高數(shù)下第1講之一數(shù)項(xiàng)級數(shù)

高等數(shù)學(xué)(B,II)(多媒體教案)主講：張勤Tel:

E-mail:2無窮級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)冪級數(shù)Fourier級數(shù)第6章無窮級數(shù)(Infinite

Series)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)反常積分判斂第1講：數(shù)項(xiàng)級數(shù)，反常積分判斂第2講：冪級數(shù)，F(xiàn)ourier級數(shù)3引例1

當(dāng)我們寫出時，意味著…表示無窮多項(xiàng)相加。項(xiàng)越多，和與p越接近。4￥稱上式為無窮級數(shù)，其中第

n

項(xiàng)

un

叫做級數(shù)的一般項(xiàng).定義：給定一個數(shù)列

u1

,

u2

,

u3

,

,

un

,

將各項(xiàng)依次相加,

簡記為un

,

即n=11.無窮級數(shù)的概念+

+

++=

+￥nn21212221

1

132n

=1引例2

無窮級數(shù)部分和12S

=

1

,21

1

32

2

4S2

=+

=

,31

1

1

72

2

2

8S3

=+

2

+

=11

1

12

222nnSn

=+

2

++ =

1

-1122nnn￥nfi

￥n=1=

lim

S

=lim(1

-

)

=

1nfi

￥問題：你認(rèn)為+

+

++=

+￥nn21212221

1

132n

=1應(yīng)該等于多少？￥

n

=

1

+

2

+

3

++

n

+n=1級數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散￥(-1)n-1

=

1

-

1

+

1

-

1

++

(-1)n-1

+n=17￥稱上式為無窮級數(shù)，其中第

n

項(xiàng)

un叫做級數(shù)的一般項(xiàng),級數(shù)的前

n

項(xiàng)和定義：給定一個數(shù)列

u1

,

u2

,

u3

,

,

un

,

將各項(xiàng)依次相加,

簡記為un

,

即n=1則稱無窮級數(shù)稱為級數(shù)的部分和.收斂,并稱S

為級數(shù)的和,記作8則稱無窮級數(shù)發(fā)散.當(dāng)級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項(xiàng).顯然注：9￥1.討論級數(shù)

an

的斂散性，等價于討論其部分和數(shù)列n=1{Sn

}的斂散性.2.若要討論級數(shù){Sn

}的斂散性，令an

=

Sn

-

Sn-1

(n

?

2)￥a1

=

S1

,等價于

ann=1的斂散性.￥稱￥

￥rn

=S

-Sn

=uk

為級數(shù)un

的余項(xiàng)，Sn

與S

之間k=n+1

n=1的誤差可由

rn

來衡量

，由于

lim

Sn

=S

，故

lim

r

n

=0

，nfi

￥

nfi

￥這表明

n

越大

，

Sn與

S

之間的誤差越小。3.當(dāng)級數(shù)un

收斂時，部分和Sn

可作為和S

的近似值，n=1數(shù)列極限結(jié)論nfi

￥lim

xn

=0nfi

￥1.

lim

xn

=0

。若lim

xn

=a

，則"k?

N+，有l(wèi)im

xn+k

=a

。nfi

￥

nfi

￥lim

xn

=a

lim

x2n-1

=lim

x2n

=a

。nfi

￥

nfi

￥

nfi

￥數(shù)列{xn

}收斂于a

，則{xn

}的任一子列{xnk

}也收斂于a

。以上結(jié)論可直接引用。1

1=

1

-n(n+1)

n

n+1解：∵un

=，12

2

3

3

4n

n+1=(1-

1

)+(

1

-

1

)+(

1

-

1

)++(

1

-1)

=1-n+1，1n+1∵

lim

Sn

=

lim

(1-nfi

￥

nfi

￥)=1

，∴級數(shù)收斂，其和S

=1

。例1．判別級數(shù)￥1n=1n(n+1)的斂散性，若收斂，求其和。11

2 2

3 3

4n(n+1)∴

Sn

=

1

+

1

+

1

++=

，1-q

1-q（1）當(dāng)q

<1

時，∵lim

Sn

=limnfi

￥

nfi

￥∴級數(shù)收斂。1-qa(1-qn

)=￥

，（2）當(dāng)q

>1

時，∵lim

Sn

=limnfi

￥

nfi

￥∴級數(shù)發(fā)散。￥n=1例2．討論等比級數(shù)aqn-1(a?0)的斂散性。21-qna,a(1-qn

)

