微積分第十一章差分方程初步

關(guān)于微積分第十一章差分方程初步第1頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三

在第十章中我們討論了微分方程，在那里，自變量x是在給定區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值的，所求函數(shù)是自變量x的連續(xù)函數(shù)．然而，在經(jīng)濟(jì)與管理的實(shí)際問題中，經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)絕大多數(shù)是以等間隔時間周期地統(tǒng)計的．基于這一原因，在研究分析實(shí)際經(jīng)濟(jì)與管理問題時，各有關(guān)的經(jīng)濟(jì)變量的取值是離散(非連續(xù))化的，描述各經(jīng)濟(jì)變量之間的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型也是離散(非連續(xù))型的．而最常見的一類離散型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型就是差分方程模型．第2頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三第一節(jié)差分方程的基本概念一、差分的概念定義1

設(shè)函數(shù)yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…處有定義,對應(yīng)的函數(shù)值為…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,則函數(shù)yt=f(t)在時間t的一階差分定義為

Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．依此定義類推,有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),………………

給定函數(shù)

,其自變量t(通常表示時間)的取值為離散等間隔的整數(shù)值：t=…,-2,-1,0,1,2,…．因t是離散地取等間隔值，那么函數(shù)只能在相應(yīng)的點(diǎn)有定義．第3頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三(1)若yt=C(C為常數(shù)),則Dyt=0;(2)對于任意常數(shù)k,D(kyt)=kDyt;(3)D(yt+zt)=Dyt+Dzt．由定義1，我們很容易驗(yàn)證一階差分具有如下性質(zhì)：

因?yàn)楹瘮?shù)的一階差分通常還是t的函數(shù)，故可以考慮求的差分，進(jìn)而還可繼續(xù)考慮的差分的差分，如此等等，這樣的差分統(tǒng)稱為高階差分．第4頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三定義2

函數(shù)yt=f(t)在時刻t的二階差分定義為一階差分的差分,即

D2yt=D(Dyt)=Dyt+1-Dyt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定義類推,有D2yt+1=Dyt+2-Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D2yt+2=Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,………………類推,計算兩個相繼的二階差分之差,便得到三階差分D3yt=D2yt+1-D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,D3yt+1=D2yt+2-D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,………………

第5頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三一般地,k階差分(k為正整數(shù))定義為

這里

第6頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三二、差分方程定義3

含有未知函數(shù)yt=f(t)以及yt的差分yt,2yt,…的函數(shù)方程,稱為常差分方程(簡稱差分方程);出現(xiàn)在差分方程中的差分的最高階數(shù),稱為差分方程的階.n階差分方程的一般形式為F(t,yt,yt,…,nyt)=0,其中F是t,yt,yt,…,nyt的已知函數(shù),且nyt一定要在方程中出現(xiàn)．

第7頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三定義3′

含有兩個或兩個以上函數(shù)值yt,yt+1,…的函數(shù)方程,稱為(常)差分方程,出現(xiàn)在差分方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差,稱為差分方程的階．

n階差分方程的一般形式為F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,（*）其中F為t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函數(shù),且yt和yt+n一定要在差分方程中出現(xiàn).

由于在經(jīng)濟(jì)模型中，通常遇到的是后一種定義下的差分方程．因此，今后我們將只討論形如（*）式的差分方程．第8頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三三、差分方程的解定義4

如果將已知函數(shù)yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使其對t=…,-2,-1,0,1,2,…成為恒等式,則稱yt=j(t)為方程的解.含有n個任意(獨(dú)立)常數(shù)C1,C2,…,Cn的解yt=(t,C1,C2,…,Cn)稱為n階差分方程的通解.在通解中給任意常數(shù)C1,C2,…,Cn以確定的值所得的解,稱為n階差分方程的特解.第9頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三

例如,函數(shù)yt=at+C(a為已知常數(shù),C為任意常數(shù))是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函數(shù)yt=at,yt=at-1,…均是這個差分方程的特解.

