排法.(2)4,B,C,D,E五人并排站成一排，如果8必須站在/的右邊(/、8可以不相鄰)，那么不同的排法共有種.［答案］⑴840(2)60［解析］(1)方法一：在7個(gè)位置［二任意排列7名學(xué)生，有排法A；種，由于女生的順序一定，而在力彳中每一種情況均以A；計(jì)算，故三名女生順廣一定的排法有會(huì)■=840種.方法二：在7個(gè)位置上任選4個(gè)位置排4名男生，剩下的3個(gè)位置三個(gè)女生按規(guī)定順序?qū)μ?hào)入座即可，故三名女生順序一定的排法有A；種.aS(2)五人并排站成一排有A：種排法，AB排列有A；種排法，故B必須站在A的右邊的排法有m=60種.探究3(1)此類題目也可采用元素分析法.如①中把4名男生看成特殊元素，從7個(gè)位置中選4人先排男生有A；種，再排女生只有1種方法.共有A；J=840種：②中A；」=60種.(2)自己寫出此類題目的解題規(guī)律.【練習(xí)3】八個(gè)人排一縱隊(duì)，甲在乙的前面(可以與乙不相鄰)，乙在丙的前面(可以與丙不相鄰)，則這樣的排法共有種(用數(shù)字做答).［解析］八個(gè)人去掉甲、乙、丙后的排法有A；種，再排甲、乙、丙只有一種排法，所以滿足題意的排法共有A；=8x7x6x5x4=672(^.題型四：一題多解例4書架上原來擺放著6本書，現(xiàn)要再插入3本書，則不同插法的種數(shù)為()A.A；種 B.A：種 C.9x8x7種 D.2A；種14第17頁，共152頁［解析］方法1：9本書排成一排，相當(dāng)于9個(gè)位置，原來6本書順序不變，故此題相當(dāng)于在9個(gè)位置中選3個(gè)排后來的3本書，有A；種排法，而原來的6本書只有一種排法，故共有Ajxl=A：=9x8x7種方法.方法2：因?yàn)橐迦?本書，故分三步，第一步，插第一本書有7種方法；第二步，插第二本書，有8種方法：第三步，插第三本書，有9種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有7x8x9種方法.方法3：9本書排成一排有A；種排法，原6本書若排列則有A：種排法，A9故符合題意的插法有T= =9x8x7.a6,八6探究4（I）相鄰則捆綁：先捆后松.（2）不相鄰則插空：先排后插.（3）順序已定則消序：先排后除.【練習(xí)4】（1）6人站成一排，其中甲、乙不相鄰的站法有種.［解析］法1：（插空法）A：?A；=480.法2：（去雜法）A：-A1A；=480.2 2（2）設(shè)橢圓±+匕=1,其中a,be{1,2,3,4,51,且橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則這樣的橢圓有 個(gè).ab［解析］焦點(diǎn)在x軸上，則a>b,方法1：利用分類計(jì)數(shù)原理得共有4+3+2+1=10個(gè).A2方法2：（消序法）一年=10.A2【練習(xí)5］用0,123,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的（1）六位奇數(shù)：（2）個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù).［解析］（1）解法一（從特殊位置入手）分三步完成，第一步先填個(gè)位，有A；種填法，第二步再填十萬位，有A：種填法，第三步填其他位，有A：種填法，故共有A；A；A：=288個(gè)六位奇數(shù).解法二（從特殊元素入手）0不在兩端有A；種排法，從135中任選一個(gè)排在個(gè)位有A；種排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有力4種排法，故共有A：A；A：=288個(gè)六位奇數(shù).解法三（排除法）6個(gè)數(shù)字的全排列有A：個(gè)，0,2,4在個(gè)位上的排列數(shù)為3Al個(gè)，1,3,5在個(gè)位上，。在十萬位上的排列數(shù)有3A：個(gè)，故對(duì)應(yīng)的六位奇數(shù)的排列數(shù)為A：-3A；-3A：=288個(gè).（2）解法一（排除法）0在十萬位和5在個(gè)位的排列都不對(duì)應(yīng)符合題意的六位數(shù).故符合題意的六位數(shù)共有A：-2A；+A：=504個(gè).解法二（直接法）個(gè)位不排5,有A：種排法，但十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同.因此需分兩類.第一類：當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有A；個(gè).第二類：當(dāng)個(gè)位不排。時(shí)，有A；A；A：個(gè).故共有符合題意的六位數(shù)A"A：A：A：=504個(gè).【課后鞏固】?完成課時(shí)作業(yè)（168）【課后鞏固】17.3組合組合(第一課時(shí))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解組合的概念..能根據(jù)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式..能用組合知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題..根據(jù)實(shí)際問題的特征，正確區(qū)分“排列”或“組合”.重點(diǎn)：組合的概念；組合數(shù)公式的推導(dǎo)：應(yīng)用組合知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.