a+aq

=

a(1-qn

)n-1n解：

S

=a+aq+aq

+,

q?1

，q=1綜上可知，￥n=1n-1aq=

無和,q

?1,

發(fā)散,

q

<1,

收斂1-qa。（3）當(dāng)q

=1

時，①當(dāng)q=1

時，lim

Sn

=lim

na

=￥

，故級數(shù)發(fā)散。nfi

￥

nfi

￥②當(dāng)q=-1

時，Sn

=a-a+a-a++(-1)n-1

a

，0,若n

為偶數(shù).a,若n

為奇數(shù),S

=nn，故lim

Snfi

￥不存在，級數(shù)發(fā)散。2

3

4

n1

1

1

1例3．證明調(diào)和級數(shù)1+++++

發(fā)散。15結(jié)論：1n=1

n￥調(diào)和級數(shù)發(fā)散。解

考慮調(diào)和級數(shù)部分和數(shù)列{Sn

}的一個子列{S2k

}212S

=1+

14221

1

12

3

4S

=

S

=1+ +

+>1+

+

+

=1+

2

18231

1

12

4

4

21

1

1

15

6

7

8S

=

S

=

S4

+

+

+

+>1+

2

1

+

4

1

=1+

3

12

8

2…………11

112

222k2k

-1S

=

S

+++...

+>1+(k

-1)

1

+=1+

k

12k

-1

+12k

-1

+

2 2k

-1

+

2k

-12解：此級數(shù)為等比級數(shù)，公比q=ln2

=ln2

<lne

=1

，2∵q

<1

，∴級數(shù)收斂。ln21-

ln2∴

S

=

2

＝ln22-ln2。ln2

ln2

2

ln3

2例

4．判別級數(shù)

+

+

+

的斂散性，2

22

23若收斂，求其和。2數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的條件定理1（級數(shù)收斂的必要條件）￥nfi

￥n=1若un收斂,

則

lim

un

=

0.￥證

明

：

設(shè)

un

=

S

，∵

un

=

Sn

-

Sn-1

，n

=1∴l(xiāng)im

un

=lim(Sn

-Sn-1

)=S

-S

=0

。nfi

￥

nfi

￥￥nfi

￥n=1若un收斂

lim

un

=

0

，￥n=1nfi￥即若

lim

un

?

0

un發(fā)散，nfi

￥￥n=1但

lim

un

=

0

un

收斂。例如調(diào)和級數(shù)￥1n=1n1n是發(fā)散的，而limnfi

￥=0

。例5．判別級數(shù)￥n

=1n

+

1nn

ln的斂散性。1(1+

1

)nnn+1n解：∵lim

un

=lim

nln=

lim

ln

=-1

，nfi

￥nfi

￥

nfi

￥∴級數(shù)￥n=1n

+1nnln發(fā)散。￥n=1￥6．1．3數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)

1

若級數(shù)

un

收斂，

其和為

S

，則對任意常數(shù)

k

，級數(shù)kun

也收斂，其和為kS

。n=1乘以非零常數(shù)不改變級數(shù)的斂散性。￥

￥性質(zhì)

2

若級數(shù)

un

和

vn

都收斂，其和分別為

S

與T

，n=1

n=1￥則級數(shù)(un

–vn

)也收斂，其和為S

–T

。n=1兩個收斂級數(shù)逐項(xiàng)相加（或相減）所得的級數(shù)收斂。2

2

4

81

1

1如a1

=1,

q=

1

的等比級數(shù)1+

+

+

+

是收斂的，211-

1其和

S

= =2

，32

64

128減去它的前五項(xiàng)得到的級數(shù)

1

+

1

+

1

+

仍收斂

，16211-

1其和

S

=

32

=

1

。性質(zhì)

3

在級數(shù)中去掉或加上有限多項(xiàng)，

不改變級數(shù)的斂散性。￥n=1性質(zhì)

4

若級數(shù)un

收斂，則不改變它的各項(xiàng)次序任意￥添加括號后構(gòu)成的新級數(shù)

vm

仍然收斂且其和不變。￥證明：設(shè)un

=S

，m=1v1

=u1

+u2

++un1

，n=1v2

=un1+1

++un2

，

，vm

=unm-1+1

++unm

，

，￥

￥級數(shù)un

和vm

的部分和分別為Sn

和s

n

，n=1

m=1則s1

=Sn1

，

s2

=Sn2

，

，

s

k

=Snk

，

，故{sn

}是{Sn

}的子列，從而當(dāng)lim

Sn

存在時，lim

sn

必存在，且例如：級數(shù)(1-1)+(1-1)+

收斂于零，但級數(shù)1-1+1-1+

發(fā)散。nfi

￥

nfi

￥lim

sn

=lim

Sn

=S

，因此性質(zhì)4成立。nfi￥

nfi￥注意：若加括號后所成的級數(shù)收斂，則不能斷定去括號后原來的級數(shù)收斂。推論：如果加括號后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散。1例如(￥n=1

