高中物理競(jìng)賽真題1力學(xué)（學(xué)生版+解析版50題）

競(jìng)賽專題1力學(xué)

50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某同學(xué)經(jīng)過一段時(shí)間練習(xí)，掌握了控制籃球的技巧。如圖所

示，在距離地面一定高度的地方，讓其轉(zhuǎn)動(dòng)起來，初速度為0釋放，和地面發(fā)生彈性

碰撞，即在豎宜方向速度大小不變。下面說法中正確的有（）

A.不考慮空氣影響，地面有摩擦，則碰撞前后相比動(dòng)能總量增加

B.不考慮空氣影響，地面有■摩擦，摩擦系數(shù)為“，則籃球彈起瞬間，速度方向和豎宜

方向的夾角的最大可能值為arctan/z

C.不考慮空氣影響，地面光滑，則籃球一定豎直彈起

?.考慮空氣影響，籃球的落點(diǎn)會(huì)比釋放點(diǎn)偏右

2.（2020全國(guó)?高三競(jìng)賽）有兩個(gè)同樣的梯子，其頂部用活頁連在一起，在兩梯中間某

相對(duì)的位置用一輕繩系住，便形成了人字梯。如圖所示，耨兩個(gè)同樣的人字梯甲、乙

放置于水平地面上，甲梯用的繩更長(zhǎng)一些。當(dāng)某人先、后站在甲、乙兩梯頂端時(shí)，下

述說法正確的是（）

乙

A.甲梯所受地面的支持力一定較大

B.甲、乙兩梯所受地面的支持力一定相等

C.繩尸被張緊時(shí)，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大

D.繩子被張緊時(shí)，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小

二、多選題

3.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，某同學(xué)經(jīng)過段時(shí)間練習(xí)，掌握了利用在瓶中裝不

同高度的水，在瓶口吹出不同頻率聲音，以演奏樂曲的技巧。以下說法中正確的有

()

aaA

A.若瓶中水柱高度之比為2：3：4,則吹出來的聲音頻率之比也為2：3：4

B.吹出來聲音頻率主要由在空氣柱中聲波形成的駐波頻率來決定

C.空氣駐波在水面附近是波節(jié)，在瓶口附近是波腹

D.空氣柱長(zhǎng)度越長(zhǎng)，發(fā)出的聲音頻率越高

4.（2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽）甲、乙兩車在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行駛，

甲車在前,乙車在后，兩車距離100m。從/=0時(shí)起.甲、乙兩車的加速度隨時(shí)間變化

如圖所示。取運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，下面說法正確的是（）

A./=3s時(shí)刻兩車距離最近

B.r=9s時(shí)刻兩車距離為100m

C.3~9s內(nèi)乙車做勻減速運(yùn)動(dòng)

D.，=9s時(shí)刻乙車速度為零

三、饃空題

S.（2021全國(guó)?高三競(jìng)賽）一質(zhì)量為”“半徑為K的均質(zhì)小球睜止在水平桌面上，小球

和桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為外

用一根水平輕桿擊打小球，擊打位置位于球心所在的水平面上，擊打方向正對(duì)球心，

擊打時(shí)間極短，小球獲得的水平?jīng)_量為小從擊打結(jié)束開始經(jīng)__________時(shí)間后小球

開始純滾動(dòng)，小球開始純滾動(dòng)時(shí)的速度為。已知小球繞球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

2

—/HR0

5

6.（2020,全國(guó)?高三競(jìng)賽）海平面能將無線電波全反射，反射波與入射波之間存在由于

反射造成的半個(gè)波長(zhǎng)的相位突變。一艘船在其離海平面高度為25m的桅桿上裝有發(fā)射

天線，向位于海岸富處的山頂接收站發(fā)射波長(zhǎng)在2~4m范圍內(nèi)的無線電波。當(dāng)船駛至

與接收站的水平距離L越接近2000m,山頂接收站所接收到的信號(hào)越弱：當(dāng)A=2000

m時(shí)失去無線電聯(lián)系。山頂接收站海拔高度為150m。船上天線發(fā)出的無線電波中有

一部分直接傳播到接收站，另一部分經(jīng)海平面反射后傳播到接收站，兩列波的幾何波

程差為一m,該無線電波的實(shí)際波長(zhǎng)為一m。

7.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）圖中的A8c為等邊三角形，連接A8邊、AC邊的中點(diǎn)與、

G，再連接A,、AC的中點(diǎn)斗、Q……如此繼續(xù)下去，構(gòu)成無限內(nèi)接等邊三用形系

列.設(shè)所有線段的質(zhì)量線密度相同，BC邊的質(zhì)量為加，長(zhǎng)度為“，那么等邊三角形系

列的總質(zhì)量為小，系統(tǒng)質(zhì)心與8c1邊的距離為?.