難點(diǎn)：組合數(shù)公式的推導(dǎo)，根據(jù)實(shí)際問題的特征，正確區(qū)分“排列”或“組合【要點(diǎn)整合】.組合及組合數(shù)的概念(1)組合：一般地，從”個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素合成一組,叫做從"個(gè)不同元素中取出膽個(gè)元素的一個(gè)組合.(2)組合數(shù)：從〃個(gè)不同元素中取出m(mVn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C二表示..組合數(shù)公式及其性質(zhì)公式展開式心_A：_n(n-lXn-2)---(n-m+l)CnA：' "階乘式煩=n!11 m!(n-m)!性質(zhì)性質(zhì)1Qm_Qn-m性質(zhì)2C：+1=C；+C「規(guī)定c：=i［注］1.組合的概念(1)如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管它們的順序如何都是相同的組合.組合的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素"；二是''合成一組”，“合成一組”即表示與順序無關(guān).(2)若兩個(gè)組合中的元素不完全相同(即使只有一個(gè)元素不同)，則是不同的組合.例如從a、b、c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合有3個(gè)，它們分別是ab、ac、be.其中ba、ab是相同的組合，而ab、ac是不同的組合.(3)組合與排列問題的共同點(diǎn)是都要“從”個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素”；不同點(diǎn)是前者是“不管順序合成一組“，而后都者要“按照一定順序排成一列.區(qū)分排列問題、組合問題：前者是從〃個(gè)不同元素中選取m個(gè)不同元素后，還要按照一定的順序排成一列，而后者只要從〃個(gè)不同元素中選取m個(gè)不同的元素合成一組，所以區(qū)分某一問題是排列還是組合，關(guān)犍看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果都沒有影響，則是組合問題..組合數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)性質(zhì)(1)組合數(shù)符號(hào)表示為C；,如從4個(gè)不同元素取出3個(gè)元素的組合數(shù)為C：：(2)“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，組合是指“從"個(gè)不同的元素中，任取m(m4n)個(gè)元素合成一組”,它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事：組合數(shù)是指從"個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù)：(3)組合數(shù)公式是在加，neN',且m4〃時(shí)成立：rP(4)當(dāng)加、〃數(shù)值較大或含有字母的組合數(shù)式進(jìn)行變形論證時(shí)，利用公式C：=/ 、解題較方便;(5)C：=1是一種規(guī)定，不能用組合數(shù)定義解擇：(6)計(jì)算組合數(shù)時(shí)，特別是加較大時(shí)，注意利用公式C：=C，m轉(zhuǎn)化.【典例講練】題型一：組合的概念例I判斷下列問題是不是組合問題？(1)從10人中選4人①參加座談會(huì)：②分赴四地搞調(diào)查.(2)從1,2,345,6中任取兩數(shù)①構(gòu)成對(duì)數(shù)或指數(shù)； ②相加或相乘.(3)三個(gè)人互相①握手： ②送禮品.(4)由正四面體4個(gè)頂點(diǎn)①可形成多少個(gè)向量； ②形成多少對(duì)異面直線.［答案］(1)中①是②不是(2)中①不是②是(3)中①是②不是(4)中①不是②是探究1對(duì)于概念題，絕不能含糊，要嚴(yán)扣定義，緊抓本質(zhì)，有序排列，無序組合！【練習(xí)1】判斷下列各事件是排列問題，還是組合問題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).(1)10個(gè)人相互各寫一封信，共寫了多少封信？(2)10個(gè)人規(guī)定相互通一次電話，共通了多少次電話？(3)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)次？(4)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽，這次比賽冠亞軍獲得者有多少種可能？(5)從10個(gè)人里選3個(gè)代表去開會(huì)，有多少種選法？(6)從10個(gè)人里選出3個(gè)不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？［解析］(1)是排列問題，因?yàn)榘l(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的.排列數(shù)為=90(種).(2)是組合問題，因?yàn)榧着c乙通一次電話即乙與甲通一次電話，沒有順序的區(qū)別.組合數(shù)為C；o=45(種).(3)是組合問題，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別.組合數(shù)為=45(種).