高中新課標《數(shù)學》（必修+選修）知識點總結

高中新學課習標及《數(shù)考學試》（資必料修整+選理修）匯知編識點總結

——備考沖刺篇一

（考點或配套習題突擊訓練專用）

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引言

1、課程內(nèi)容：

必修課程有2本書：

必修1：集合與常用邏輯用語、一元二次函數(shù)及方程和不等式、函數(shù)的概念與性質、指數(shù)函

數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù).

必修2：平面向量及其應用、復數(shù)、立體幾何初步、統(tǒng)計、概率.

以上是每一個高中學生所必須學習的.

上.述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、

函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、立體幾何初步、統(tǒng)計概率等.不同的是在保證打好基礎的同時，

進?步強調了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求.

選擇性必修課程有3本書：

選擇性必修一：空間向量與立體幾何、直線和圓的方程、圓錐曲線的方程.

選擇性必修二：數(shù)列、導數(shù)及其應用.

選擇性必修三：計數(shù)原理、隨機變量及其分布、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析.

2、重難點及考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)

難點：函數(shù)、圓錐曲線、導數(shù)

高考相關考點：

(1)集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件

(2)函數(shù)：函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、三大性質、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用

(3)數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應用

(4)三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證

明、三角函數(shù)的圖象與性質、三角函數(shù)的應用

(5)平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應用

(6)不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、不等式的應用

(7)直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、圓、直線與圓的位置關系

(8)圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓

錐曲線的應用

(9)直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、

空間向量

(10)排列、組合和概率：排列組合的應用、二項式定理及其應用

(11)概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

(12)導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用

(13)復數(shù)：復數(shù)的概念與運算

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高中數(shù)學必修1知識點

第一章集合與常用邏輯用語

K1.13集合

[1.1.11集合的含義與表示

1、集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

2、常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，H表示實

數(shù)集.

3、集合與元素間的關系

對象a與集合M的關系是aeM,或者。住M,兩者必居其一.

4,集合的表示法

(1)自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

(2)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，元素之間用逗號隔開，寫在大括號內(nèi)表示集

合.

(3)描述法：｛xx具有的性質｝,其中x為集合的代表元素.

(4)圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

5、集合的分類

(1)含有有限個元素的集合叫做有限集.

(2)含有無限個元素的集合叫做無限集.

(3)不含有任何元素的集合叫做空集(0).

[1.1.2)集合間的基本關系

1、子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質示意圖

(l)AcA

AqB

A中的任-元素都(2)0cJ

子集(或

屬于B(3)若4口8且則NQC

B2A)

(4)若力之8且8口力，則4=8或

AuBAqB,且B中至(1)0u/(A為非空子集)

真子集少有一元素不屬于

(或BnA)(2)若4u8且BuC,則ZuC

*A工工■

A中的任一元素都

集合(DAcB

A=B屬于B,B中的任一

相等(2)BcA

元素都屬于A

2、已知集合力有〃(〃21)個元素，則它有2"個子集，它有2"-1個真子集，它有2"-1個非

空子集，它有2"-2非空真子集.

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[1.1.3)集合的基本運算

1、交集、并集、補集

名稱記號意義性質示意圖

AHA=A

AQB*卜￡4且4n0=0

交集

xeB}JA5CJ0

A\JA=A

A\JB/,或A\J0=A

并集

xeB}JU52j

AUB^B0

4n

A\J(^,A)=U

{x|xet7,￡LxgJ}u

補集

照/DB)=(“4)U(03)Q

瘠(4U8)=(")n(4)

K1.23邏輯用語

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.

2、“若0,則g”形式的命題中的〃稱為命題的條件，夕稱為命題的結論.

3、若pnq,則〃是q的充分條件，夕是〃的必要條件.

若p<=>q，則p是q的充要條件(充分必要條件).

4、用聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，得到一個新命題，記作p/\q.

當p、q都是真命題時，pA4是真命題：當p、q兩個命題中至少有一個命題是假命

題時，pAg是假命題.

用聯(lián)結詞''或"把命題p和命題夕聯(lián)結起來，得到一個新命題，記作pvq.