由差分方程的通解來確定它的特解,需要給出確定特解的定解條件.n階差分方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0常見的定解條件為初始條件.y0=a0,y1=a1，…,yn-1=an-1，這里a0,a1,a2,…，an-1均為已知常數(shù)．第10頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三

只要保持差分方程中的時間滯后結(jié)構(gòu)不變,無論對t提前或推后一個相同的等間隔值,所得新方程與原方程是等價的,即二者有相同的解.例如,方程

ayt+1-byt=0

與方程

ayt+2-byt+1=0都是相互等價的．

特別值得注意的是：

基于差分方程的這一特征，在研究差分方程中，為了方便和需要，我們經(jīng)常隨意地移動差分方程中的時間下標(biāo)，只要保證方程中所有時間下標(biāo)均移動一個相同的整數(shù)值即可

由此可見，在差分以及差分方程的解的定義中，對t=0,1,2,…恒成立時，對t=-1,-2,…也是成立的．為此，今后也就只需討論t=0,1,2,…的情形．第11頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三四、線性差分方程及其基本定理

形如

yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的差分方程,稱為n階非齊次線性差分方程.其中a1(t),a2(t),…,an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函數(shù),且an(t)≠0,f(t)≠0

而形如

yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0的差分方程,稱為n階齊次線性差分方程.其中ai(t)(i=1,2,…，n)為t的已知函數(shù),且an(t)≠0.第12頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三

如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均為常數(shù)(an≠0),則有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)，yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0．分別稱為n階常系數(shù)非齊次線性差分方程和n階常系數(shù)齊次線性差分方程.

第13頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三定理1(齊次線性差分方程解的疊加原理)

若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m個特解(m≥2),則其線性組合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程的解,其中A1，A2，…，Am為任意常數(shù)．定理2

n階齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n個線性無關(guān)的特解．第14頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三定理3(齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理)

如果y1(t),y2(t),…,yn(t)是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的n個線性無關(guān)的特解,則方程的通解為：yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，其中A1，A2，…，An為n個任意(獨(dú)立)常數(shù)．

第15頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三定理4(非齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理)

如果(t)是非齊次線性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的一個特解,yA(t)是其對應(yīng)的齊次線性方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的通解,那么,非齊次線性差分方程的通解為：y(t)=yA(t)+

(t)即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+

(t)，這里A1，A2,…,An為n個任意(獨(dú)立)常數(shù)．第16頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三第二節(jié)一階常系數(shù)線性差分方程

一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為yt+1+ayt=f(t)和yt+1+ayt=0,其中f(t)為t的已知函數(shù),a≠0為常數(shù).分別稱為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程和其對應(yīng)的齊次差分方程.

第17頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三一、一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解與特解將方程yt+1+ayt=0改寫為:yt+1=-ayt,t=0,1,2,…．假定在初始時刻(即t=0)時,函數(shù)yt取值A(chǔ),那么由上式逐次迭代,得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………方程的通解為yt=A(-a)t,t=0,1,2,…．A為任意常數(shù).如果給定初始條件t=0時yt=y0,則A=y0,此時特解為：yt=y0(-a)t．

第18頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三二、一階常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解與特解1.迭代法求通解將方程改寫為yt+1=(-a)yt+f(t),t=0,1,2,…．逐步迭代,則有y1=(-a)y0+f(0),y=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………

23第19頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三由數(shù)學(xué)歸納法,可得

yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)

=(-a)ty0+,(t=0,1,2,…)，

yA(t)=(-a)ty0為

對應(yīng)的齊次方程

的通解.