(4)是排列問題，因?yàn)榧钻?duì)得冠軍、乙隊(duì)得亞軍與甲隊(duì)得亞軍、乙隊(duì)得冠軍是不一樣的，是有順序區(qū)別的.排列數(shù)為A：o=9O(種).又〃gN',；.又〃gN',；.〃=10.即/(〃)定義域?yàn)閧10}.(2)由題設(shè)不等式，得10!10!10!(n-3)(13-n)!(n-2X12-n)<(n-lXll-n)!,(5)是組合問題.因?yàn)槿齻€(gè)代表之間沒有順序的區(qū)別.組合數(shù)為C；0=120(種).(6)是排列問題.因?yàn)槿齻€(gè)人中，擔(dān)任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的.排列數(shù)為A：0=720(種).題型二：組合數(shù)公式例2(1)求函數(shù)/(〃)=《："+C，”的定義域；(2)解不等式:C；j<CW<C。.［解析］(1)由題意知，原式中的自然數(shù)"必須滿足不等式組□o 21 38 91由①得—WW38,由②得04〃K—.— —,13化簡(jiǎn)得〃一2<13—〃且〃一Iv12一〃，解得n<萬.又由題設(shè)知3411,???〃=3,4,5,6.，原不等式的解集為{3,4,5,6}.探究2在涉及C二時(shí)，要充分運(yùn)用(或要時(shí)刻注意)m4〃且加，〃wN?來解題.【練習(xí)2】【練習(xí)2】(1)計(jì)算C：。： (2)證明：C：—c：.,n-m1 1 7⑶己知萬一方=命一求C；的值.［解析］⑴C：0=乎誓=120.3x2x1(n-l>n!n-mm!(n-m-l)!m!(n-m)!Cmn，(n-l>n!n-mm!(n-m-l)!m!(n-m)!Cmn，?/^mn廠1m??Cji=CnT?

n-m(3)由組合數(shù)公式，可得n!(5-n)!n!(6-n)_7n!(7-n)i5!6! 10 7!化簡(jiǎn)得〃2—23〃+42=0.，〃=21或/?=2.:〃<5,:.n=2.：.C；=Cg=28.探窕計(jì)算C：時(shí)常用公式C：=n(n-l)(n-2)---(n-m+1)證明與c：有關(guān)的問題時(shí)常用公式c：=n!題型三：組合數(shù)的性質(zhì)I的應(yīng)用例3(1)例3(1)解方程組，［:'st⑵解不等式2牖<3。3［解析］(1):C：=C」，y=2y^,y=x-2y.^y=2y,貝卯=0,y—l<0,不合題意，舍去.y=x-2y,即x=3y,^A3C；+,=11C；-1,得3c￡=11C針,18第21頁，共152頁即3?彳 ^7^——r=11，7 ——r1化簡(jiǎn)得y2—5y=Q.>^=0(舍)或y=5,x=l5.x=15???方程組的解《J=5(2月2之<3以，.??2圓<3。3即2x"歲p<3x/羋.①1x2x3 1x2vx+1>3,x>2>.\(x+l)x>0.o 11①式兩邊同除以(x+l)x,得X—1<-,;.x<—..?.尸2,3,4,5.即不等式的解集為{2,3,4,5}.【練習(xí)3】⑴C；+C；=；⑵+聶二：=.［答案］⑴45(2)65(3)已知x,yeN',且C：=C；,則x,y的關(guān)系是()A.x=y B.y=n~x C.x=y或x+尸〃 D.x>y［答案］C［解析］當(dāng)x=y時(shí)顯然成立：因?yàn)镃：=C："，故有〃-x="得x+y=〃.題型四：組合數(shù)的性質(zhì)2的應(yīng)用例4⑴求和：G+C+c"…+C>⑵證明：［解析］⑴方法1原式=C；+(C：—C?)+(C：—C；)+…+(C：O1—G1)=C*=166650.方法2原式=C；+C；+C：+C；+…+C篇=c；+c；+《+???+仁：=C；+C；+…+C篇h..=C：；1=C：O1=166650.方法3原式=《+&+《+《+???+%)=《+《+(：；+..?+/=C；+C；+…+C：0c=???=CM=166650.⑵左式=C3+C3+c1+…+CM3=c>+C3+…+c：;L=-=c：;L>+c：;L=Cn+m=右式?探究3(1)c?,=c?+C：-'?C：-1=c：+1-c：；(2)c；=c；=c；=-=c：；(3)公式的靈活運(yùn)用，體現(xiàn)了思維的靈活性.【練習(xí)4】⑴計(jì)算①C；+C；+C：+C；+C：： ②C；+C：+C；+C；+Cj+C：o；(2)計(jì)算嚙+哪+C如［答案］⑴①21②462(2)原式=C器+C界=C黑=C；02=67331650.［課后鞏固］ 完成課時(shí)作業(yè)(169)第22頁，共152頁17.3.2組合(第二課時(shí))【要點(diǎn)整合】.解組合應(yīng)用題的總體思路(1)考查順序：區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序''與"無序”，無序問題用組合解答，有序問題屬排列問題.(2)整體分類：對(duì)事件進(jìn)行整體分類，從集合的意義講，分類要做到各類的并集等于全集.計(jì)算結(jié)果時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理.(3)局部分步：整體分類以后，對(duì)每一類進(jìn)行局部分步，分步要做到步驟連續(xù)且獨(dú)立，計(jì)算每一類相應(yīng)結(jié)果時(shí)使用分步計(jì)數(shù)原理..組合問題常見類型及解題思路(1)無條件限制的組合應(yīng)用題.其解題步驟：①判斷：②轉(zhuǎn)化；③求值；④作答.(2)有限制條件的組合應(yīng)用題.①”含，，與”不含，，問題，其解題思路是將限制條件視為②“至多”與“至少”問題這類問題通常采用排除法，也可以用直接法.