當p、q兩個命題中至少有一個命題是真命題時，pvq是真命題：當p、夕兩個命題

都是假命題時，pvq是假命題.

對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作一9.若p是真命題，則-W必是假命

題；若p是假命題，則-W必是真命題.

5、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“V”表示.

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.

全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立)記作“VxcM,p(x)”.

短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“三”表示.含有存

在量詞的命題稱為特稱命題.

特稱命題“存在M中的一個X,使p(x)成立”，記作“3xeM,P(X)

6、全稱命題夕：VXGM.P(X),它的否定r?：3xeM,全稱命題的否定是特

稱命題.

特稱命題p：3X6M,p(x),它的否定F?：VxeM,「p(x).特稱命題的否定是全稱命

題.

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第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

K2.13一元二次函數(shù)

1、二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a*0)

②頂點式：/(x)=a(x-h)'+k(a*0)

③兩根式：/(x)=a(x-)(x-x,)(a*0)

(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②己知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求/(x)更方便.

2、二次函數(shù)圖象的性質

(1)二次函數(shù)/(x)=ax2+6x+c(a*0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x=一段",

2a

yj一口/b4ac—b~、

頂點坐標是（----,--------）.

2a4a

(2)當。>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(-8,一qT上遞減，在［-2,+8)上遞增,

2a2a

,,,4ac-t>2

當戶一工時，心(x)=M

當。<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在(—8,-2］上遞增，在［-2,用)上遞減,

2a2a

2

山b廠/、4ac-h

(3)二次函數(shù)/(X)=QX2+6X+C(QW0),當A=〃—4ac>0時，圖象與x軸有兩個交

點M&0),峪(馬叫MMH演一訃￡.

\a\

3、二次函數(shù)/(》)="2+法+。伍工0)在閉區(qū)間［小切上的最值

設/(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值為A7,最小值為加，令x()=g(p+g).

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(1)當。>0時(開口向上)

①若----<p,則加=f(7?)②若pW----Wq,則1TI—/(-----)③若---->q，

2a2a2a2a

①若----<p?則A/=f(p)②若pW-----Wq，則M=/(----)③若----->q，

2a2a2a2a

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K2.23一元二次方程

1、一元二次方程or?+fex+c=0(aX0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但

不夠系統(tǒng)和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理(韋達定理)

的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.

設一元二次方程。，+云+，=0(。40)的兩實根為王,與，且玉＜x2.

令f(x)=ax2+bx+c,

從以下四個方面來分析此類問題：

(1)開口方向：a：(2)對稱軸位置：x=-—(3)判別式：A；(4)端點函數(shù)值符號.

2a

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?kl<xl^x2<ki=

⑤有且僅有一個根為（或應）滿足AV*（或是）=f（kjf（k）<0,并同時考慮

AA,）=O或AA2）=0這兩種情況是否也符合

⑥k、<X\VkWp、VxSp：<=>此結論可直接由⑤推出.

K2.33一元二次不等式

1、一元二次不等式的解法

判別式

△>0A=0△<0

A=h2-4QC

4十卜

二次函數(shù)4

y=ax'+bx+c(a>0

的圖象

一元二次方程-b+\lb2-4ac

h

2

ax+bx+c=0(a>0)…二-五無實根

的根(其中占〈X2)

ax2+bx+c>0(〃>0)

{xIX<再或X>勺}R

2a

的解集

ax2+bx+cv0(a>0)

{x|x(<x<x2}00

的解集

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2,分式不等式的解法

4^>0o/(x)g(x)>0

先移項通分標準化，則，、、八("〈或4"時同理)

/(x)g(x)>0

g(x)[g(x)*o

規(guī)律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.

