對(duì)一道思考題及其“答案”的思考

對(duì)一道思考題及其“答案”的思考

人教版小學(xué)實(shí)驗(yàn)課本《數(shù)學(xué)》第六冊(cè)第１４４頁(yè)有這樣一道思考題：

“在釘子板上圍圖形。通過(guò)３個(gè)釘子可圍幾種不同的形狀？通過(guò)４個(gè)釘子可以圍幾種不同的形狀？”

（附圖{圖}）

對(duì)這道題，“教參”（人教版《小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊(cè)教師教學(xué)用書(shū)》）給的答案（下稱“參考答案”）是：

“通過(guò)３個(gè)釘子：三角形（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。其中可能有等腰三角形，但不可能?chē)龅冗吶切?。?/p>

通過(guò)４個(gè)釘子：四邊形（一般四邊形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形等。）

以上每種圖形，由于大小不同，可能會(huì)有很多，只要學(xué)生圍出即可?！?/p>

下面談一談，筆者對(duì)上述思考題及參考答案的幾點(diǎn)思考。

思考一參考答案對(duì)不對(duì)？

筆者認(rèn)為，參考答案是有毛病的。因?yàn)椋旱谝唬W(xué)三年級(jí)學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)“直（銳、鈍）角三角形”和“等腰（等邊）三角形”等概念（這些概念是四年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容）。因此他們是看不懂上述參考答案的。第二、參考答案對(duì)“不同的形狀”的含義有曲解之嫌。我們知道，形狀相同（或不同）的圖形一般是指相似（或不相似）的圖形，因此，對(duì)思考題所提“可以圍幾種不同的形狀”的問(wèn)題，就應(yīng)該理解為“可以圍幾種不相似的圖形”。而不應(yīng)該理解為“可以圍幾種不同類(lèi)別的圖形”（因?yàn)橥?lèi)別的圖形不一定同形狀。例如，圖１中的３個(gè)三角形是同屬“鈍角三角形”這一類(lèi)圖形的，但卻不相似即不同形狀）。容易看出，參考答案就是這后一種理解的產(chǎn)物，這樣的答案是難以令人置信的。第三、對(duì)思考題所提“可以圍幾種不同的形狀”的問(wèn)題，理當(dāng)以確切的數(shù)據(jù)給予回答，但參考答案最后卻以“可能會(huì)有很多”一言以蔽之，這也是不妥的。

思考二不同形狀知多少？

前述思考題是一個(gè)頗為復(fù)雜的問(wèn)題。下面我們來(lái)看，通過(guò)３個(gè)釘子可以圍幾種不同形狀即不相似的三角形。

為敘述方便，我們把釘子板上的釘子記為點(diǎn)Ａ［，ｉｊ］（下標(biāo)ｉ和ｊ分別為行序號(hào)和列序號(hào)，ｉ＝１，２，…６，ｊ＝１，２，…，６。如點(diǎn)Ａ［，３２］即表示位于第三行第二列的那個(gè)釘子），并把同行（列）相鄰兩點(diǎn)間距離設(shè)為“１”。

可以看出，所圍三角形可分為下列幾類(lèi)：

（Ⅰ）短邊長(zhǎng)為１的三角形

（附圖{圖}）

這類(lèi)三角形為數(shù)甚多是顯然的。我們關(guān)心的是：它們共有幾種不同的形狀？這可以通過(guò)尋找“代表”（每一種形狀找一個(gè)三角形充當(dāng)“代表”）的途徑來(lái)解決。這個(gè)尋找“代表”的工作是一項(xiàng)十分細(xì)致且設(shè)計(jì)性很強(qiáng)的工作（要保證所尋“代表”不漏不重）。此處，我們可以取以線段Ａ［，１１］Ａ［，２１］為邊、圖２中的任一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形為“代表”。容易看出，這樣的代表共有１０個(gè)，它們是互不相似即形狀互不相同的。并且，在短邊長(zhǎng)為１的這一類(lèi)三角形中，已不再存在形狀不同于這１０個(gè)“代表”的其它三角形了。由此可知，這類(lèi)三角形共有１０種不同的形狀。