③幾何中的計(jì)算問題在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決.特殊元素和特殊位置.一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法.解題時(shí)要注意分清“有且僅有“、“至多"、“至少”、"全是”、“都不是”、“不都是，，等詞語的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn).【典例講練】題型一：簡(jiǎn)單的組合問題例1現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？［解析］本問題中選出的教師不需要考慮順序，因此是組合問題.第(1)小題選2名教師不考慮男女，實(shí)質(zhì)上是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的組合問題，可用直接法求解.第(2)小題必須選男、女教師各2名，才算完成所做的事，因此需要分兩步進(jìn)行，先從6名男教師中選2名，再從4名女教師中選2名，由基本原理，可用直接法求解.(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法數(shù)，就是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即C2-C2-eio一10x92x1=45種.(2)從6名男教師中選2名的選法有C；種，從4名女教師中選2名的選法有C：種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,6x54x3因此共有不同的選法c>C；=—?--=90種.2x12x1探究1解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于：排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)，只要元素相同即可，只有當(dāng)它能構(gòu)成組合模型時(shí)，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其種數(shù)：其次要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用，在運(yùn)用分類和分步時(shí)，一定要注意有無重復(fù)和遺漏.【練習(xí)I】一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽.按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人.問：(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？(2)如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？［解析］(1)由于上場(chǎng)學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案有C：；=12376(種).(2)教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出11人組成上場(chǎng)小組，共有C：；種選法；第2步，從選出的11人中選出1名守門員，共有C'種選法.所以教練員做這件事情的方法數(shù)有=136136種.題型二：有限制條件的組合問題例2在我國(guó)武漢抗擊新冠疫情戰(zhàn)斗中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴抗疫前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是呼吸科專家.問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是呼吸科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名呼吸科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名呼吸科專家的抽調(diào)方法有多少種？［解析)(1)分步：首先從4名呼吸科專家中任選2名，有C：種選法，再從除呼吸科專家的6人中選取4人,有C：種選法，所以共有C，C：=90種抽調(diào)方法.(2)”至少，，的含義是不低于，有兩種解答方法，方法一(直接法)：按選取的呼吸科專家的人數(shù)分類：①選2名呼吸科專家，共有C，C：種選法；②選3名呼吸科專家，共有C：C：種選法；③選4名呼吸科專家，共有種選法：共有C，C：+C：?C：+C：?或=185種抽調(diào)方法.方法二(間接法)：不考慮是否有呼吸科專家，共有種選法，考慮選取1名呼吸科專家參加，有C［C：種選法：沒有呼吸科專家參加，有C；種選法，所以共有：C：o-C］C：-C：=185種抽調(diào)方法.(3)“至多2名”包括“沒有”、"有1名”、“有2名”三種情況，分類解答.①?zèng)]有呼吸科專家參加，有C：種選法；②有I名呼吸科專家參加，有種選法：③有2名呼吸科專家參加，有種選法.所以共有C：+C； =115種抽調(diào)方法.探究2解答有限制條件的組合問題的基本方法是“直接法''和"間接法(排除法)”.其中用直接法求解時(shí)，則應(yīng)堅(jiān)持“特殊元素優(yōu)先選取”的原則，優(yōu)先安排特殊元素的選取，再安排其他元素的選取.