2n+0.01)與￥n=1(-0.01)均發(fā)散，但逐項(xiàng)相￥￥1+0.01-0.01)=1加所組成的級數(shù)(n=12n=1

2nn

收斂。例7．試問下列說法是否正確，并說明理由或舉例。（1）兩個發(fā)散級數(shù)逐項(xiàng)相加所組成的級數(shù)一定發(fā)散。解：說法不正確。（2）一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)逐項(xiàng)相加所組成的級數(shù)一定發(fā)散。解：說法正確?？捎梅醋C法證之。￥

￥假設(shè)un

收斂，vn

發(fā)散，n=1

n=1￥￥

￥n=1

n=1若(un

+vn

)收斂，則由級數(shù)的性質(zhì)2可知，

n=1

vn

=[(un

+vn

)-un

]也收斂，這與假設(shè)矛盾，

￥故(un

+vn

)一定發(fā)散。n=1例8．判別下列級數(shù)的斂散性：（1）

1-lnp+ln

2

p-ln

3

p+￥解：∵(-1)n-1(lnp)n-1

是等比級數(shù)，公比n=1q=-lnp

，q

=lnp>lne=1

，∴原級數(shù)發(fā)散。（

2）32[n

n-(-1)

(

)

]4n(n

+1)￥n=1解：∵

￥2n=1n(n

+1)收斂；

￥4n=1n3

n

3(-1)

(

)

為公比q=-的等比級數(shù)，4q

<1

，收斂的；∴32[n

nn(n

+1)￥n=1-(-1)

(

)

]也收斂。4（

3）31

2nn[

+

]￥n=1解：∵

￥1n=1n發(fā)散，

￥32n=1n13是q=的等比級數(shù)，收斂，∴31

2nn[

+￥n=1]發(fā)散。（4）

￥nn+1n=1

(n+

n

)n；1

nnnn

nn)1n21

n

=

lim解：∵lim

un

=limn+

1nfi

￥

(n+

)

nfi

￥

(1+nfi

￥1=en2lim

[(1+

1

)n2

]nnfi

￥nlim

n

nnfi

￥1

=

0

=1?0

，∴級數(shù)￥nn+1n=1

(n+

n

)n發(fā)散。1

n（5）￥1n=1-(5n-4)(5n+1)1

=

1

1

1(5n-4)(5n+1) 5

5n-4

5n+1解：un

=-)1

16

6

115

5n-4

5n+1

∵

Sn

=1

(1-

1

)+(

1

-

1

)++(1=

1(1-5

5n+1)

，15n+1

5nfi

￥

5∴

lim

Sn

=

lim

1(1-nfi

￥)=

1

，∴級數(shù)收斂，其和為1

。522

2n(6)1

+

1

+

+

1

+

2

+2

k

3

32

+

+

3n

+小結(jié)：本節(jié)判定級數(shù)斂散性的思維程序等比級數(shù)￥

q

?1,發(fā)散aqn=1n-1

q

<1,收斂￥級數(shù)unn=1nfi

￥lim

un

?0發(fā)散lim

un

=0,

不一定收斂.nfi

￥利用級數(shù)的基本性質(zhì)判定其斂散性利用級數(shù)收斂和發(fā)散的定義判定其斂散性作

業(yè)習(xí)題一（P7）3

（1）（2）（3）（裂項(xiàng)相消）（4）（5）（6）；5

（裂項(xiàng)相消）6（考察部分和數(shù)列的極限）34一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂6.1.4常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法第六章35￥n=1收斂部分和序列定理3.

正項(xiàng)級數(shù)有界.收斂,∴部分和數(shù)列有界,

故又已知故有界.一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法若

un

?

0,

則稱un

為正項(xiàng)級數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,從而也收斂.證:““”若”定理7（積分判別法）設(shè)（1）

f

?

C[1,+￥

)，f

?0

且單調(diào)遞減；（2）

un

=

f

(n)(n

=1,2,)

，則反常積分+￥

f

(x)dx

收斂或發(fā)散時，1￥正項(xiàng)級數(shù)un

也隨之收斂或發(fā)散。n=136例2．判別下列級數(shù)的斂散性。（1）

￥1p

(

p>0)

；n=1n解：（1）

un

=

1

，取

f

(

x)=

1

，n

p

x

p則f

(x)在[1,+￥

)上非負(fù)，連續(xù)，單減?！弋?dāng)p>1時收斂.+￥

1

dx=當(dāng)p￡1時發(fā)散,1xp∴

37￥1n=1np

，當(dāng)p￡1

時發(fā)散；當(dāng)p>1

時收斂。￥當(dāng)p￡1時,

發(fā)散

.1

當(dāng)p>1時,

收斂

,p

級數(shù)n=1

np

結(jié)論P(yáng)