K2.42不等關系與不等式

1、不等式的基本性質

(1)(對稱性)a>bob<a

(2)(傳遞性)a>h,b>c=>a>c

⑶(可加性)a>b<^>a+c>b+c

(同向可加性)a>b,c>d=>a+c>b+d

(異向可減性)a>b,c<d^>a-c>b-d

(4)(可積性)a>b,c>0=>ac>be

a>c<0ac<be

(5)(同向正數(shù)可乘性)a>b>O,c>d>0=>ac>bd

(異向正數(shù)可除性)a>b>0,0<c<dnq>2

cd

(6)(平方法則)a>b>0=>，>6"(”wN,月.">1)

(7)(開方法則)a>b>0=>4a>^/b(neN,S.n>I)

(8)(倒數(shù)法則)a>/>>0=>-<-；?</><0=>->-J-

abab

K2.53基本不等式

1、重要不等式

(1)a2+b2>2ab(a,beH),(當且僅當a=6時取"="號).

2,f2

變形公式：ab<------.

2

2、基本不等式

—(a，beR],(當且僅當a=b時取到等號).

變形公式：a+b>2y/ah,ab<\----.

I2)

用基本不等式求最值時(積定和最小，和定積最大)，要注意滿足三個條件“一正、二定、

三相等”.

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(1)若ab>0,則2+022(當僅當a=b時取等號)

ab

若ab<0,則一2(當僅當@巾時取等號)

ab

,c、bb+m.a+na..,....

(2)—<-----<1<-----<—,其中伍>b>0,m>0,n>0)

aa+mb+nb

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.

第三章函數(shù)的概念與性質

［3.1］函數(shù)的概念

1、函數(shù)的概念

(1)設/、8是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則/,對于集合力中任何一個數(shù)X,

在集合8中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對應，那么這樣的對應(包括集合/,8以及/到

B的對應法則/)叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作/:f8.

(2)函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則.

(3)只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

2、區(qū)間的概念及表示法

設。力是兩個實數(shù)，且。<方，滿足aWxWb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做［a,6］；滿

足a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做①力)：滿足或a<xW/>的實數(shù)x

的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做［a,6),(。力］；滿足xZa,x>a,x46,x<6的實數(shù)x

的集合分別記做［a,+?),(a,+8),(-8,6］,(-8,6).

注意：對于集合“|。<工<6｝與區(qū)間(凡6),前者?？梢源笥诨虻扔凇ǎ笳弑仨?/p>

a<b.

3、求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

(1)/(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).

(2)/(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的?切實數(shù).

(3)/(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.

(4)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等

于1.

JI

(5)y=tanx中，x豐k兀+~^(kwZ).

(6)零(負)指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

(7)若/(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各

基本初等函數(shù)的定義域的交集.

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(8)對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知/(x)的定義域為［。,勿，其復合

函數(shù)/［g(x)］的定義域應由不等式“4g(x)4b解出.

(9)對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.

(10)由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)意義外，還要符合問題的實際意義.

4、求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值

域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值

域，其實質是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

(1)觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

(2)配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值

范圍確定函數(shù)的值域或最值.

(3)判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關于x的二次方程

a(y)x2+/>(y)x+c(j)=0>則在a(y)#0時，由于x,y為實數(shù)，故必須有

A=A2(y)--c(y)>0.從而確定函數(shù)的值域或最值.

(4)不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

(5)換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最

值問題轉化為三角函數(shù)的最值問題.

(6)反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值.

(7)數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

(8)函數(shù)的單調性法.

【3.2］函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表

示兩個變量之間的對應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

2、映射的概念

(1)設彳、8是兩個集合，如果按照某種對應法則/,對于集合力中任何一個元素，在

集合8中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應(包括集合/,8以及4到8的對應

法則f)叫做集合A到B的映射，記作/:4f8.

(2)給定一個集合彳到集合8的映射，且如果元素a和元素6對應，那么

我們把元素人叫做元素。的象，元素。叫做元素6的原象.

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[3.3]函數(shù)的基本性質

1、函數(shù)的單調性

(1)定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質

如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間上的任意兩個"y=f(X)/(2)利用已知函數(shù)

JJ

自變量的值X1、X2,當X1<的單調性

々時，都有！SRqq?),(3)利用函數(shù)圖象

(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)

°?x,xx象上升為增)

間上是承陽犯:

函數(shù)的(4)利用復合函數(shù)

單調性如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間上的任意兩個yy=f(x)(2)利用已知函數(shù)

的單調性

自變量的值XI、X.,,當X1<Rx)

(3)利用函數(shù)圖象

餐時，都有

(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)

0X.X：X象下降為減)

間上是遮利蒙.