而選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問題分類較多、較復(fù)雜或計(jì)算量較大，不妨從反面問題入手，試一試看21第24頁，共152頁是否簡(jiǎn)捷，特別是涉及“至多至少''等組合問題時(shí)更是如此.此時(shí)正確理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等詞語的確切含義是解決這些組合問題的關(guān)鍵.【練習(xí)2】課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊(duì)長(zhǎng).現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選：(5)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選.［解析］(1)一名女生，四名男生.故共有C［-C：=35()種.(2)將兩名隊(duì)長(zhǎng)作為一類，其他11人作為?類，故共有=165種.(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩類：只有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng).故共有：C］C：+C］C\=825種，或采用排除法：C，-=825種.(4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生.故選法為C；?C；+C；?C；+C；=686種.(5)分兩類：第一類女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選：Cl；第二類女隊(duì)長(zhǎng)不當(dāng)選：C>C；+C，C；+C：故選法共有：C：2+C；+C：+C：+C：=790種.題型三：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題例3(1)四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為人從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)力在同一平面上，有多少種不同的取法？(2)四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法.TOC\o"1-5"\h\z［解析］(1)(直接法)如圖，含頂點(diǎn)工的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)/外都有5個(gè)點(diǎn)， a從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)/共面共有3C；種取法；含頂點(diǎn)4的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，B--以'--D它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法. Z根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)/共面三點(diǎn)的取法有3C；+3=33種. c(2)(間接法)如圖，從10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有C：0種，除去4點(diǎn)共面的取法種數(shù)可以得到結(jié)果.從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)取出的4點(diǎn)必定共面.有4C：=60(種)，四面體的每一棱上3點(diǎn)與相對(duì)棱中點(diǎn)共面,共有6種共面情況，從6條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面情形(對(duì)棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分)，故4點(diǎn)不共面的取法為：C：。-(60+6+3)=141(種).探究3利用組合知識(shí)解決與幾何有關(guān)的問題時(shí)要注意：(1)將已知條件中的元素的特征搞清，是用直接法還是用間接法；(2)要使用分類方法，至于怎樣確定分類標(biāo)準(zhǔn)，要具體問題具體分析；第25頁，共152頁（3）常用間接法解決該類問題.【練習(xí)3】在NMQN的邊上有5個(gè)異于。點(diǎn)的點(diǎn)，ON上有4個(gè)異于。點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)（含。）為頂點(diǎn)，可以得到多少個(gè)三角形？［解析］方法一（直接法）分幾種情況考慮：以O(shè)為頂點(diǎn)的三角形中，另外兩個(gè)頂點(diǎn)必須分別在OM、ON上,所以有C〉C：個(gè)；。不為頂點(diǎn)的三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)在上，一個(gè)頂點(diǎn)在ON上的有個(gè)，一個(gè)頂點(diǎn)在上，兩個(gè)頂點(diǎn)在ON上的有C［C；個(gè).因?yàn)檫@是分類問題，所以用分類計(jì)數(shù)原理，共有C，C+C；C+C：C=5X4+10X4+5X6=90個(gè).方法二（間接法）先不考慮共線頂點(diǎn)的問題，從10個(gè)不同元素中任取3個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)是C；o,但其中上的6個(gè)點(diǎn)（含。）