積分1當(dāng)p>1時收斂.+￥

1

dx=當(dāng)p￡1時發(fā)散,x

p38393）

￥21n=1(n+1)ln

(n+1)。11解：

un

=

，取

f

(

x)=，(n+1)ln2

(n+1) (

x

+1)ln2

(

x

+1)則f

(x)在[1,+￥

)上非負(fù)，連續(xù)，單減?！?/p>

1

ln2=+￥1+￥1

1

ln(

x

+1)dx

=-

1

(

x

+1)ln2

(

x

+1)，∴+￥1

1

(

x

+1)ln2

(

x

+1)dx

收斂，從而40￥21n=1(n+1)ln

(n+1)收斂。定理4（比較判別法）￥

￥n=1

n=1￥

￥若vn

收斂，則un

也收斂；n=1

n=1￥

￥若un

發(fā)散，則vn

也發(fā)散。n=1

n=1設(shè)有正項(xiàng)級數(shù)un

和vn

，且un

￡vn

(n=1,2,)41￥

￥42推論：設(shè)un

和vn

都是正項(xiàng)級數(shù)，若存在常數(shù)n=1

n=1C

>0

，N?

N

+，使當(dāng)n?N

時恒有un

￡Cvn

成立，則￥

￥由

vn

收斂

un

收斂；n=1

n=1￥

￥由

un

發(fā)散

vn

發(fā)散。n=1

n=1用比較審斂法判定正項(xiàng)級數(shù)是否收斂時，常用等比級數(shù)和p

級數(shù)作為比較級數(shù)。43（

1）

￥1n=1

2n-n1

12n-12n

-n∴

￡

(

n=1, 2,

)，而1221是公比為￥n=1n-1的收斂的等比級數(shù)，∴

44￥1n=1

2n-n收斂。例3．判定級數(shù)的斂散性：解：（1）∵2n

-n=2n-1

+(2n-1

-n)?2n-1

，自習(xí)￥1（2）

n=1n(n+1)解：∵11>n+1n(n+1)（

n=1,

2,

），而=

+

++￥11

1

1n+1n+1

2

3n=1+

，發(fā)散，￥451∴

n=1n(n+1)發(fā)散。（3）￥n=1

01ndx1+

xx0302

1231113

n

2xx

2

n

=xdx=0

1+

xdx￡

n解：∵un

=

n3

，￥1n=1

n

2而3

收斂，∴46￥n=1

01n1+

xxdx

收斂。自習(xí)1(4)nn￥2

+

3n=1(5)

1

ln

n￥n=211,<2n

+

3n

2解1n￥n=1

2n

收斂1nn￥\2

+

3n=1收斂解ln

n

<n,

1

>

11￥n=1

nln

n

n1￥n=2

ln

n發(fā)散\發(fā)散

1

￥(6)1

1n!

2n-1<解

1

2n=1

n!￥n-1n=1收斂1n!￥\n=1收斂47復(fù)習(xí)：不論a,b

是什么樣的正數(shù)，總有b(ln

x)axlimxfi

+￥=

0上冊P94

例2（3），定理4

（比較判別法的極限形式）設(shè)n

￥

￥n=1

n=1nv48nunu

和

v

均為正項(xiàng)級數(shù)，且

limnfi

￥=L

，則￥

￥當(dāng)0

<L

<+￥

時，un

與vn

具有相同的斂散性；n=1

n=1￥

￥當(dāng)L

=0

，且vn

收斂時，un

也收斂；n=1

n=1￥

￥當(dāng)L

=+￥

，且vn

發(fā)散時，un

也發(fā)散。n=1

n=1極限形式的比較判別法在兩個正項(xiàng)級數(shù)的通項(xiàng)均49趨向于零的情況下，其實(shí)是比較兩個通項(xiàng)作為無窮小量的階。它表明：當(dāng)nfi

￥

時，如果un

是比vn

高階或￥

￥是與vn

同階的無窮小，而級數(shù)vn

收斂，則級數(shù)unn=1收斂；如果un

是比vn

低階或是與n=1vn

同階的無窮小，￥

￥而級數(shù)vn

發(fā)散，則級數(shù)un

發(fā)散。n=1

n=1例4．判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性￥sin1

2（

1）

n=1n

n解：對級數(shù)的通項(xiàng)先作分析：1

sin

22nnfi

￥￥n=1n∵lim

n n

=1

，而

2

發(fā)散，￥2sin1∴

n=1nn發(fā)散。2當(dāng)

nfi

￥

時，

sin

2

～ ，從而n

n1

sin

2

～n

nn502

。（2）nln13n+2n+1￥n=1對級數(shù)的通項(xiàng)先作分析：1

1

n+2

2

2當(dāng)

nfi

￥

時，

3

n+1

～

3

n

，

ln

n

=ln(1+

n

)

～

n

，從而

1

ln

n+2

與

1

同階。3

n+1

n

n

341ln(1+

2

)=

lim

31nnn+13

n

4n

3n1

ln

n+23

n+1nfi

￥解：∵limnfi

￥=2

，∴nln13n+

2n+1￥n=1收斂。￥511而n=1n

34

收斂，￥（3）

n=1lnnnfi

￥nlnn解：∵limnfi

￥n

=

lim

lnn=+￥

，而￥n=11n發(fā)散，￥52∴

n=1n1nln

n發(fā)散。為了便于使用比較判別法，需了解下列無窮大之間的關(guān)系，它們按照階由低往高排列為：lna

n

，

nb

，

an

(a>1)

，

n!