8.（2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽）為了提高風(fēng)力發(fā)電的效率，我國(guó)目前正逐步采用變槳距（即

調(diào)節(jié)風(fēng)機(jī)葉片與風(fēng)輪平面之間的夾附，當(dāng)風(fēng)速小時(shí)使葉片的迎風(fēng)面積增大，當(dāng)風(fēng)速超

過一定限度時(shí)使葉片的迎風(fēng)面積減小，以穩(wěn)定其輸出功率）控制風(fēng)力發(fā)電機(jī)替代定槳

距控制風(fēng)力發(fā)電機(jī)。圖a所示中風(fēng)力發(fā)電機(jī)每片葉片長(zhǎng)度為54m,定槳距風(fēng)機(jī)和變槳

距風(fēng)機(jī)的功率與風(fēng)速的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖b所示，所處地域全天風(fēng)速均為7.5m/$,空氣密

度為1.29kg/m3,煤的燃燒值為2.9x107J/kg。每小時(shí)進(jìn)入一臺(tái)變槳距控制風(fēng)力發(fā)電機(jī)

的風(fēng)的初始動(dòng)能與完全燃燒_kg煤所放出的熱量相當(dāng)，變槳距控制風(fēng)力發(fā)電機(jī)將風(fēng)

能轉(zhuǎn)化成電能的效率為一%,

9.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，我們以太陽為參照系，地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)周期為

T,以地球?yàn)閰⒄障?，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)周期為T,則相鄰兩次月球-地球-太陽排列成

幾乎一條有線的時(shí)間差約為。記地球繞太陽的物道半徑為小，月球繞地

球的釧道半徑為I（">>，?“），以太陽為參照系，月球運(yùn)動(dòng)過程，加速位的最小值和最

大值的大小比例為_______________

四、實(shí)驗(yàn)題

10.（2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽）實(shí)驗(yàn)題一單擺法測(cè)定重力加速度和待測(cè)金屬球材料的電導(dǎo)

率

【實(shí)驗(yàn)題FI】

根據(jù)下列給定的實(shí)驗(yàn)腐材和內(nèi)容，設(shè)計(jì)單擺實(shí)驗(yàn)，測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣群痛郎y(cè)金屬

球材料的電導(dǎo)率。

【實(shí)驗(yàn)器材】

（1）.單擺裝置一套：包括一個(gè)半徑為90cm的測(cè)向儀，量程為-5.5。~+5.5。，分度值為

0.1%

（2）.帶擺線的鋁球一個(gè)（質(zhì)量加=11.346g、電導(dǎo)率b=3.767x107s/m）：帶擺線的待測(cè)

金屬球一個(gè)（質(zhì)量，"=35」12g

⑶,螺旋測(cè)微器一把、卷尺一個(gè)，多通道計(jì)時(shí)秒表一個(gè)（使用方法詳見“秒表使用說明

書”）。

（41飲鐵硼永磁鐵一塊。注意：磁鐵為易碎物品，使用中請(qǐng)勿掉落地面。

（5）.秒表盒一個(gè)、泡沫板幾塊和撲克一副（可用于空高磁鐵）。

（6）.一次性口罩一個(gè)。

【實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)】

(I),擺球的懸線較細(xì)，測(cè)量過程中不能用力拉扯擺線。

(2).擺球與懸線使用膠粘合，使用過程中不能人為拉扯，輕拿輕放，人為情況導(dǎo)致的球

線分離不能更換擺球。

(3).不得在擺線等儀湍上做任何標(biāo)記。

(4).使用鉉鐵硼永磁鐵時(shí)，請(qǐng)小心輕放，以免損壞，影響后續(xù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量。

(5).實(shí)驗(yàn)結(jié)束，必須將儀器設(shè)備整理為初始狀態(tài)。

(6).實(shí)驗(yàn)過程中全程高清視頻監(jiān)控，任何惡意損壞實(shí)驗(yàn)儀器等不當(dāng)行為將每次扣15

分。

(7).測(cè)量過程中請(qǐng)佩戴口罩，空氣的流動(dòng)對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響。

【基礎(chǔ)知識(shí)】

(I).線性阻尼振動(dòng)

把一個(gè)金屬小球掛在一根細(xì)長(zhǎng)的線上，當(dāng)細(xì)線質(zhì)量遠(yuǎn)小于小球質(zhì)量，小球的直徑遠(yuǎn)小

于細(xì)線的K度時(shí)，此裝置可以看作是一單擺。略去空氣的浮力以及擺線的伸長(zhǎng)量，且

當(dāng)擺角較小時(shí)(小于等于5。)，可以認(rèn)為單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。較長(zhǎng)時(shí)間觀察單擺的

運(yùn)動(dòng)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，單擺的擺幅隨著時(shí)間衰減，這是空氣阻力在起作用。當(dāng)小球揉動(dòng)的速

