第二講多項(xiàng)式

第二講 多項(xiàng)式

【知識概述】 多項(xiàng)式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分，它在理論上和方法上對現(xiàn)代數(shù)學(xué)都有深刻的影響．與多項(xiàng)式有關(guān)的問題除了出現(xiàn)在函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)領(lǐng)域中，還涉及到幾何、數(shù)論等知識，是一個(gè)綜合性的工具，也是自招與競賽中的熱點(diǎn)問題．

本講共分為三個(gè)模塊，分別介紹了多項(xiàng)式的除法、余式與因式定理和有理根定理及其應(yīng)用．這些定理是代數(shù)理論中十分重要的工具，能夠有效地解決因式分解和代數(shù)式化簡求值等問題，需要學(xué)生熟練應(yīng)用與掌握．

【知識結(jié)構(gòu)】

模塊一多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式【知識精要】多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式：

兩個(gè)多項(xiàng)式相除，可以先把這兩個(gè)多項(xiàng)式按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個(gè)多位數(shù)相除的計(jì)算方法，用豎式進(jìn)行計(jì)算．

多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的一般步驟：

（1）把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊；

（2）用除式的第一項(xiàng)去除被除式的第一項(xiàng)，得商式的第一項(xiàng)；

（3）用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項(xiàng)對齊），從被除式中減去這個(gè)積；

（4）把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)為止，被除式除式商式余式．

如果一個(gè)多項(xiàng)式除以另一個(gè)多項(xiàng)式，余式為零，就說這個(gè)多項(xiàng)式能被另一個(gè)多項(xiàng)式整除．例：計(jì)算

所以商式為，余式為．

注意以下幾點(diǎn)：

（1）列豎式計(jì)算時(shí)，按某一個(gè)字母作降冪排列，所缺的項(xiàng)需要用零補(bǔ)齊；

（2）目前我們所學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式情況均為一元多項(xiàng)式相除．

當(dāng)除式、被除式都按照降冪排列時(shí)，各項(xiàng)的位置就可以表示所含字母的次數(shù)．因此，計(jì)算時(shí)只需寫出系數(shù)，算出結(jié)果后，再把字母和相應(yīng)的指數(shù)補(bǔ)上去．這種方法叫做分離系數(shù)法．按照分離系數(shù)法，上面例題的計(jì)算過程如下：于是得到商式為，余式為．

【典型例題】用列豎式的方法計(jì)算：

（1）；

（2）．

【名師點(diǎn)撥】考察多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，用列豎式的方法計(jì)算的時(shí)候，注意缺項(xiàng)補(bǔ)齊，余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)，也可以用分離系數(shù)法簡便計(jì)算．

【答案】（1）；（2）．【解析】（1），；（2），．（1）已知能被整除，求k的值；

（2）若能被整除，試求的值；

（3）當(dāng)a、b為何值時(shí)，多項(xiàng)式有因式和．

【名師點(diǎn)撥】考查整式的除法，關(guān)鍵是理解整除的含義，比如B被A整除等價(jià)于A是B的一個(gè)因式，利用乘法是除法的逆運(yùn)算來進(jìn)行解答，往往需要用到待定系數(shù)法．

【答案】（1）；（2）16；（3）．

【解析】（1）解法一：，對比系數(shù)得，即；

解法二：設(shè)，

即，比較系數(shù)得，解得，所以；解法三：因?yàn)槟鼙徽院幸蚴?，即?dāng)時(shí)，，代入得，解得；

（2）解法一：因?yàn)榭梢员徽?，不妨設(shè)：

，展開得到

，對比系數(shù)可得，解出，因此；

解法二：因?yàn)槟鼙徽?，所以?dāng)時(shí)，

，代入得到，即，

故；

（3）解法一：因?yàn)槎囗?xiàng)式有因式和，不妨設(shè)：

，展開得到：

，對比系數(shù)可得，解出，因此；

解法二：由題意可知，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

聯(lián)立解出．

已知關(guān)于x的三次多項(xiàng)式除以時(shí)，余式是；除以時(shí)，余式是，求這個(gè)三次多項(xiàng)式．

【名師點(diǎn)撥】利用被除式除式商式余式的關(guān)系來解．

【答案】．

【解析】設(shè)這個(gè)三次多項(xiàng)式為，因?yàn)檫@個(gè)三次多項(xiàng)式分別除以和，故可以設(shè)兩個(gè)商式為：和，由題意得：

···①

···②

在①式中分別取，，得，；

在②式中分別取，，得，；

解出，，，，

所以這個(gè)三次多項(xiàng)式為．求被除所得的余式．

【名師點(diǎn)撥】按照一般的思路可用豎式進(jìn)行計(jì)算，但是被除式缺項(xiàng)較多，補(bǔ)項(xiàng)較為繁瑣，此時(shí)可仿照同余的思想進(jìn)行解答，巧妙地應(yīng)用乘法公式．