，

nn

，其中(a>0,

b>0)

。（4）

￥3n=1

n

2lnn3

1

5n

2

n

4

n

4lnn

lnn

1n=解：

∵

u

=，11n

4nfi

￥

nfi

￥∴

lim

un

=

lim

lnn

=0

，而￥55n

41n=1

n

4收斂，故￥3n=1

n

2lnn收斂。復(fù)習(xí)：不論a,b

是什么樣的正數(shù)，總有b53(ln

x)axlimxfi

+￥=

0上冊P94

例2（3）￥n=1nnfi

￥uun+1設(shè)un

為正項(xiàng)級數(shù)，若lim=r

，則￥（1）當(dāng)r<1時，un

收斂；n=1￥（2）當(dāng)r>1

時，un

發(fā)散；n=1￥（3）當(dāng)r=1

時，un

可能收斂也可能發(fā)散。n=1定理5（比值判別法，達(dá)朗貝爾判別法）54例5．判定下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性。￥p3n=1n（

1）

2

tan

n

；nnu32

tanpp2n+1tannfi

￥

n解：∵lim

un+1

=limnfi

￥32pp3n+1

=

limn3n+1nfi

￥2=

3

<1

，￥55p3∴級數(shù)

2n

=1ntan

n

收斂。￥

5

nn=1

n（

2

）

5

；unnfi

￥5

n解：∵

lim

un+1

=

limn+1

5nfi

￥

(n+1)5

5n（

3）

￥n=12

5

8(3n

-1)，1

5

9(4n

-

3)3n解：∵

lim

un+1

=

lim

3n+2nfi

￥u

n

=

<1

，fi

￥

4n+1

4∴原級數(shù)收斂。n+1=

lim

5(

n

)5

=5>1,nfi

￥￥

5n56n=1n∴級數(shù)

5

發(fā)散。例6．討論級數(shù)￥nxn

!(

)nn

=1(x

>0)的收斂性。x

nunn

!(

)nx

)n+1nfi

￥

nfi

￥(n+1)!(exxnfi

￥1

n(1+

n

)∵

lim

un+1=

lim

n+1

=

lim=

，e∴當(dāng)

x<e

，即

x

<1

時，級數(shù)收斂；e57當(dāng)x>e

，即x

>1

時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=e

時，比值法失效。n=(1+

1

)n(1+

1

)nen

nxun∵

(1+

1

)n

<e

，∴

un+1

=>1

(n=1,

2,

3,

,)

，故lim

un

?0

，所以級數(shù)也發(fā)散。nfi

￥un

un58nfi

￥例6說明，雖然定理3對于r=1的情形，不能判定級數(shù)的斂散性，但若能確定在lim

un+1

=1

的過程中，un+1總是從大于1的方向趨向于1，則也可判定級數(shù)是發(fā)散的。定理6（根值判別法，柯西判別法）￥n=1nfi

￥設(shè)un

為正項(xiàng)級數(shù)，且lim

n

un

=r

，則￥（1）當(dāng)r<1時，un

收斂；n=1nfi

￥59￥n=1（2）當(dāng)r>1時（或lim

n

un

=+￥

）時，un

發(fā)散。（3）當(dāng)r=1時，不能判別。例7．判別下列級數(shù)的斂散性。（1）

￥n=1

(ln

2)narctan

n；1(

)2(ln2)p

0nnfi

￥n解：∵limnfi

￥arctannun

=

lim

n=

ln2

=ln2

>1

，∴

60￥n=1

(ln2)narctan

n發(fā)散。（2）(￥)