中任取3個(gè)點(diǎn)不能得到三角形，ON上的5個(gè)點(diǎn)（含O）中任取3個(gè)點(diǎn)也不能得到三角形，所以共可以得到C：。一C：一C；.即C：。一C：-C；=120-20-10=90個(gè).方法三也可以這樣考慮，把O看成是邊上的點(diǎn)，先從上的6個(gè)點(diǎn)（含。）中取兩點(diǎn)，ON上的4點(diǎn)（不含。）中取兩點(diǎn)，C〉C：個(gè)三角形，再從OM上的5點(diǎn)（不含O）中取一點(diǎn)，從ON上的4點(diǎn)（不含。）中取兩點(diǎn)，可得個(gè)三角形，所以共有C〉C；+C；C=15x4+5x6=90個(gè).例4有7個(gè)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名額,要分給4所學(xué)校，每校至少一個(gè)名額，有多少種不同的名額分配方法？［解析］可以看成7個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1至4的4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球，共有多少中放法？現(xiàn)把7個(gè)小球從左至右一字排開，然后在小球之間的6個(gè)空中選出3個(gè)空插入隔板，如下圖所示：7個(gè)小球被分成了從左至右1,2,3,1的4堆，然后把從左邊數(shù)第?堆放入1號(hào)盒子，第二堆放入2號(hào)盒子，依此類推…，這樣每有一種插入隔板的方法，就對(duì)應(yīng)一種分配小球的方案。OIOOIOOOIO23412341所以共有C：=20種分配方法?！揪毩?xí)4】已知方程：a+b+c+d=10,則該方程（1）有多少組正整數(shù)解？（2）有多少組自然數(shù)解？［解析］（1）可以看成把10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1至4的4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球。所以共有C；=84組正整數(shù)解（2）可以看成把10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1至4的4個(gè)盒子中，盒子可空。小球數(shù)和隔板數(shù)共13個(gè),可以先從左至右一字排開放置13個(gè)小球，然后從這13個(gè)小球中選出3個(gè)小球換成隔板，共有C\=286換法，這樣每一種放置隔板的方法，就對(duì)應(yīng)一種分配小球的方案，而且保證了盒子可空；所以共有C1=286組自然數(shù)解.［課后鞏固］ 完成課時(shí)作業(yè)（170）23第26頁，共152頁17.4排列與組合的應(yīng)用【要點(diǎn)整合】1.解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下幾種途徑(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素：(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置：(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù).2.掌握典型題型的技巧解法(1)相鄰問題——捆綁法：(2)相離問題——插空法；(3)多元問題——分類法；(4)標(biāo)號(hào)排位問題——分步法；(5)定序問題——消序法；(6)多排問題——單排法；(7)至少問題——間接法；(8)選排問題——先取后排法；(9)組排問題——先組后排法.3.處理排列組合問題的總原則(1)弄清事件的情景：首先搞清有無“順序”要求，若布?則用A：,反之用C，：其次弄清目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，是分步達(dá)到的，還是分類達(dá)到的，從而正確選用計(jì)數(shù)原理，一個(gè)復(fù)雜問題往往是分類與分步交織在一起的：最后看一下元素可否重復(fù).(2)掌握“雙向”解題途徑，即“正面湊”與“反過來剔”，一道題目“正面湊”繁，"反面剔”則簡(jiǎn)，反之亦然.(3)重視一題多解，通過一題多解積累解題方法，提高分析能力，同時(shí)它也是重要的檢驗(yàn)方法.【典例講練】題型一：排列組合的綜合問題例1從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字，從024,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求其中能被5整除的四位數(shù)的個(gè)數(shù).［解析］符合條件的四位數(shù)的個(gè)位必須是0,5,但。不能排在首位，故0是其中的特殊元素，應(yīng)優(yōu)先安排，按照0排在個(gè)位，0排在十、百位和不含0為標(biāo)準(zhǔn)分為三類：@O排在個(gè)位，能被5整除的四位數(shù)有A；C：C：A；=144個(gè)；②0排在十、百位，但5必須排在個(gè)位有A；A；C；C；A；=48個(gè)：③不含0,但5必須排在個(gè)位有A；C：C；A；=C8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得所求的四位數(shù)共有300個(gè).探究I本例采取先特殊(特殊元素、特殊位置)，再一般的解題思路.