于是方程的通解為第20頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三解例第21頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三方程的通解第22頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三2.待定系數(shù)法求特解情形Ⅰf(t)為常數(shù)．方程變?yōu)閥t+1+ayt=b,a,b均為非零常數(shù)．當(dāng)a≠-1時,可求得特解當(dāng)a=-1時,改設(shè)特解(為待定系數(shù)),將其代入方程得(t+1)+a

t=(1+a)

t+

=b

求得特解試以(為待定常數(shù))形式的特解代入方程得

+a

=(1+a)

=b．第23頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三方程的通解為解例求差分方程注意我們也可用迭代法求解.第24頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三情形Ⅱf(t)為t的多項(xiàng)式．設(shè)f(t)=b0+b1t(t的一次多項(xiàng)式),即yt+1+ayt=b0+b1t,t=1,2,…，其中a,b0,b1均為常數(shù),且a≠0,b1≠0．試以特解=a+bt,(a,b為待定系數(shù))代入方程得a+b(t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，上式對一切t值均成立,其充分必要條件是：第25頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三當(dāng)1+a≠0時,即a≠-1時，方程的特解為當(dāng)a=-1時,改設(shè)特解=(a+bt)t=at+bt2

將其代入方程可求得特解第26頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三方程的通解為解例第27頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三情形Ⅲf(t)為指數(shù)函數(shù)設(shè)f(t)=b·dt,b,d均為非零常數(shù),方程變?yōu)?/p>

yt+1+ayt=b·dt,t=0,1,2,…．

求得特解當(dāng)a+d≠0時,設(shè)方程有特解=mdt,m為待定系數(shù).將其代入方程得mdt+1+amdt=b·dt,當(dāng)a+d=0時,改設(shè)方程的特解=tdt,為待定系數(shù),將其代入方程可求得特解=btdt

當(dāng)a+d≠0時,設(shè)方程有特解=mdt,m為待定系數(shù).將其代入方程得mdt+1+amdt=b·dt,

第28頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三方程的通解為解例第29頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三情形Ⅳf(t)為正弦、余弦型三角函數(shù)

設(shè)f(t)=b1cost+b2sint,其中b1,b2,均為常數(shù),且

≠0,b1與b2不同時為零.于是非齊次方程變?yōu)閥t+1+ayt=b1cost+b2sint,a≠0,t=0,1,2,…．

設(shè)方程有特解=acost+bsint,a,b均為待定系數(shù).

將其代入方程得acos(t+1)+bsin(t+1)+aacost+absint=b1cos

t+b2sint,(acos+bsin+aa)cost+(-asin

+bcos

+ab)sinwt=b1cost+b2sint

第30頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三(acos+bsin

+aa)cost+(-asin

+bcos

+ab)sinwt=b1cost+b2sint

上式對t=0,1,2,…恒成立的充分必要條件是其系數(shù)行列式第31頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三當(dāng)D≠0時,則可求得其解當(dāng)D=(a+cosw)2＋sin2w=0時,則有改設(shè)特解第32頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三代入方程并整理可得方程的通解為第33頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+1-2yt=cost的通解．解對應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=A·2t．設(shè)非齊次方程的特解為=acost+bsint,其中a,b為待定系數(shù)．

將其代入原方程,并利用三角函數(shù)的和角公式,得第34頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三所給方程的通解為第35頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三第三節(jié)差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、存款模型

設(shè)St為t期存款總額,i為存款利率,則St與i有如下關(guān)系式：St+1=St+iSt=(1+i)S

,t=0,1,2,…，其中S0為初始存款總額．t這是一階線性齊次差分方程，通解為第36頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三二、動態(tài)供需均衡模型(蛛網(wǎng)定理)

設(shè)Dt表示t期的需求量,St表示t期的供給量,Pt表示商品t期價格,則傳統(tǒng)的動態(tài)供需均衡模型為：

其中a,b,a1,b1均為已知常數(shù).