(a>0)ann+1n=1nnfi

￥

nfi

￥n+1

nfi

￥

n+1解：∵

lim

n

un

=

lim

n

(

an

)n

=

lim

an

=a

，∴當(dāng)a<1

時，級數(shù)收斂；當(dāng)a>1

時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)a

=1

時，根值判別法失效。e61nn+1n

1nfi

￥

(1+

1

)n)n

=

lim但∵lim

un

=lim(nfi

￥

nfi

￥=

1

?0

，∴當(dāng)a

=1

時，級數(shù)發(fā)散。3￥（

）

2n=1-n-(-1)n1nn=

lim

2nfi

￥n(-1)n-n-(-1)n

=

lim

2-1-nfi

￥解：∵lim

n

u=

2

<1

，￥nfi

￥∴

2n=1-n-(-1)

n收斂。可以證明，凡是能用比值判別法判定其斂散性的級數(shù)必能用根值判別法判別其斂散性，反之未必。n+162=

lim

2-1+2(-1)nfi

￥2-n-(-1)n2-(n+1)-(-1)n+1對上例：lim

n+1

=

limnfi

￥

nfi

￥unu不存在，可見比值判別法失效。作

業(yè)習(xí)題二（P16）1（2）（3）（5）；2（2）（4）；3（2）（3）；4（1）（3）（5）（7）（9）；7

；8

（參見習(xí)題課教程P181）；9。63￥￥二、變號級數(shù)及其判斂法（一）交錯級數(shù)及其判斂法形如(-1)n-1

un

=u1

-u2

+u3

-u4

++(-1)n-1

un

+,n=1其中(un

>0,n=1,2,)的級數(shù)稱為交錯級數(shù)。定理6（萊布尼茲判別法）若交錯級數(shù)

(-1)n

-1

un

(un

>0)滿足條件：n

=1（1）un

?un+1（2）

lim

un

=0(n=1,2,)

；；nfi

￥則該交錯級數(shù)收斂，且其和S

￡u1

，余項(xiàng)rn

滿足rn

￡un+1

。￥（1）

(-1)n=1n-11n1+n

n+1解：∵un

=1

>=un

1

(n=1, 2,

)

，nfi

￥

nnfi

￥且

lim

un

=

lim

1

=0

，￥n-1

1∴(-1)

n

收斂。n=1例1．判定下列交錯級數(shù)的斂散性：￥n=12n2（2）

(-1)n+1

n

!n

n

nnfi

￥

nfi

￥1

2n2

2=

lim

2nfi

￥n!解：∵

lim

un

=

lim

2n

2=￥

，￥2n2∴(-1)n+1

發(fā)散。￥2n=1（

3）

(-1)n=1nn!n-1

2n

-1解：設(shè)f

(x)=2

x-1

，則f

(n)=un

=2n-1

，x

2

n2x

3∵

f

￠(

x)=

2(1-

x)

￡0 (

x￡1

)

，自習(xí)n2nfi

￥

nfi

￥又∵lim

un

=lim

2n-1=0

，￥2∴級數(shù)

(-1)n=1nn-1

2

n

-1收斂?！?/p>

f

(

x)

在[1,

+￥

)

內(nèi)單調(diào)減少，2+

n

即

un

?un+1

(n=1,

2, 3

,

)

，從而{f

(n)}=

2n-1

(n?

N)單調(diào)減少。判定{un}單調(diào)減少的方法：un差值法：判定un+1

-un

￡0

；比值法：判定un+1

￡1

；（3）導(dǎo)數(shù)法：設(shè)un

=f

(n)，判定在[a,+￥

)內(nèi)f

￠(x)￡0

，從而f

(x)fl

，則當(dāng)n

足夠大時，un+1

￡un

。（二）絕對收斂與條件收斂1．絕對收斂n

=1若級數(shù)

un￥

￥收斂，

則稱原級數(shù)

un

絕對收斂。n

=1￥

￥定理

7

若

un

收斂，則un

必收斂。n=1

n=1￥￥n=1un

=u1

+u2

+u3

++un

+

（1）n=1

un

=

u1

+

u2

+

u3

++

un

+

（2）￥

￥

un

收斂

un

收斂；n=1

n=1￥

￥但

un

收斂

un

收斂；n=1

n=1￥例如：(-1)n=1n-1

1n收斂，但￥n=11n發(fā)散。￥n=1若用比值判別法或根值判別法判斷出

un發(fā)散時，

￥則可斷定un

也發(fā)散。n=1￥4例2.證明級數(shù)n=1nsin

na絕對收斂。證明：∵

sinna

￡

1

，n4

n4￥4∴

n=1nsin

n

a也收斂，

￥4故n=1nsin

na絕對收斂。而p

級數(shù)￥1n=1n4

收斂，￥22例3.判別級數(shù)

(-1)n=1n(

n-1)n

2n

的斂散性。￥22解：

(-1)n=1

2n=1￥

n2n(n-1)

2nn

=

n

，22nfi

￥n

=

lim∵

limnfi

￥(n

n

)2

1n

n2=

2

<1

，n=12￥

n2￥22∴

n

收斂，故(-1)n=1n(n-1)

2nn

絕對收斂。2．條件收斂￥

￥n=1若級數(shù)

un

發(fā)散，但級數(shù)

un

收斂，￥n=1則稱級數(shù)un

為條件收斂。n=1例4.判別下列級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂。（1）nna(-1)