度很小時(shí)，空氣阻力近似與擺動(dòng)速度成線性關(guān)系，小球的運(yùn)動(dòng)稱為線性阻尼振動(dòng)，它

的運(yùn)動(dòng)方程為。+2閨+就。=0,且有一般解。=%e-"'cos(<“+。)，其中。為擺角，B

為阻尼系數(shù)，穌為無阻尼簡(jiǎn)諧振動(dòng)的固石角頻率。線性阻尼振動(dòng)的角頻率?與簡(jiǎn)諧振

動(dòng)的角頻率例之間滿足CO-"就-/?，0

(2).運(yùn)動(dòng)金屬球在梯度磁場(chǎng)中受到的阻尼力

梯度磁場(chǎng)指的是空間變化率(梯度)不為零的磁場(chǎng)。金屬球在這樣的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)

在其內(nèi)部產(chǎn)生渦旋電流，因此會(huì)受到外磁場(chǎng)的作用。這個(gè)作用總是與金屬球的運(yùn)動(dòng)方

向相反，稱之為磁阻尼力。金屬球在梯度磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的磁阻尼力與金屬球的電

導(dǎo)率有關(guān)。如果金屬球在一個(gè)梯度為G(常數(shù))的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，磁阻尼力可以表達(dá)

成：//=隨爐，1，，其中，?是金屬球的半徑，丫為金屬球的運(yùn)動(dòng)速度，。為金屬球材

)5

料的電導(dǎo)率。

【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及要求】

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：

①.使用鋁球做為單措擺球，準(zhǔn)確測(cè)量長(zhǎng)沙的重力加速度月。

(i)選擇合適的測(cè)量工具，多次測(cè)量鋁球的直徑"、單擺擺線的長(zhǎng)度4,列出實(shí)驗(yàn)數(shù)

據(jù)，求出平均值,并計(jì)算各物理量的不確定度。

(2)設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)方案，觀測(cè)鉛球在線性空氣阻尼作用下，拐幅隨時(shí)間的變化，記錄

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算周期T；根據(jù)線性阻尼振動(dòng)方程一般解的形式，擬合計(jì)算空氣阻尼系

數(shù)4,分別估算兩者的不確定度。

(3)根據(jù)測(cè)量結(jié)果，利用阻尼振動(dòng)周期的公式計(jì)算重力加速度8,并估算其不確定度。

②.測(cè)定鉛球在磁阻尼作用下做單擺運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)。

(1)在擺球靜止時(shí)，被鐵硼磁鐵應(yīng)放置在擺球質(zhì)心的正下方2.5cm-3.0cm處，觀測(cè)鋁球

在磁阻尼作用下，擺幅隨時(shí)間的變化，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

(2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合計(jì)算出此條件下單擺的阻尼系數(shù)外，并估算其不確定度。

③測(cè)量待測(cè)金屬球材料的電導(dǎo)率

(I)選擇合適的擺長(zhǎng)，分別在有、無磁鐵條件下，觀測(cè)待測(cè)金屬球單擺擺幅隨時(shí)間的變

化，并記錄實(shí)險(xiǎn)數(shù)據(jù)。

(2)根據(jù)上述測(cè)量結(jié)果分別計(jì)算出未知金屬球在有、無磁鐵時(shí)的阻尼系數(shù)A和凡，并估

克這兩個(gè)阻尼系數(shù)的不確定度。

(3)根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果以及磁阻尼力公式：尸=等6〉、，推導(dǎo)出待測(cè)金屬球材料

電導(dǎo)率的計(jì)算公式，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求力待測(cè)金屬球材料的電導(dǎo)率6，并估算其不確定

度。

實(shí)驗(yàn)要求：

(I).請(qǐng)學(xué)生自行調(diào)整測(cè)向儀(半役為90cm)到合適的位置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量。

(2).寫出實(shí)驗(yàn)原理、操作要點(diǎn)，列出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容保留必要的數(shù)據(jù)處理過

程。

五、解答題

11.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)如圖所示，在一次紅、藍(lán)兩軍的對(duì)抗模擬演習(xí)中，紅軍飛

機(jī)在藍(lán)軍上空飛行，飛行高度500.0，〃，藍(lán)軍一高射炮A發(fā)現(xiàn)目標(biāo).A到飛機(jī)原飛

行路徑(直線MN)在水平面上的投影(直線〃然')的距離為4=40()()"7.A發(fā)射炮

彈速度為v=20005/s

M

（I）要使A每炮均擊在飛機(jī)的原飛行路徑MN上，那么A的對(duì)準(zhǔn)線與平面MMV'M'的

交點(diǎn)軌跡是怎樣的曲線，定量求之

（2）如果飛機(jī)在距A最近的8處發(fā)現(xiàn)了A,決定在"=500.的平面先作圓周運(yùn)動(dòng)再

丟下一個(gè)和飛機(jī)速度相同的炸彈攻擊A.|飛|=200.（）〃?/s.試求飛機(jī)做圓周運(yùn)動(dòng)半徑

大小

（3）當(dāng)飛機(jī)在8處并決定作出（2）中所述行動(dòng)的同時(shí)，A也發(fā)現(xiàn)了飛機(jī)的行動(dòng)，設(shè)