(1)式表示t期(現(xiàn)期)需求依賴于同期價格；(2)式表示t期(現(xiàn)期)供給依賴于(t-1)期(前期)價格．(3)式為供需均衡條件．第37頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三若在供需平衡的條件下,而且價格保持不變,即Pt=Pt-1=Pe，靜態(tài)均衡價格需求曲線與供給曲線的交點(diǎn)(Pe,Qe)即為該種商品的靜態(tài)均衡點(diǎn)．動態(tài)供需均衡模型的等價差分方程方程的一個特解方程的通解為將動態(tài)供需均衡模型的(1)(2)兩式代入(3)式，便得到第38頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三若初始價格P0已知時,將其代入通解,可求得任意常數(shù)A=P0-Pe,此時,通解改寫為

如果初始價格P0=Pe,那么Pt=Pe,這表明沒有外部干擾發(fā)生,價格將固定在常數(shù)值Pe上,即靜態(tài)均衡．如果初始價格P0≠Pe,那么價格Pt將隨t的變化而變化.

動態(tài)價格Pt隨著t的無限增大逐漸地振蕩趨近于靜態(tài)均衡價格Pe.第39頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三普通商品的價格與供需關(guān)系圖上圖的形狀類似于蜘蛛網(wǎng)，故稱此模型為蛛網(wǎng)模型(或蛛網(wǎng)定理)．第40頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三一.一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解為二.一階常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解小結(jié)第41頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三第42頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三1．設(shè)Yt為t期國民收入，Ct為t期消費(fèi)，I為投資(各期相同)．卡恩(Kahn)曾提出如下宏觀經(jīng)濟(jì)模型：其中α，β均為常數(shù)，試求Yt和Ct．①②解：①②中消去，得：上式為一階線性非齊次方程，且其解為：第43頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三將上式代入第一式得第44頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三第三節(jié)二階常系數(shù)線性差分方程

二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,2,…，其中f(t)為t的已知函數(shù),a1,a2為已知常數(shù),且a2≠0,稱為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程．特別地,當(dāng)f(t)0時,方程變?yōu)閥t+2+a1yt+1+a2yt=0．稱為對應(yīng)的齊次差分方程．第45頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三一、齊次差分方程的通解

稱2＋a1+a2=0為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程或其對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程．它的解(或根)稱為方程的特征根(值)．

特征方程的兩個根為(1)特征根為相異的兩實(shí)根當(dāng)＞0時,1,

2為兩相異的實(shí)根.y1(t)=1t與y2(t)=2t是齊次差分方程的兩個線性無關(guān)的特解.

第46頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三齊次差分方程的通解1,2由特征方程確定,A1,A2為兩任意(獨(dú)立)常數(shù)．

例求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解．解特征方程為2-7+12=(

-3)(

-4)=0,有兩相異實(shí)特征根

1=3,

2=4．

原方程的通解為第47頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三(2)特征根為兩相等的實(shí)根當(dāng)=0時,=1=2=為兩相等的實(shí)根.

方程的一個特解：yt(t)=t．

方程的另一個特解為y(t)=tt，且與t線性無關(guān).

方程的通解為第48頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解.解特征方程為2-4+4=(-2)2=0，方程有重特征根

=1=2=2原方程的通解為yA(t)=(A1+A2t)·2t,A1,A2為任意常數(shù)．第49頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三(3)特征根為一對共軛復(fù)根當(dāng)＜0時,1,

2為一對共軛復(fù)根.1,2=±i=r(cos±isin)

第50頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三y1(t)=rtcost,y2(t)=rtsint是方程的兩個線性無關(guān)特解.

方程的通解為yA(t)=rt(A1cos

t+A2sin

t)其中

A1，A2為任意常數(shù).第51頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+2-2yt+1+2yt=0的通解．解特征方程2-2+2=(-1)2＋1=0

特征根為一對共軛復(fù)根1,2=1±i．

方程的通解為第52頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三二、非齊次方程的特解與通解例求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解．解對應(yīng)的齊次方程的通解為yA(t)=A1·3t+A2·4t，原方程的通解為yt=yA(t)+=A1·3t+A2·4t+1，這里A1,A2為任意常數(shù)．

由于1+a1+a2=1-7+12≠0,設(shè)特解

=B,B為待定常數(shù),將其代入原方程,求得B=1.第53頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解．解特征方程為2-3+2=(-1)(-2)=0,特征根1=1,2=2.