(4)利用復合函數(shù)

(2)在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去

一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

(3)對于夏合函數(shù)y=/[g(x)],令"=g(x),若y=/(”)為增，"=g(x)為增，則

y=/[g(x)]為增；若y=/(〃)為減，"=g(x)為減，則y=/[g(x)]為增：若y=/(〃)為

增，“=g(x)為減，則y=/[g(x)]為減；若y=f(u)為減，u=g(x)為增，則y=/[g(x)]

為減.

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2、打"函數(shù)f(x)=x+q(a>0)的圖象與性質

X

/(X)分別在(一8,-&］、［J1+O0)上為增函數(shù)，分別在［-JZ,O)、(O,JZ］上為減函

(1)一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)“滿足：

①對于任意的XGI,都有/(x)<M；

②存在,使得〃Xo)=M.那么，我們稱M是函數(shù)/(x)的最大值，記作

/(x)a=M.

(2)一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)〃?滿足：①對于任意的xe/,

都有②存在使得/(Xo)=m.那么，我們稱〃，是函數(shù)/(x)的最小值,

記作/(x)min=〃?.

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4、函數(shù)的奇偶性

（1）定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質

如果對于函數(shù)的0定義域（1）利用定義（要

內(nèi)任意一個X,都有(a,f(a))先判斷定義域是否

f（-x）=-f（x）,那么函數(shù)關于原點對稱）

f（x）叫做奇函數(shù).oax（2）利用圖象（圖

象關于原點對稱）

(-a,f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對于函數(shù)耳X）定義域（1）利用定義（要

內(nèi)任意一個X,都有先判斷定義域是否

(-a.f(-a))(a.f(a))

f（-x）=Rx）,那么函數(shù)f（x）關于原點對稱）

叫做偶函數(shù).上（2）利用圖象（圖

-ao3X象關于y軸對稱）

（2）若函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，口在x=0處有定義，則/（0）=0.

（3）奇函數(shù)在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性

相反.

（4）在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩

個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇

函數(shù).

[3.4]一函數(shù)

1、耳函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做事函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).

3、恭函數(shù)的性質

（1）圖象分布：基函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)

時，圖象分布在第一、二象限（圖象關于），軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象

限（圖象關于原點對稱）：是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限.

（2）過定點：所有的基函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.

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(3)單調性：如果a>0,則幕函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+00)上為增函數(shù).如果a<0,

則事函數(shù)的圖象在(0,+8)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

(4)奇偶性：當a為奇數(shù)時，基函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，界函數(shù)為偶函數(shù).當a=2

P

ft

(其中p,q互質，p和qeZ),若p為奇數(shù)4為奇數(shù)時，則y=x0是奇函數(shù)，若p為奇

21

數(shù)(7為偶數(shù)時，則y=是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則y=x。是非奇非偶函數(shù).

(5)圖象特征：募函數(shù)y=x",xe(0,+oo),當a>l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x

下方，若X>1,其圖象在直線y=x上方，當a<l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x

上方，若x>l,其圖象在直線y=x下方.

［3,5］函數(shù)的圖象

1、作圖

(1)利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域：②化解函數(shù)解析式：

③討論函數(shù)的性質(奇偶性、單調性)：④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、轅函數(shù)、三角函

數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

(2)平移變換

=〃)〃>0,左移〃個單位=〃/}

)一“X)〃<0,右移川個單位,)一.仆+”)

=f(\A〉o,上移」個單位>_〃丫)+左

歹v一?/⑴x?<o,下移/個單位>卜v一八x)+&

(3)伸縮變換

y=/(x)T4y=/(?

y=/(x)―?；祚??y=

(4)對稱變換

y=f(x)“軸>y=-f(x)y=/(x)''軸>y=f(-x)

尸/(x)3Uy=-/(-x)

去掉V軸左邊圖象

y=fW保留,1，軸右邊圖象，并作其關Jy軸對稱圖象

V,/?()保留聞1/圖象_"()?

y-j⑴將x釉下方圖象翻折匕>歹t八X)?