（附圖{圖}）

在這類(lèi)三角形中，不同形狀的“代表”一共也能找到１０個(gè)（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１２］為邊、圖３中任一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形以及△Ａ［，２２］Ａ［，４１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２２］Ａ［，６１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２３］Ａ［，５１］Ａ［，１４］、△Ａ［，２４］Ａ［，６１］Ａ［，１５］）。因此，這類(lèi)三角形也有１０種不同的形狀。

（附圖{圖}）

在這類(lèi)三角形中，不同形狀的“代表”一共有１２個(gè)（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１３］為邊、圖４中任一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形以及△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］、△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，３１］Ａ［，２４］、△Ａ［，２４］Ａ［，４１］Ａ［，１６］）。因此，這類(lèi)三角形共有１２種不同的形狀。

（附圖{圖}）

在這類(lèi)三角形中，不同形狀的“代表”一共有７個(gè)（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１４］為邊、圖５中任一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形以及△Ａ［，１５］Ａ［，２２］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，２３］Ａ［，５１］）。因此，這類(lèi)三角形共有７種不同的形狀。

（附圖{圖}）

在這類(lèi)三角形中，不同形狀的“代表”一共有３個(gè)（以線段）Ａ［，３１］Ａ［，１４］為邊、圖６中任一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形）。因此，這類(lèi)三角形共３種不同的形狀。

（附圖{圖}）

在這類(lèi)三角形中，不同形狀的“代表”一共也有３個(gè)（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１５］為邊、圖７中任一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形）。

（Ⅶ）短邊長(zhǎng)為５的三角形

（附圖{圖}）

這類(lèi)三角形只有一種形狀，圖８中的三角形是它們的“代表”。

容易看出，通過(guò)３個(gè)釘子的三角形只有上述七類(lèi)。在這七類(lèi)三角形中，我們一共找到了（１０＋１０＋１２＋７＋３＋３＋１）即４６個(gè)“代表”?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：在這４６個(gè)代表中，盡管“同類(lèi)代表”（產(chǎn)生于上述某一類(lèi)三角形中的代表）的形狀是互異的，但那些“不同類(lèi)代表”（產(chǎn)生于上述某幾類(lèi)三角形中的代表）的形狀是否互異呢？細(xì)細(xì)審察可以發(fā)現(xiàn)：上述（Ⅲ）中的代表△Ａ［，１３］Ａ［，２１］Ａ［，４２］、△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］分別與（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，２２］、△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，３２］相似；（Ⅴ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，３１］Ａ［，６３］和（Ⅵ）中的代表△Ａ［，１５］Ａ［，２１］Ａ［，６２］均與（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，２２］相似。因此，就上述七類(lèi)三角形之總體而言，不同形狀的代表應(yīng)該是（４６—４）即４２個(gè)。

至此即知，通過(guò)３個(gè)釘子一共可以圍４２種不同形狀的三角形。

通過(guò)４個(gè)釘子圍圖形，情況會(huì)更復(fù)雜一些，此處就不細(xì)述了。

思考三如何處置這道題

由上述討論顯而易見(jiàn)，將前述思考題編排在小學(xué)三年級(jí)課本中是絕對(duì)不合適的。那么，這道題究竟如何處置為宜呢？筆者覺(jué)得，下列幾點(diǎn)意見(jiàn)是值得考慮的。

（１）保持原題的文字部分，而將示意圖中的點(diǎn)由３６個(gè)改變?yōu)椋箓€(gè)（三行三列）。將這一改編題仍舊放在前述課本的第１４４頁(yè)作思考題；

（２）不改變示意圖，而將原題所提問(wèn)題改變?yōu)椤巴ㄟ^(guò)３（或４）個(gè)釘子可以圍出哪幾類(lèi)三角（或四邊）形？”將這一改編題放在四年級(jí)第七冊(cè)課本“練習(xí)四十一”的末尾（此時(shí)，學(xué)生剛好