對應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=A1+A2·2t．因1+a1+a2=1-3+2=0,故應(yīng)設(shè)非齊次方程的特解為

=Bt,B為待定系數(shù),將其代入原方程,求得B=-4．

原方程的通解為yt=yA(t)+

=A1+A2·2t-4t，這里A1,A2為任意常數(shù)．第54頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例

求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解.

解對應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=(A1+A2t)·2t．此式對t=0,1,2,…恒成立的充要條件是B0-2B1=3,B1=2.由此解得：B0=7，B1=2．

設(shè)非齊次方程有特解

=B0+B1t,B0,B1為待定系數(shù).將其代入原方程中,得(B0-2B1)+B1t=3+2t,第55頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三所求非齊次方程的特解為原方程的通解為A1,A2為任意常數(shù)．

第56頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解．解對應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=(A1+A2t)·2t．設(shè)所給非齊次方程的特特為=B·5t,B為待定系數(shù).

將其代入所給方程,可得

B·5t+2-4B·5t+1+4B·5t=5t．非齊次方程的特解為所給方程的通解為其中A1,A2為任意常數(shù)．第57頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三第四節(jié)差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、存款模型

設(shè)St為t期存款總額,i為存款利率,則St與i有如下關(guān)系式：St+1=St+iSt=(1+i)Si,t=0,1,2,…，其中S0為初始存款總額．

第58頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三二、動態(tài)供需均衡模型(蛛網(wǎng)定理)

設(shè)Dt表示t期的需求量,St表示t期的供給量,Pt表示商品t期價格,則傳統(tǒng)的動態(tài)供需均衡模型為：

其中a,b,a1,b1均為已知常數(shù).

(1)式表示t期(現(xiàn)期)需求依賴于同期價格；(2)式表示t期(現(xiàn)期)供給依賴于(t-1)期(前期)價格．(3)式為供需均衡條件．第59頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三若在供需平衡的條件下,而且價格保持不變,即Pt=Pt-1=Pe，靜態(tài)均衡價格需求曲線與供給曲線的交點(diǎn)(Pe,Qe)即為該種商品的靜態(tài)均衡點(diǎn)．動態(tài)供需均衡模型的等價差分方程方程的一個特解方程的通解為第60頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三若初始價格P0已知時,將其代入通解,可求得任意常數(shù)A=P0-Pe,此時,通解改寫為

如果初始價格P0=Pe,那么Pt=Pe,這表明沒有外部干擾發(fā)生,價格將固定在常數(shù)值Pe上,即靜態(tài)均衡．如果初始價格P0≠Pe,那么價格Pt將隨t的變化而變化.

動態(tài)價格Pt隨著t的無限增大逐漸地振蕩趨近于靜態(tài)均衡價格Pe.第61頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三普通商品的價格與供需關(guān)系圖第62頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三三、凱恩斯(Keynes.J.M)乘數(shù)動力學(xué)模型

設(shè)Yt表示t期國民收入,Ct為t期消費(fèi),It為t期投資,I0為自發(fā)(固定)投資,I為周期固定投資增量.凱恩斯國民經(jīng)濟(jì)收支動態(tài)均衡模型為：(1)式為均衡條件,即國民收入等于同期消費(fèi)與同期投資之和;(2)式為消費(fèi)函數(shù),即現(xiàn)期消費(fèi)水平依賴于前期國民收入(消費(fèi)滯后于收入一個周期),a(≥0)為基本消費(fèi)水平,b為邊際消費(fèi)傾向(0＜b＜1);(3)式為投資函數(shù),這里僅考慮為固定投資．

第63頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一階常系數(shù)非齊次線性差分方程：Yt-bYt-1=a+I0+I

方程的一個特解方程的通解為其中A為任意常數(shù).稱系數(shù)為凱恩斯乘數(shù).第64頁，講