此時(shí)A對(duì)準(zhǔn)B上方，A水平角度調(diào)整速度0="0425nulls,豎直方向調(diào)整時(shí)間忽

略.定量計(jì)算并指出高射炮能否在飛機(jī)丟炸彈前擊下飛機(jī)

12.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）小球人、B、，在光滑的水平面上沿一宜線靜止放置，人

8質(zhì)量不等，8、8'質(zhì)量相同，8與8'間有一輕彈簧連接，彈簧處于自由長(zhǎng)度狀態(tài)，讓

4對(duì)準(zhǔn)8勻速運(yùn)動(dòng)，彈性碰撞后，接著乂可觀察到4、8兩球間發(fā)生一次相遇不相碰事

件，試求4質(zhì)量與8質(zhì)量的比值7.（給出3位有效數(shù)值）

13.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）一個(gè)原長(zhǎng)為/.、彈性系數(shù)為A的輕軟彈簧一端懸掛在轉(zhuǎn)軸

上，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為加的球體.彈簧自水平、自然伸長(zhǎng)狀態(tài)釋放，如圖中所

示.當(dāng)彈簧達(dá)到豎直位置時(shí)，彈塞的長(zhǎng)度是影少？（軟彈簧意味著〃唱？4因此彈

費(fèi)內(nèi)部的張力始終直接正比于其伸長(zhǎng)量）

甲

14.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，有一輛左右對(duì)稱的光滑小車，質(zhì)量為M，放在

光滑水平面上，不考慮輪子質(zhì)量。重力加速度為go將一個(gè)質(zhì)點(diǎn),“=0"。如圖放

置，初態(tài)質(zhì)點(diǎn)和小車都靜止，然后自由釋放。小球下降r之后進(jìn)入半徑為『的圓弧，經(jīng)

過圓心角為d后騰空一段距離/后恰好相時(shí)小車沿切線進(jìn)入右側(cè)圓弧，最終上升到

4

右側(cè)與初態(tài)相同高度的點(diǎn)。

(I)求出質(zhì)點(diǎn)剛開始騰空時(shí)，小車的速度大小

(2)為了使得質(zhì)點(diǎn)恰好進(jìn)入右側(cè)圓弧，/應(yīng)當(dāng)為多少。

15.(2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽)一質(zhì)量為傾角為9的斜而放置在光滑水平面匕另一

質(zhì)量為半徑為A的均勻圓柱體沿斜而無滑動(dòng)滾下，如圖所示

(I)建立斜面和圓柱體的動(dòng)力學(xué)方程，并指出圓柱體作純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件

(2)確定此力學(xué)系統(tǒng)的守匣量，并給出具體的表達(dá)式

(3)求解斜面的加速度，以及圓柱體質(zhì)心相對(duì)于斜面的加速度

16.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)兩相互咬合良好，且導(dǎo)通的金屬盤狀齒輪A、■均可繞水

平軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，而由另一個(gè)與A同軸絕緣滑輪C上有細(xì)繩，F(xiàn)掛一重物，質(zhì)量為

M,A、MC的半徑分別為小,心，&?,質(zhì)量分別為，％‘小，”“?，'兩軸

。、。2間連有電阻,大小為R.其他電阻均不計(jì)，空間中分布有勻強(qiáng)磁場(chǎng)8,大小為

8,方向垂直于金屬盤，試問:

(1)對(duì)任一時(shí)刻f(/=0時(shí)，A/下落速度1，=0),"(/)與流過R的總電量Q(。滿足:

XQS+y“a)=f,X,丫為常量，試求之

(2)重物下落至勻速時(shí)的速度%

⑶當(dāng)》,(/)=與時(shí)，重物的加速度

17.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)如圖所示，空間中有一水平面，其右側(cè)為一垂直于水平面

的墻面.現(xiàn)使空間內(nèi)具有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)8,大小為8,方向如圖所示，已知一質(zhì)量為

m,帶電量為+4何＞。)的小球，在距墻左S處的水平而上以速度5開始向右水平運(yùn)

動(dòng)，設(shè)球與水平面動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，且與墻的碰撞為彈性的.試問：

XXXXXX

B

XXXXXX堵倒

x*,XXXX

水干面

(1)要使小球曾經(jīng)運(yùn)動(dòng)到平面以上，且最后以垂直于墻面的速度與培相碰，以上數(shù)據(jù)

應(yīng)滿足的條件.