【練習(xí)11用0,123,4,5這六個(gè)數(shù)字，（1）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；（2）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)；（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的能被5整除的五位數(shù).［解析］（1）方法1：（直接法）從123,4,5這五個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)作首位，有C1種：余下的5個(gè)數(shù)字可排在后四位中的任何一個(gè)位置，有A；種，由分步計(jì)數(shù)原理，共有C：A；=600個(gè).方法2：（間接法）不考慮任何限制，共有A：種，而。作首位時(shí)，有A：種，故適合題意的數(shù)字個(gè)數(shù)為A：-A；=600個(gè).（2）一個(gè)數(shù)是否為奇數(shù)取決于個(gè)位數(shù)字，所以個(gè)位為特殊位置，又0不能排在首位，所以0為特殊數(shù)字，應(yīng)優(yōu)先考慮，有C；C：A：=288個(gè).（3）能被5整除的五位數(shù)，則個(gè)位數(shù)字是0或5.當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共有A；個(gè)：當(dāng)個(gè)位數(shù)字是5時(shí)，共有C；A：個(gè)，由分類計(jì)數(shù)原理，適合;題意的數(shù)字共有A；+C；A：=216個(gè).例2從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4名參加4x100米接力賽，如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方案有（）A.180種 B.240種 C.300種 D.360種［解析］分三種：（1）甲、乙都不參加，有A：=24（種）.（2）甲、乙僅有1人參加，有C；C；A：=144（種）.（3）甲、乙都參加有A；A：=72（種），由分類計(jì)數(shù)原理，所以共有24+144+72=240（種），故8對(duì).探究2本例采取先選后排的解題思路.【練習(xí)2】從a、b、c、d、e、/六個(gè)字母中每次取4個(gè)進(jìn)行排列，若每個(gè)排列都含有a、b,且a在6前的排列有多少個(gè)？［解析］方法一第一步，在四個(gè)位置中任選兩個(gè)作為a、b的位置，因。在6前，順序一定，故是組合，方法應(yīng)有C：=6.第二步，在余下的兩個(gè)位置由除。、b外的另四個(gè)元素來排，因?yàn)橛形恢庙樞虻囊?，故是排列問題，排法為A：=12種，由乘法原理得排法應(yīng)有C，A：=72種.方法二第一步，從c、d、e、/中任選出兩個(gè)元素來，選法為C1第二步，把選出的兩個(gè)元素排在四個(gè)位置上的任意兩個(gè)上，排法為A；,此時(shí)余下的兩個(gè)位置即是a在前6在后的位置，只有一種選法，由乘法原理得C>A；=72種.方法三第一步，從c、d、e、/中選出兩個(gè)元素來，選法為C：種.第二步，將a、6與第一步選出的兩個(gè)元素共四個(gè)元素排在四個(gè)不同的位置上，共有A：=24種排法，又。應(yīng)在b前，應(yīng)除以2,故得排法為工C>A：=72種.2題型二：排列、組合的綜合應(yīng)用例3有五張卡片，它們的正、反面分別寫著0與1,2與3,4與5,6與7,8與9,將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？［解析］方法一（直接法）從0與1兩個(gè)特殊值著眼，可分三類：（1）取0不取1,可先從另四張卡片中選一張作百位，有C；種選法；0可在后兩位，有C；種方法；最后剩下的三張中任取一張，有C；種方法；又除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，故此時(shí)可得不同的三位數(shù)有C；C；C；22（個(gè)）.（2）取1不取0,同上分析可得不同的三位數(shù)C〉A(chǔ)；（個(gè)）.（3）0和I都不取，有不同的三位數(shù)（個(gè)）.綜上所述，共有不同的三位數(shù)：C：C；C22+C，22?A；+C："A；=432（個(gè)）.方法二（間接法）任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C〉23.A；（個(gè)），其中0在百位的有C12?.A；（個(gè)）,這是不合題意的，故共有不同的三位數(shù)：C123-A；-C122-A；=432（j）.探究3解排列組合的應(yīng)用題，要注意三點(diǎn)：（1）仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題：要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步.（2）深入分析，周密思考，分清是乘還是加，既不少也不多，多角度分析，全面考慮，提高邏輯推理能力.（3）對(duì)有附加條件的比較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡(jiǎn)單的基本問題，然后再用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理求解.