(1-￥n=1cos

)（常數(shù)a>0

）n解:設(shè)un

=(-1)n

(1-cosa

)，a當(dāng)nfi

￥

時，un

=1-cos

n

～12a

2，n2故nna(-1)

(1-cos￥n=1)絕對收斂。2121-cosanfi

￥∵lim

n

=a

，而￥n21n=1

n2

收斂，∴￥a(1-cosn=1n)收斂，∴

￥n=1lnnnn

ln

n￥n=1（

2）

(-1)nn

lnn￥n=1也發(fā)散，故(-1)n非絕對收斂。設(shè)f

(x)=ln

x

，x￥￥=解：

(-1)n=1n=1nlnnnn

lnn，nnfi￥

nfi

￥n1lnn∵

lim￥1n=1n=

lim

lnn=+￥

，而

發(fā)散，2x1

x

-

ln

x∵

f

￠(

x)=

xx

=

2-ln

x

<0, (

x>e2

)

，2

x

x∴f

(x)=ln

x

在(e

2

,+￥

)內(nèi)單調(diào)減少，x

n

故{f

(n)}=

lnn

當(dāng)n?8

時也單調(diào)減少，1x1又∵

lim

ln

x

=

lim=

limxfi

+￥

xxfi

+￥

x

xfi

+￥nfi

￥

n2

=0

，∴l(xiāng)im

lnn

=0

。由

Leibniz

法可知，nn

lnn2

x￥n=1(-1)收斂，且為條件收斂。nn=1

n=1n

n

n￥

￥

￥n=1證：（

1）∵a

2

和b

2

都收斂，∴(a

2

+b

2

)也收斂?！?/p>

a

2

+b2

?2

a

b

?0

，n

n

n

n￥∴

由比較判別法知2

anbn

收斂，￥n=1n=1再由級數(shù)的性質(zhì)

1

得

anbn

收斂。￥

￥n=1

n=1n

n例5．如果a2

和b2

都收斂，證明下列級數(shù)都收斂：2n=1

n=1￥

￥（1）

anbn

；

（2）

(an

+bn

)￥n=1an；（3）

n

。n

n￥

￥n=1

n=1（2）∵

(an

+bn

)2

=

(a

2

+b

2

+2anbn

)

，￥

￥n=1

n=1n

na2

和b2

都收斂，￥n=1￥又由（1）知2anbn

絕對收斂，∴由級數(shù)的性質(zhì)2可知(an

+bn

)2

收斂。￥

￥

￥n=11n=1

n=1

n=1n

nn2（3）∵a2

和b2

=都收斂，￥

￥n=1n=1an∴由（1）得

anbn

=

n

收斂。￥n=1n（1）設(shè)常數(shù)l>0

，且級數(shù)a2

收斂，￥則級數(shù)(-1)n=1nn2

+lan（）（A）發(fā)散；（B）條件收斂；（C）絕對收斂；（D）斂散性與l

有關(guān)。例6．選擇題￥解：為了把(-1)n=1nn2

+lan￥2n=1與an

聯(lián)系起來，2利用不等式ab

￡1(a2

+b2

)，1n2

+l=

an2

+lnan(-1)n212n2nnn2

+l￡1(a2

+)<1(a2

+

1

)

，2∵an

與￥

￥1n=1

n2

收斂，∴11222n=1￥n=1nn(a

+)收斂，從而￥2(-1)n=1nn

+lan絕對收斂，故應(yīng)選（

C

）。￥

￥n=1

n=1（2）若級數(shù)an

與bn

都發(fā)散，則（）￥

￥￥（A）

(an

+bn

)發(fā)散；n=1（C）

(an

+bn

)發(fā)散；￥（B）

anbn

發(fā)散；n=1（D）

(an2

+bn2

)發(fā)散。￥

￥n=1

n=1￥否則，由

an

￡

an

+

bn

就推出an

收斂，n=1與題設(shè)矛盾，則應(yīng)選（C）。n=1

￥

n=1n=1解：∵

an

與

bn

都發(fā)散，

∴

(

an

+

bn

)

必發(fā)散。（A）、（B）、（D）不對。例如：n=1與1

1n￥

￥n=1n(-)都發(fā)散，￥

￥1

1n=1n=1n

n但

(

-

)=

0

收斂；￥￥211

1( )

(-

)=-n=1n=1nn

n收斂；￥￥221

2

1

2(

)

+(-

)

=n=1n=1nnn收斂。n（3）設(shè)

un

=(-1)n

ln(1+

1

)