(2)設(shè)小球可以運(yùn)動(dòng)到平面以上，并且S為(1)中所滿足條件的次小值，而且由小

球運(yùn)動(dòng)到靜止用時(shí)為,.小球最終停在何處？

(3)若小球始終緊貼水平面運(yùn)動(dòng)，且最終靜止于原出發(fā)點(diǎn)，則從出發(fā)到靜止耗時(shí)，為

多少？

18.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)如圖所示，一水平光滑圓盤繞著通過。點(diǎn)并垂直于盤面的

定軸以勻角速度3轉(zhuǎn)動(dòng).盤上有一個(gè)以。為圓心的圓形軌道，一質(zhì)量為”的質(zhì)點(diǎn)被約

束在軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)與軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃.開始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度為%,試

分析：

())運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度-

(2)軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)約束反力的大小

(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路程與時(shí)間的關(guān)系.

19.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)有一個(gè)豎直光滑輕軒固定在質(zhì)量何=10，"的寬大底座中

央.一不可伸長(zhǎng)的輕繩長(zhǎng)一端固定在桿頂，另一端連接在一個(gè)套在桿上的小輕環(huán)

上，小輕環(huán)可沿桿自由運(yùn)動(dòng)(桿長(zhǎng)略大于/.).另在輕繩上串一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)且小孔光

滑的小珠，質(zhì)量為平衡態(tài)下，小珠靠在小輕環(huán)上.之后給小珠一個(gè)與水平面夾

45。向上的速度r="記.在整個(gè)過程中，底座處于水平面內(nèi)不會(huì)翻轉(zhuǎn).問：小珠上

升過程中，為使底座水平不動(dòng)，地面和底座的靜摩擦系數(shù)至少應(yīng)為多少？

20.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）在行星繞太陽的橢圓運(yùn)動(dòng)中，若令a-r=aecosE,

]■今M=T,其中，r為周期，“為半長(zhǎng)軸，。為離心率.在天文學(xué)上，稱E為偏近點(diǎn)

角，試證開普勒方程：T=E-esinE.（當(dāng)行星處子近H點(diǎn)時(shí)，取7=0,即/=0）

注：偏近點(diǎn)角是過橢圓上的任意一點(diǎn)，垂直于橢圓半長(zhǎng)軸，交半長(zhǎng)軸外接圓的點(diǎn)到原

點(diǎn)的直線與半長(zhǎng)軸所成夾角.在橢圓的參數(shù)方程x="cos。，｝'=bsin。中，參數(shù)角。即

為偏近點(diǎn)角

21.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）（1）質(zhì)量為W的天體（例如太陽）固定不動(dòng)，質(zhì)量為“，的

質(zhì)點(diǎn)（例如小行星）以速度%、瞄準(zhǔn)距離，，從無窮遠(yuǎn)處，布,W的萬有引力作用下沿雙

曲線軌道靠近用運(yùn)動(dòng)，最后乂遠(yuǎn)離河而去.試求圖I所示的散射角。（即運(yùn)動(dòng)方向的

偏轉(zhuǎn)角0）.

（2）電量。＞0的帶電質(zhì)點(diǎn)（例如重原子核）近似不動(dòng)，質(zhì)量為加、電量為“＞。的帶

電質(zhì)點(diǎn)（例如如a粒子）以速度V.、瞄準(zhǔn)距離〃從無窮遠(yuǎn)處（或足夠遠(yuǎn)處）靠近。運(yùn)

動(dòng)，乂在庫侖力的作用下遠(yuǎn)離Q而去，試求圖2所示的散射角0.

22.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，遙遠(yuǎn)的太空中有一孤立星體，半徑為R,質(zhì)量

為何，分布均勻.有一空間站在距球心H的圓，九道上做無動(dòng)力飛行.現(xiàn)考慮從空間站

向星體發(fā)射飛船，需要討論飛船的著陸問題

（I）人們提出了兩種著陸方案，方案一：飛船相對(duì)空間站發(fā)射時(shí)速度指向球心，大小

為4.方案二：飛船發(fā)射時(shí)相對(duì)空間站速度指向空間站運(yùn)動(dòng)的反方向，大小為匕，請(qǐng)

分別求出片與I的大小

（2）當(dāng)空間站運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)發(fā)射飛船，為使飛船能精確著陸在圖中的A點(diǎn)，試求

飛船發(fā)射時(shí)的相對(duì)空間站的速度.（以上問題均不考慮空間站的反沖作用，且飛船總是

沿切線方向著陸，匕船總是采取節(jié)省燃料的發(fā)射方式）

23.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）根據(jù)現(xiàn)代大爆炸宇宙學(xué)說，整個(gè)宇宙是膨脹的.在某個(gè)特

定的時(shí)刻，，宇宙中相距為，?的兩點(diǎn)的相對(duì)退行速度為v="，?.這就是著名的哈勃定

律，其中”僅為時(shí)間/的函數(shù)，在一段不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，”可視為恒量