【答案】6．

【解析】因?yàn)槭堑囊蚴?，所以也是的因式?/p>

則，

因此被除所得的余式是6．模塊二 余式與因式定理【知識精要】

形如（n為非負(fù)整數(shù)，）的代數(shù)式叫做關(guān)于x的一元n次多項(xiàng)式．稱為多項(xiàng)式的系數(shù)，n稱為此多項(xiàng)式的次數(shù)． 對于任意兩個(gè)多項(xiàng)式，（），總存在兩個(gè)多項(xiàng)式和，使得，其中叫做被除式，叫做除式，叫做商式，叫做余式，余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)．當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)稱作被整除，或被整除，和叫做的因式．

如果是一次式，則的次數(shù)小于1，因此，只能是常數(shù)（0或非零常數(shù)），這時(shí)，余式也叫余數(shù)，記為r，即有；

令得，；因此，有以下重要定理：

余數(shù)定理 多項(xiàng)式除以所得的余數(shù)等于．

由上述可知，如果能被整除，那么必有，反之，如果，那么能被整除，因此，得到以下重要定理：

因式定理 如果多項(xiàng)式能被整除，亦即有一個(gè)因式，那么，反之，如果，那么必為多項(xiàng)式的一個(gè)因式．

幾個(gè)推論：

（1）若是整系數(shù)多項(xiàng)式，則除以所得的商也是整系數(shù)多項(xiàng)式，余數(shù)為整數(shù)；

（2）若為整系數(shù)多項(xiàng)式，a、b為不同整數(shù)，則；

（3）除以（）的余數(shù)為．

【典型例題】若可被整除，求．

【名師點(diǎn)撥】由可被整除知可被和整除，故可利用因式定理確定p、q、a之間的關(guān)系，再代入求值．

【答案】0．

【解析】能被整除，

，

即，

①②得，，，

故．設(shè)a，b，c，d是4個(gè)不同實(shí)數(shù)，是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，已知：

（1）除以的余數(shù)為a；

（2）除以的余數(shù)為b；

（3）除以的余數(shù)為c；

（4）除以的余數(shù)為d；

求多項(xiàng)式除以的余式．

【名師點(diǎn)撥】首先利用余數(shù)定理將條件轉(zhuǎn)化，再通過構(gòu)造一個(gè)新多項(xiàng)式，使得它能被整除，再確定出與的關(guān)系．

【答案】余式為x．

【解析】根據(jù)余數(shù)定理，除以的余數(shù)為a，故，

同理有，，，，

考慮多項(xiàng)式，則有，，，，

由因式定理，含有因式，

而，故多項(xiàng)式除以的余式為x．設(shè)式中各系數(shù)（）都是整數(shù)，今設(shè)有四個(gè)不同的整數(shù)使（）都等于2，試證：對于任何整數(shù)x，決不等于1，3，5，7，9中的任何一個(gè)．

【名師點(diǎn)撥】利用余數(shù)定理找到的部分因式再利用其形式推出矛盾．

【答案】略．

【解析】根據(jù)余數(shù)定理，有

（1），

其中是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，或者是一個(gè)整數(shù)，

無論x等于什么整數(shù)，，，，，總是整數(shù)，且前四者互不相同，所以（1）式右邊至少有四個(gè)不同的因數(shù)，

但是1，3，5，7，9減2分別為，1，3，5，7；不可能是四個(gè)不同的因數(shù)的乘積，因此決不等于1，3，5，7，9中的任何一個(gè)．已知有整系數(shù)的多項(xiàng)式，又已知存在四個(gè)不同的整數(shù)a，b，c，d，使得，證明沒有整數(shù)k，使得．

【名師點(diǎn)撥】構(gòu)造新的多項(xiàng)式則它一定含有因式，設(shè)出新多項(xiàng)式的形式再據(jù)此推出矛盾．

【答案】略．

【解析】由已知條件，可設(shè)

，

其中，其中是整數(shù)，

如果存在整數(shù)k，使得，那么，

于是，四個(gè)整數(shù)，，，中至少有三個(gè)的絕對值都等于1，因而至少有兩個(gè)相等，與a，b，c，d是四個(gè)不同的整數(shù)矛盾，故命題得證．模塊三 有理根定理及其應(yīng)用【知識精要】 有理根定理 若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而是的一個(gè)有理根，其中r、s互質(zhì)，那么必有，；特別地，如果的首項(xiàng)系數(shù)，那么的有理根都是整根，而且是的因子．

推論：若是一個(gè)次數(shù)n大于0的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果是的一個(gè)有理根，其中r、s是互質(zhì)的整數(shù)，那么，．

有理根定理的一個(gè)常見應(yīng)用即是利用這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行試根，結(jié)合因式定理對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，具體步驟如下：對于一個(gè)整系數(shù)一元高次多項(xiàng)式，找到的所有因數(shù)；將所有因數(shù)依次代入多項(xiàng)式，若存在一個(gè)因數(shù)a，使得，則a為多項(xiàng)式的一個(gè)根；由因式定理可知，必有一個(gè)因式為，因此可寫為；對于多項(xiàng)式可以繼續(xù)利用試根法進(jìn)行因式分解，也可利用其它方法進(jìn)行因式分解，最終將因式分解．

