廣東省佛山市城北中學2021年高三數(shù)學理測試題含解析

廣東省佛山市城北中學2021年高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集U為實數(shù)集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為

A.

B.

C．

D.參考答案：【知識點】集合

A1D解析：由題意可求出，所在正確為D.【思路點撥】根據題意求出各集合中元素的范圍，再根據圖形求出正確的集合.2.已知恒成立的x的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：C，所以要使不等式恒成立，則有恒成立，即，所以，因為，所以，即，所以使不等式恒成立的的取值范圍是，選C.3.在△ABC中，AB=4，AC=6，=2，則BC=(

)A．4 B． C． D．16參考答案：A【考點】平面向量數(shù)量積的性質及其運算律．【專題】平面向量及應用．【分析】利用向量的數(shù)量積和余弦定理即可得出．?【解答】解：∵，∴4=2，化為，在△ABC中，由余弦定理得62=42+BC2﹣8BCcosB，化為BC2=16，解得BC=4．故選A．【點評】熟練掌握向量的數(shù)量積和余弦定理是解題的關鍵．4.設是定義在R上的可導函數(shù),當x≠0時,,則關于x的函數(shù)的零點個數(shù)為(

)A．l B．2 C．0 D．0或2參考答案：C

5.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；

④平面EFG∥平面BC1D1其中推斷正確的序號是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④參考答案：A【考點】平面與平面平行的判定；直線與平面平行的判定．【分析】由FG∥BC1，BC1∥AD1，得FG∥AD1，從而FG∥平面BC1D1，F(xiàn)G∥平面AA1D1D；由EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，從而EF與平面BC1D1相交，進而平面EFG與平面BC1D1相交．【解答】解：∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯誤；∵E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選：A．6.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=A．16 B．8 C．4

D．2參考答案：C設正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．

7.函數(shù)的定義域是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.設集合，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.函數(shù)的定義域為參考答案：A10.若復數(shù)z滿足，i為虛數(shù)單位，則在復平面內z對應的點的坐標是

A．（4，2）

B．（4，-2）

C．（2，4）

D．（2，-4）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，已知BC＝4，AC＝3，且cos(A－B)=，則cosC＝

.參考答案：略12.復數(shù)z滿足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=

．參考答案：1﹣i【考點】復數(shù)相等的充要條件．【專題】轉化思想；數(shù)學模型法；數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】利用復數(shù)的運算性質、共軛復數(shù)的定義即可得出．【解答】解：（﹣1+i）z=（1+i）2，∴z==﹣=﹣（i﹣1）=1﹣i．故答案為：1﹣i．【點評】本題考查了復數(shù)的運算性質、共軛復數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．13.設函數(shù)f（x）是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=log2（4x+1），則f（）=．參考答案：﹣2【考點】函數(shù)奇偶性的性質．【專題】計算題；函數(shù)的性質及應用．【分析】先利用函數(shù)的周期性、奇偶性，把自變量轉化到所給的區(qū)間[0，1]，即可求出函數(shù)值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）最小正周期為2，∴f（）=f（﹣4）=f（﹣），又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣）=﹣f（），∵當0≤x≤1時，f（x）=log2（4x+1），∴f（）=log2（4×+1）=log24=2，∴f（）=﹣f（）=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性及函數(shù)值，充分理解以上有關知識是解決問題的關鍵．14.某學校組織學生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據的分組一次為,,若低于60分的人數(shù)是15人,則該班的學生人數(shù)是

． 參考答案：50略15.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，則實數(shù)a＝__________.參考答案：－116.已知A，B，C三點在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的，則球O的表面積為．參考答案：π【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；方程思想；綜合法；球．【分析】設出球的半徑，小圓半徑，通過已知條件求出兩個半徑，再求球的表面積．【解答】解：設球的半徑為r，O′是△ABC的外心，外接圓半徑為R=，∵球心O到平面ABC的距離等于球半徑的，∴得r2﹣r2=3，得r2=．球的表面積S=4πr2=4π×=π．故答案為：π．【點評】本題考查球O的表面積，考查學生分析問題解決問題能力，空間想象能力，是中檔題．17.根據如圖所示的偽代碼,當輸入的值為3時,最后輸出的S的值為

.參考答案：21三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥側面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求證：AB⊥BC；（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為，求銳二面角A﹣A1C﹣B的大?。畢⒖即鸢福嚎键c：用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關系．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：（1）取A1B的中點D，連接AD，由已知條件推導出AD⊥平面A1BC，從而AD⊥BC，由線面垂直得AA1⊥BC．由此能證明AB⊥BC．（2）連接CD，由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大?。獯穑?（本小題滿分14分）（1）證明：如右圖，取A1B的中點D，連接AD，…因AA1=AB，則AD⊥A1B…由平面A1BC⊥側面A1ABB1，且平面A1BC∩側面A1ABB1=A1B，…得AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC．…因為三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，從而BC⊥側面A1ABB1，又AB?側面A1ABB1，故AB⊥BC．…（2）解：連接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，則CD是AC在平面A1BC內的射影∴∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，則…在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且點D是A1B中點∴，且，∴…過點A作AE⊥A1C于點E，連DE由（1）知AD⊥平面A1BC，則AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B為銳二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小為．…點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）如果當且時，恒成立，求實數(shù)的范圍.參考答案：（1）定義域為

設①當時，對稱軸，，所以在上是增函數(shù)

-----------------------------2分②當時，，所以在上是增函數(shù)

----------------------------------------4分③當時，令得令解得；令解得所以的單調遞增區(qū)間和；的單調遞減區(qū)間------------------------------------6分（2）可化為（※）設，由（1）知：①當時，在上是增函數(shù)若時，；所以若時，。所以所以，當時，※式成立--------------------------------------10分②當時，在是減函數(shù)，所以※式不成立綜上，實數(shù)的取值范圍是．----------------------------12分

解法二：可化為設令,所以在由洛必達法則所以20.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，求a+c的取值范圍．參考答案：【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（Ⅰ）由正弦定理推導出，從而，由此能求出角B．（Ⅱ）由，得，，由此利用正弦函數(shù)加法定理能求出a+c的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴，∴，∵sinC＞0．∴，即…而B∈（0，π），則．

…（Ⅱ）由得，∴=…∵，∴∴∴a+c∈（2，4]…21.（本小題滿分12分）設是數(shù)列的前項和，且．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．參考答案：(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，可得，則，

，所以，解得．………………………12分考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關知識及運用．22.如圖，在正△ABC中，