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2、識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別對應的范圍、變化趨勢、對稱性等

方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系.

3、用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是

探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具,要重視數(shù)形結合解題的思想方法.

[3.6]函數(shù)的應用

1、函數(shù)零點的概念

對于函數(shù)》=/(x)(xW。)，把使/(x)=0成立的實數(shù)X叫做函數(shù)、=/(x)(xeD)的零

點.

2、函數(shù)零點的意義

函數(shù)y=/(X)的零點就是方程/(X)=O實數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(X)的圖象與X軸交點

的橫坐標.即：

方程f(x)=0有實數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點=函數(shù)y=f(x)有零點.

3、函數(shù)零點的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點：

(1)(代數(shù)法)求方程/5)=0的實數(shù)根；

(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，

并利用函數(shù)的性質找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ax2++c(a#0).

(1)A>0,方程a?+bx+c=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，

二次函數(shù)有兩個零點.

(2)△=0,方程以2+/?x+c=0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有

一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

(3)△<0,方程ax?+bx+c=0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)

無零點.

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

[4.1]指數(shù)與指數(shù)幕的運算

1、根式的概念

(1)如果x"=a,a,且“GN+，那么x叫做a的〃次方根.當〃是奇

數(shù)時，。的〃次方根用符號標表示；當〃是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的〃次方根用符號標表

示，負的〃次方根用符號-，■表示；。的〃次方根是0；負數(shù)。沒有〃次方根.

(2)式子標叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).當〃為奇數(shù)時，。為任

意實數(shù)；當〃為偶數(shù)時，a>0.

(3)根式的性質：(布)"=a；當〃為奇數(shù)時，歸=a；當〃為偶數(shù)時，

=\a\=\a(a>0)

\~a(?<0)

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2、分數(shù)指數(shù)慕的概念

（1）正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)事的意義是：。7="（。>0,，〃,〃€乂,且〃>1）.0的正分數(shù)指

數(shù)耗等于0.

（2）正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)基的意義是：J=（_!_）；，（_1）”（q>o,孫〃€乂,且〃>1）.

aVa

0的負分數(shù)指數(shù)塞沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

3、分數(shù)指數(shù)幕的運算性質

(1)ar-a'=ar+s(a>Q,r,se/?)(2)(/)'=d(a>0,r,seH)

(3)(ab)r=abr(a>0,b>0,reR)

[4.2]指數(shù)函數(shù)及其性質

4、指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)歹=。'（。>0且叫做指數(shù)函數(shù)

67>10<?<1

k1

a

…呼一一一內(nèi)

圖象

j|?r

定義域R

值域(0,+OD)

過定點圖象過定點（0,1）,即當X=0時，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)ax<\(x>0)

函數(shù)值的

ax=1(x=0)優(yōu)=1(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>\U<0)

4變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高：在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

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[4.3]對數(shù)與對數(shù)運算

1、對數(shù)的定義

(1)若，=N(a>0,且,則x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log“N,其中a

叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)負數(shù)和零沒有對數(shù).

(3)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log“Noa、=N(a>0,aHl,N>0).

2、幾個重要的對數(shù)恒等式

h

log“1=0,log“a=\,log((a=b.

3、常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即logg用;自然對數(shù)：InN,即log”(其中e=2.71828…).

4、對數(shù)的運算性質如果a>0,a#l,M>0,N>0,那么

(1)加法：log“M+log“N=log“(A/N)

M

<2)減法：log。"-log。N=log”方

n

(3)數(shù)乘：wlogaM=logaM(nGR)

(4)*“N=N

n

n

(5)log/M=—loguM(b^0,neR)

(6)換底公式：|08“可=鹿性(6>0,且6/1)

log/

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[4.4]對數(shù)函數(shù)及其性質

1、對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log“x（a>0且ax1）叫做對數(shù)函數(shù)

a>\0<a<l

圖象

o\(1,0)^^