函數(shù)的單調(diào)性

§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性銅陵五中程長(zhǎng)玲一.新課引入：首先觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象，找出它們的函數(shù)值隨自變量x變化的規(guī)律。(1).(2).xyoyxo1.從左至右圖象————

2.在區(qū)間

(-∞,+∞)上，隨著x的增大，f(x)的值隨著

————

上升增大1.從左至右圖象————

2.在區(qū)間

(-∞,+∞)上，隨著x的增大，f(x)的值隨著

————

下降減小2xy=oxyx2f(x2)x1f(x1)x1f(x1)x2f(x2)即0<x1<x2時(shí),有f(x1)<f(x2),即x1<x2<0時(shí),有f(x1)>f(x2),f(x)在(－∞,0)上是減函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上是增函數(shù)學(xué).科.網(wǎng)

在某一區(qū)間內(nèi)，圖象在逐漸上升；——當(dāng)x的值增大時(shí),函數(shù)值y也增大在某一區(qū)間內(nèi)，圖象逐漸下降——當(dāng)x的值增大時(shí),函數(shù)值y反而減小。對(duì)區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)都設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.定義任意如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，<

D稱(chēng)為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大圖象在區(qū)間D逐漸上升0x1f(x1)f(x2)121y二.探索新知那么就說(shuō)在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，D稱(chēng)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類(lèi)比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù).xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間DI.如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，那么就說(shuō)在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增

函數(shù)，D稱(chēng)為f(x)的單調(diào)區(qū)間.增當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，<當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，>單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性。（1）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì);注意：判斷1：函數(shù)f(x)=x2在是單調(diào)增函數(shù)；xyo（2）

x1,x2取值的任意性判斷2：定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)>f(1)，則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；yxO12f(1)f(2)解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.

如圖是定義在閉區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

其中y=f(x)在區(qū)間[－2，1)，[3，5]上是增函數(shù)；說(shuō)明:1.區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫(xiě)開(kāi)寫(xiě)閉均可.2.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：從左向右看圖象的升降情況在區(qū)間[－5，－2），[1，3)上是減函數(shù).-432154312-1-2-1-5-3-2xyO質(zhì)發(fā)疑展答思辯維三.范例講解練一練根據(jù)下圖說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).

2544xyO-1321解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在區(qū)間[0，2)，[4，5]上是增函數(shù)；在區(qū)間[－1，0），[2，4)上是減函數(shù).例2、物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明:12341.設(shè)量(自變量);2.作差變形;3.判斷;4.結(jié)(論)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟：（1）設(shè)量:在所給區(qū)間上任意設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)（2）作差（3）變形

作差：常通過(guò)“因式分解”、“通分”、“配方”等手段將差式變形為因式乘積或平方和形式

判斷的符號(hào)（4）結(jié)論:并作出單調(diào)性的結(jié)論證明函數(shù)在R上是減函數(shù).即∵∴

∴

練一練.利用定義：證明：設(shè)是R上任意兩個(gè)值，且，∴函數(shù)

在R上是減函數(shù)．則？畫(huà)出函數(shù)圖象，寫(xiě)出定義域并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間：xy_____________,討論：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義拓展探究yOx

在(0,+∞)上任取

x1、x2

當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)

f(x2)>yOx-11-11

取自變量－1<

1，而f(－1)f(1)∴不能說(shuō)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù)要寫(xiě)成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。<逗號(hào)隔開(kāi)鞏固設(shè)量判斷差符號(hào)作差變形下結(jié)論四.課堂小結(jié)1.兩個(gè)定義：增函數(shù)、減函數(shù)的定義；②(定義法)證明函數(shù)單調(diào)性，步驟:①圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：增函數(shù)的圖象從左到右減函數(shù)的圖象從左到右上升下降3.一個(gè)數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合2：兩種方法如何確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？選做題：作業(yè):（必做）課本39頁(yè)A組第1、2題五.布置作業(yè)謝謝！鞏固練習(xí)1、定義在R上的函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)總有成立，則必有（

）A、函數(shù)是先增加后減少B、函數(shù)是先減少后增加C、在R上是增函數(shù)D、在R上是減函數(shù)2．函數(shù)y＝－6x＋10在區(qū)間（2，4）上是（）A．遞減函數(shù) B．遞增函數(shù)C．先遞減再遞增 D．選遞增再遞減．3．設(shè)函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，又若aR，則 （

）A．f(a)>f(2a) B．f()<f(a)C．f(+a)<f(a) D．f(

+1)<f(a)cc