（1）宇宙的膨脹會(huì)由于引力作用而不斷減速，隨著不同的宇宙平均密度，宇宙可能是

開放的（即無限膨脹下去），也可能是閉合的（即會(huì)在某一時(shí)刻開始收縮），試求出這

兩種情況下，宇宙平均密度的分界點(diǎn)月（用，與基本物理常量表示）

（2）設(shè)目前宇宙的哈勃常量為“。，平均密度化＞已，試計(jì)算宇宙從大爆炸到開始收

縮的時(shí)間（用含，P.及基本物理常量的式子表示）

24.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）飛機(jī)在空中以速度“=200m/s做水平飛行，它發(fā)出頻率為

乙=2000Hz的聲波，當(dāng)它從A七往8處時(shí)，用了4$,而地面上觀測(cè)者某處觀察者E

測(cè)得飛機(jī)在從A到B過程中，聲波頻率由匕=2400Hz降為匕=1600Hz.已知聲速

v=330m/s,試求飛機(jī)飛行高度.

25.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖甲所示，在水平光滑桌面的中心有?一光滑小孔。，-

根勁度系數(shù)為k的輕而細(xì)的彈性繩穿過小孔O,繩的一端固定于小孔正下方的八點(diǎn)，

另一?端系一質(zhì)量甲為，”的小球，彈性繩向由長(zhǎng)度等于萬L現(xiàn)將小球沿桌面拉至B

處，設(shè)歷=/，并將小球沿垂直于。8的方向以初速度均沿桌面射出，試求：

甲

（1）小球繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)過90。至C點(diǎn)所需時(shí)間：

（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度%及C點(diǎn)至。點(diǎn)的距離.

26.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）一個(gè)小球連接兩個(gè)相同的自然伸長(zhǎng)的輕質(zhì)彈性繩，彈性繩

的遠(yuǎn)端都固定起來，并且兩根彈性繩都位于一條直線上（如圖所示）.現(xiàn)在把小球在垂

直于彈性繩初始直線方向向上拉開1cm,然后釋放，后讀出小球的振動(dòng)周期為

2s.問：拉開距離為2cm時(shí)，小球振動(dòng)的周期為多少?（彈性繩自然長(zhǎng)度4?1cm,

重力不計(jì)）

tX

II

27.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）6個(gè)小朋友在操場(chǎng)上玩追逐游戲。開始時(shí)，6個(gè)小朋友兩兩

間距離相等，構(gòu)成一正六邊形。然后每個(gè)小朋友均以不變的速率V追趕前面的小朋友

（即小朋友1追2、2追3、3追4、4追5、5追6、6追1）,在此過程中，每個(gè)小朋

友的運(yùn)動(dòng)方向總是指向其前方的小朋友。已知某一時(shí)刻礦?，相鄰兩個(gè)小朋友的距離

為/，如圖所示。試問：

（I）從/。時(shí)刻開始，又經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后面的小朋友可追到前面的小朋友：

（2）從，。時(shí)刻開始，直至追上前面的小朋友，每個(gè)小朋友又跑了多少路程：

（3）在M時(shí)刻，每個(gè)小朋友的加速度大小是多少。

06

二

3n4

28.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某同學(xué)特別喜愛造橋游戲，如圖所示，用10根一樣的輕桿

搭了一座橋，桿長(zhǎng)/，所有連接的地方均為較接，在4點(diǎn)掛了小重物，重力大小為巴

人G在同一水平高度。

（I）求地而對(duì)八G點(diǎn)作用力的豎直分量大小NL,NR：

（2）如果每根桿能承受的最大壓力或張力均為￡則為了保證橋不塌方最大為多少？

29.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）2016年9月，G20峰會(huì)在杭州隆重召開,其會(huì)議廳的裝飾

設(shè)計(jì)既展示出中國(guó)建筑的節(jié)能環(huán)保理念，又體現(xiàn)了浙江的竹文化特色.圖a給出了其

部分墻面采用的微孔竹板裝飾的局部放大照片，該裝飾同時(shí)乂實(shí)現(xiàn)了對(duì)聲波的共振吸

收.竹板上有一系列不同面積、周期性排列的長(zhǎng)方形微孔，聲波進(jìn)入微孔后導(dǎo)致微孔中

的空氣柱做簡(jiǎn)諧振動(dòng).單個(gè)微孔和竹板后的空氣層，可簡(jiǎn)化成一個(gè)亥姆霍茲共振器，如

圖b所示.假設(shè)微孔深度均為I、單個(gè)微孔后的空氣腔體體枳均為玲、微孔橫截面積記

為S.聲波在空氣層中傳播可視為絕熱過程，聲波傳播速度匕與空氣密度P及體積彈性

模量x的關(guān)系為匕=5,其中K是氣體壓強(qiáng)的增加量與其體積V相對(duì)變化量之比

K=-一夕—=-1/且，已知標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)（273K,latm=1.01xl05pa）下空氣（可視為理想氣