【練習(xí)3］（1）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有（）A.70種 B.80種 C.100種 D.140種［解析］方法一（間接法）當(dāng)選擇的3名醫(yī)生都是男的或都是女的時(shí)候，共有C；+C：=14種方法，從9人中選擇3人一共有C；=84種方法，所以要求男，女都有，共有84—14=70種組隊(duì)方法.方法二（直接法）當(dāng)隊(duì)中有一名女醫(yī)生時(shí)，有C：C；=40種組法，當(dāng)隊(duì)中有2名女醫(yī)生時(shí)，有C；C：=30種組法，綜上，共有70種組隊(duì)方法.（2）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（ ）A.6種 B.12種 C.30種 D.36種［解析］甲、乙兩人從4門課程中各選修2門的選法共有C：xCj=36種，而甲、乙所選的課程中全部相同的選法共有C；=6種，所以甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有36—6=30種，選C.題型三：較復(fù)雜的排列組合問題例4有4個(gè)不同的球，四個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).（1）共有多少種做法？(2)恰有一個(gè)盒子不放球，有多少種放法？(3)恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球，有多少種放法？(4)恰有兩個(gè)盒子不放球，有多少種放法？［解析］(1)一個(gè)球一個(gè)球的放到盒子里去，每只球都可有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，放法共有4"=256(種).(2)為保證“恰有一個(gè)盒子不放球”，先從四個(gè)盒子中任意拿出去1個(gè)，即將4個(gè)球分成2,1,1的三組，有C2種分法：然后再從三個(gè)盒子中選一個(gè)放兩個(gè)球，其余兩個(gè)球，兩個(gè)盒子，全排列即可.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有放法C；?&?€：；仄；=144(種).(3)“恰有一個(gè)盒子內(nèi)放2個(gè)球”，即另外的三個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒.因此，“恰有一個(gè)盒子放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事.故也有144種放法.(4)先從四個(gè)盒子中任取兩個(gè)有C；種，問題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，兩個(gè)盒子，每盒必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)目看，可分為(3,1),(2,2)兩類.第一類:可從4個(gè)球中先選3個(gè)，然后放入指定的一個(gè)盒子中即可，有C［C；種放法；第二類：有C：種放法.因此共有C：?(：；+《=14(種).由分步乘法計(jì)數(shù)原理得“恰有兩個(gè)盒子不放球'’的放法有C；44=84(種).探窕I解排列組合問題的“16字方針”是：有序排列、無序組合；分類為加，分步為乘.【練習(xí)4】某單位安排7位員工在10月1口至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有( )A.504種 B.960種C.1008種 D.1108種［解析］依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有A；A：=1440種，其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班的方法共有=240利I滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在10月7日值班的方法有C；A；A：=240種；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有=48種，因此滿足題意的方法共有1440-2x240+48=1008種，選C.題型四：分組分配問題例5六本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？(1)一堆一本，一堆兩本，一堆三本：(2)甲得一本，乙得兩本，丙得三本；(3)一人得一本，一人得二本，一人得三本：(4)平均分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(5)平均分成三堆，每堆兩本.

［解析］(1)先在六本書中任取一本，作為一堆，有C：種取法；再從余下的五本書中任取兩本，作為一堆，有C；種取法；最后從余下的3本中取3本，作為一堆，有C：種取法，故共有C〉CrC=60種.(2)由(1)知，分成三堆的方法有c［crc；種，而每種分組方法，就對(duì)應(yīng)一種甲得一本，乙得兩本，丙得三本的一種分配方法.故甲得一本，乙得兩本，丙得三本的分法應(yīng)為C［CbC；=60種.(3)由(I)知，分成三堆的方法有C〉CbC；種，但每一種分組方法，又有A；種不同的分配方案，故一人得一本，一人得兩本，一人得3本的分法有C：C；C；A；=360種.(4)三個(gè)人一個(gè)一個(gè)地來取書，甲從6本不同的書本中任取2本的方法有C：種，甲不論用哪一種方法取得2本書后，乙再從余下的4本書中取2本有C；種方法，而甲、乙不論用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的兩本書中取兩本書，有C；種