【典型例題】分解因式：．

【名師點(diǎn)撥】用試根法進(jìn)行因式分解．

【答案】．

【解析】根據(jù)有理根定理，可知多項(xiàng)式的有理根只可能是，，，，

因?yàn)楫?dāng)，，時(shí)，，

所以必含有因式，

．已知定理：設(shè)，是整系數(shù)多項(xiàng)式，且的系數(shù)互質(zhì)，如果，其中是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么一定是整系數(shù)多項(xiàng)式，請證明有理根定理及其推論．

【名師點(diǎn)撥】已知有理根，可將寫成一次因式和一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積形式，展開后對應(yīng)系數(shù)，即可證明．

【答案】略．

【解析】因?yàn)槭堑囊粋€(gè)有理根，因此在有理數(shù)范圍內(nèi)，

從而，因?yàn)閞、s互質(zhì)，由題設(shè)定理可知，

，式中都是整數(shù)，

令，比較兩邊系數(shù)，

即得，，因此，，

將，代入上式得，，

，．設(shè)為n次整系數(shù)多項(xiàng)式，若、和都為奇數(shù)，證明：無有理根．

【名師點(diǎn)撥】利用反證法證明．

【答案】略．

【解析】假設(shè)是它的有理根，其中p、q為整數(shù)且最大公約數(shù)，于是有

，其中是整系數(shù)多項(xiàng)式，

因?yàn)?，，且、都是奇?shù)，故p、q為奇數(shù)，

故為偶數(shù)，為偶數(shù)，與題設(shè)矛盾，

故無有理根．證明：若整系數(shù)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為奇數(shù)，而q為偶數(shù)，則（p、q為整數(shù)）不是的有理根．

【名師點(diǎn)撥】反證法．

【答案】略．

【解析】設(shè)是的有理根，則，

，其中是整系數(shù)多項(xiàng)式，

于是有，

設(shè)，令，則有

，

又因?yàn)槭瞧鏀?shù)，為偶數(shù)，在上式中，等號左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，矛盾，故假設(shè)不成立．

求整系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根．

【名師點(diǎn)撥】考查有理根定理及其推論．

【答案】1和．

【解析】，故的有理根都是整數(shù)，且都是的因子，

故可能的有理根是，，，，

又，，所以1是的根，不是的根，

又，，，，

，所以2，，不是的有理根，

將代入求得，

故的有理根只有1和．【課堂練習(xí)】（20分）已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求m的值． 【名師點(diǎn)撥】考查因式定理．

【答案】．

【解析】因?yàn)槎囗?xiàng)式有一個(gè)因式是，故該多項(xiàng)式有一個(gè)根，

即，

解得，．

（20分）分解因式：．

【名師點(diǎn)撥】試根法．

【答案】．

【解析】由有理根定理，有理根可能為，，，，，，

代入可知，，且顯然任意使得多項(xiàng)式為負(fù)，故不可能為有理根，

，，，

而，，故只有一個(gè)有理根，

不妨設(shè)，

展開后對應(yīng)系數(shù)可求得，

．（20分）（1）求多項(xiàng)式除以的商式和余式；

（2）求多項(xiàng)式除以的商式和余式．

【名師點(diǎn)撥】考查多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式．

【答案】（1）商式，余式；（2）商式，余式．

【解析】（1）用分離系數(shù)法解答如下：所以商式為，余式為；

（2）用分離系數(shù)法解答如下：

故商式為，余式為．（20分）已知能被整除，求a、b的值．【名師點(diǎn)撥】考查含有參數(shù)的整式除法．

【答案】，．【解析】由于能被整除，不妨設(shè)：，

展開得到，對比系數(shù)可得，解出．（20分）已知關(guān)于x的方程的左邊能被整除，而被除所得余數(shù)為72，則這個(gè)方程的所有的解（按從小到大的順序）是_______________．

【名師點(diǎn)撥】利用余數(shù)定理和因式定理解出a、b的值．

【答案】、1、2、4．

【解析】令，

由題意得，，即，

解出，

故原方程為，即，

這個(gè)方程所有解（從小到大排列）是、1、2、4．【課后作業(yè)】（10分）（1）已知能被整除，求m的值；

（2）已知能被整除，求m、n的值．【名師點(diǎn)撥】考查多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，理解整除的含義．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）由于能被整除，因此當(dāng)時(shí)，，代入得，解出；

（2）由于能被整除，不妨設(shè)

，展開得到

，對比系數(shù)得，解出．（20分）（1）a、b為何值時(shí)，多項(xiàng)式有因式和；

（2）若被除時(shí)得到余式，求p、q．

【名師點(diǎn)撥】考查多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的應(yīng)用．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）由題意可知，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

聯(lián)立解出；

（2）不妨設(shè)，

展開得到.對比系數(shù)可得，解出，故，．（20分）分解因式：． 【