△v/VAv

圖a.孔竹板境照片（局部）ffltx微孔竹板裝笈簡(jiǎn)化圖及對(duì)應(yīng)的哀姆在拉技振器模型

（1）求標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度和聲波在空氣中的傳播速度V,:

⑵求上述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率（用匕、S、I、V。表示）：

（3）為了吸收頻率分別為120Hz和200Hz的聲波，相應(yīng)的兩種微孔橫截面積之比應(yīng)為多

少？

30.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）農(nóng)用平板車的簡(jiǎn)化模型如圖a所示，兩車輪的半彳仝均為

r（忽略內(nèi)外半徑差），質(zhì)量均為，”（車輪輜條的質(zhì)量可忽略），兩輪可2”繞過其中心的光

滑細(xì)車軸轉(zhuǎn)動(dòng)（軸，”的質(zhì)量可忽略）；車平板長(zhǎng)為/、質(zhì)把手量為2〃;，平板的質(zhì)心恰好

位于車輪的軸上；兩車把手（可視為細(xì)直桿）的長(zhǎng)均為2/、質(zhì)量均為"L且把手前端與平

板對(duì)齊，平板、把手和車軸固連成一個(gè)整體，車輪、平板和把手各自的質(zhì)量分布都是

均勻的.重力加速度大小為g.

（1）該平板車的乍輪被一裝置（圖中未畫出）卡住而不能前后移動(dòng)，但仍可繞車軸轉(zhuǎn)動(dòng).將

把手提至水平位置由靜止開始釋放，求把手在與水平地面碰撞前的瞬間的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.

（2）在把手與水平地面碰撞前的瞬間立即撤去卡住兩車輪的裝置，同時(shí)將車輪和軸鎖

死，在碰后的瞬間立即解鎖，假設(shè)碰撞時(shí)間較短（但不為零），碰后把手末端在豎直方向

不反彈.己知把手與地面.、車輪與地面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為〃（最大靜摩擦力等于滑

動(dòng)摩擦力）.求在車輪從開始運(yùn)動(dòng)直至靜止的過程中，車軸移動(dòng)的距離.

31.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖”，旅行車上.有■一個(gè)半徑為三腳圓凳（可視為剛性

結(jié)構(gòu)），三個(gè)相同凳腳的端點(diǎn)連線（均水平）構(gòu)成邊長(zhǎng)為“的等邊三角形，凳子質(zhì)心位于

其軸上的C點(diǎn).半徑為，?的一圓筒形薄壁茶杯放在凳例上，杯底中心位于凳面中心。點(diǎn)

處，茶杯質(zhì)量為，〃（遠(yuǎn)小廣竟子質(zhì)柚），其中杯底質(zhì)狀為晟（杯壁和杯底各自的質(zhì)址分布

都是均勻的），杯高為丹（與杯高相比，杯底厚度可忽略）.杯中盛有茶水，茶水密度為a

重力加速度大小為g.

(I)為了使茶水杯所盛茶水盡可能多笄保掛足夠檜定，杯中茶水的最佳高度是多少？

(2)現(xiàn)該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內(nèi)切于"點(diǎn)忖梆止(凳面邊有小

凸緣，可防止物體滑出；凳面和凳面邊的凸緣各自的質(zhì)量分布都是均勻的)，且

OOIACX見圖〃)，求此時(shí)旅行車內(nèi)底板對(duì)各凳腳的支持力相對(duì)于滑移前(該茶水杯位于

凳面中心處)的改變.

32.(2019?全國(guó)高三競(jìng)賽)一個(gè)半徑為4和4,重量為G°=2()()N,可繞軸A轉(zhuǎn)動(dòng)的滑

輪通過一個(gè)固定在墻上可轉(zhuǎn)動(dòng)的叉子A8支攆，其中g(shù)=3,a=30°,如圖所示.繩

r\

索在滑輪較小半徑4的軸肩上纏繞了一圈，繩索右端用重力G=500N加載，滑輪與墻

之間以及滑輪與繩之間的摩擦因數(shù)相同，靜摩擦因數(shù)為4=。,3,動(dòng)摩擦因數(shù)為

〃=().2.試問：

(1)如果要使重物G懸起，左邊繩子在。=。的情況下，至少要施加多大力「？

(2)如果要使重物G緩慢升起,左邊繩子在耳=()時(shí)需用多大為尸？

(3)在什么角度下，提升重物所需的拉力最??；其值為多大？

33.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)均質(zhì)桿A8長(zhǎng)為2/,豎直地放在桌面邊緣上，3點(diǎn)與桌面

的邊緣接觸.給一微小擾動(dòng)，桿將第8點(diǎn)向外轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)桿受到桌子的反力為零時(shí)，桿

將離開桌子，試求：

(I)當(dāng)桿離開桌子時(shí)，桿轉(zhuǎn)過的角度，并求此時(shí)桿的用速度？

(2)如果桿垂直地打擊地面,則桌子的高度應(yīng)為多少？

34.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)打樁機(jī)的鐵塔高度為“=40.0，"，錘的質(zhì)量