，則級數(shù)（

）n=1￥

￥n=1n（A）

un

與u2

都收斂；￥

￥n=1

n=1n（B）

un

與u2

都發(fā)散；n=1￥

￥n=1n（C）

un

收斂而u2

發(fā)散；n=1￥

￥n=1n（D）

un

發(fā)散而u2

收斂。￥11)>ln(1+解：un

是交錯級數(shù)，ln(1+n=1n+1n)

，1nlim

ln(1+nfi

￥￥)=0

，則un

收斂。n=1nnn

n當(dāng)nfi

￥

時，

u2

=ln2

(1+

1

)

～

(

1

)2

=

1

，而￥n=11n發(fā)散，則￥2n=1

nu

發(fā)散。故應(yīng)選（C）。￥n=1例7．設(shè)正數(shù)列{un

}單調(diào)減少，且級數(shù)(-1)n

un

發(fā)散，試證￥1n=1nnu

+1(

)

收斂。nfi

￥證：∵正數(shù)列{un

}單調(diào)減少，un

?0

，∴{un

}必收斂，設(shè)lim

un

=A

，則A?0

。￥n=1∵(-1)n

un

發(fā)散，∴l(xiāng)im

un

=A?0

，否則與Leibniz

判別法矛盾。11

1A+1nfi

￥

un

+1)n

=

lim

=un

+1nfi

￥∵

lim

n

(nfi

￥<1

，∴￥+11n=1nnu(

)

收斂。例8.數(shù)項(xiàng)級數(shù)判斂法的思維程序￥已給級數(shù)un

(1)n=1nfi

￥lim

un

=0

?否(1)發(fā)散(1)是否為正項(xiàng)級數(shù)否(1)是否為交錯級數(shù)否定義法或絕對收斂判別法是是分析通項(xiàng)特點(diǎn)比較判別法比值判別法根值判別法積分判別法是萊布尼茲判別法極限式直截式作

業(yè)習(xí)題二（P17）5（1）（3）（5）（7）（8）（9）；6

；10

。1．反常積分無界函數(shù)的反常積分復(fù)習(xí)：

無窮限的反常積分2．P

積分89(a>0)+￥a

dx

x

p當(dāng)p>1時收斂；當(dāng)p￡1時發(fā)散。（上冊P203

例5）3.

q

積分

b

dx

及

b

dx

(a<b)a

(

x-a)q

a

(b-

x)q當(dāng)q<1時收斂；當(dāng)q?1

時發(fā)散。（上冊P204

例8P205

習(xí)題十，2則（1）當(dāng)+￥ag(x)dx

收斂時，+￥

f

(x)dx

也收斂；a（2）當(dāng)+￥af

(x)dx

發(fā)散時，+￥ag(x)dx

也發(fā)散。法1：利用反常積分的定義。法2：利用反常積分的判斂法。定理1(比較判別法)設(shè)

f

(

x),

g(

x)?C[a,+￥

)，且0

￡

f

(

x)

￡

Mg(

x)

（

x?[a,+￥

)

）§6.2

反常積分判斂法9091-x+￥02e dx

稱為概率積分，利用重積分的知識可得2

p2+￥0e

dx

=-x。例1

試證概率積分+￥02e

dx-

x收斂。+￥11022e

dxe dx

+-

x-

x證+￥02e

dx

=-

x定積分+￥12-

x+￥1+￥1=e-1

,收斂，e-

x

dx

=

-e-

x當(dāng)x

?

[1,+￥

)時，2e-

x

￡

e-

xe

dx收斂。

概率積分+￥02e

dx-

x收斂。例2．判別下列反常積分的斂散性：（1）dx+￥1x21sin解：∵

0<sin

1

<

1

，而x2

x2x

2+￥11

dx

收斂，∴1sinx

2+￥1dx

收斂。（2）+￥01+

x

sin

x

dx

解：∵

1

1

1+

x

sin

x

1+

x? >0

，而=+￥+￥0+￥0=ln(1+

x

)

dx

1+

x，∴+￥0

dx

1+

x發(fā)散，故+￥01+

x

sin

x

dx

也發(fā)散。92定理2(極限判別法)設(shè)

f

(

x)?C[a,+￥

)

，

f

(

x)?0

，且

lim

x

p

f

(

x)=l

，則xfi

+￥（1）當(dāng)p>1

，0￡l

<+￥

時，+￥af

(x)dx

收斂；（2）當(dāng)p￡1

，0<l

￡+￥

時，+￥af

(x)dx

發(fā)散。由于+￥a

dx

x

p(a>0)當(dāng)p>1時收斂；當(dāng)p￡1時發(fā)散，因此x

p93在定理

1

中取

g(

x)=

1

，即可得反常積分的極限判別法。（1）+￥1x

arctan

xdx解：∵23

x4

+15x43

x4

+1xfi

+￥

3

1+

1lim

x

6xfi

+￥x

arctan

x

=

lim

arctan

x

=p

，6

25p(

p=

<1,