網(wǎng)=I.OxlO"g：鋼筋混凝土樁的質(zhì)量，%=2.0x1013,樁的橫截面為正方形，其邊長(zhǎng)

a=0.5m.樁在被打入地下的過程中，其阻力可以認(rèn)為主要來自樁側(cè)面泥土對(duì)其的黏

滯作用，且阻力系數(shù)為火=2.5x104N/"尸，當(dāng)樁已被打入地下兒=10口”時(shí)，再把錘升

高人=1.0/〃，然后自由落下打擊樁.假設(shè)碰撞過程是完全非彈性碰撞，試回答下列問

題：

(1)這一錘能把樁再打多深？

(2)打樁的效率(用于推進(jìn)樁的能量與錘打擊樁的能量之比)為多少？

(3)如果碰撞過程是彈性碰撞，其恢復(fù)因數(shù)＜，=().8,重新分析問題⑴和(2).

35.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)質(zhì)點(diǎn)或光滑球以某一角度入射到硬質(zhì)表面上發(fā)生的反跳，

通常呈現(xiàn),‘反射珀等于入射角”的現(xiàn)象.但是對(duì)于一種粗糙的硬質(zhì)橡皮球，當(dāng)其與硬質(zhì)

表面碰撞且滿足動(dòng)能守恒時(shí)，它在反跳過程中卻表現(xiàn)出許多奇異的現(xiàn)象，這種粗糙的

商彈性人造硬質(zhì)橡皮球稱為超級(jí)彈性球，簡(jiǎn)稱為超球.這種超球在硬質(zhì)表面上的反跳

幾乎是完全彈性的，用它可以直觀地演示粗糙物的彈性碰撞現(xiàn)象.試回答下列問題：

(1)若將一個(gè)小超球放在一個(gè)大超球的頂上，讓這兩個(gè)超球一起自由下落并撞擊地

面，就會(huì)發(fā)現(xiàn)小超球又跳回到空中，如果大超球與小超球的半徑之比選擇適當(dāng)，那么

小超球?qū)⒎刺母叨却蠹s是原先下落高度的9倍，如圖I所示.若將大超球、小超球

和乒乓球緊貼在一起自由下落，如圖2所示，如果這些球的質(zhì)量選擇恰當(dāng)，那么在它

們碰撞地面后，乒乓球?qū)⒎刺母叨葞缀跏窃认侣涓叨鹊?9倍.試建立力學(xué)模型進(jìn)

行說明

(2)如果超球以一定的速度和繞水平軸旋轉(zhuǎn)的角速度與硬質(zhì)地面碰撞，旋轉(zhuǎn)的超球在

A、8兩點(diǎn)之間來回反跳，如圖3所示.試說明發(fā)生這種現(xiàn)象的條件

36.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)如圖所示，豎直平面內(nèi)有懸點(diǎn)。和8,。匕有一原民為。

的弛性輕繩，抑性繩的勁度系數(shù)為A,懸于。點(diǎn)，另一端掛一質(zhì)量為小的小球8,靜

止于8處，另有一個(gè)同樣的彈性繩懸于?點(diǎn)，和8小球一樣的小球A系在繩的另一

端.現(xiàn)將A球拉至水平，且。A=/,。點(diǎn)左邊g處有一豎直的伸性墻M.初始時(shí)可使

A具有豎直方向的速度匕且A能擊中8,求速度(繩與繩之間不會(huì)相纏繞，A球

懸繩不會(huì)與8“相碰”)

1/

_________

j[

，

/

37.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)如圖所示，四個(gè)半徑為1,且完全相同的均質(zhì)光滑圓球，

將它們擺為上下兩層且彼此相切，下層三個(gè)球A、B、。質(zhì)量均為加，放置在光滑水

平面上，上層球。的質(zhì)量為下邊三個(gè)球質(zhì)量之和.試分析：

(I)若將下層三個(gè)球用一根繩子在球心高度處纏繞，把三個(gè)球捆扎在一起，再將第四

個(gè)球放在上層，問：靜止情況下張力7為多大？

(2)若在圖所示的位置突然剪斷繩子，四個(gè)球由靜止開始運(yùn)動(dòng)，問：上下層球在什么

位置處開始脫離？

（3）問：上層球第一次落到桌面時(shí)，下層三個(gè)球的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)后所組成等邊三角形的邊

K為多大？

38.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）有一支架，由光滑的桿構(gòu)成，疊放方式如圖所示，R~A

置于光滑的碗沿上，其中￡為Q&的中點(diǎn)，8、為QC的中點(diǎn)，A為人與的中點(diǎn)，p

為A4的中點(diǎn)，桿的粗細(xì)不計(jì)，現(xiàn)在/，點(diǎn)放一質(zhì)量為例的重物,試求G與c處支持

力的大小.（為方便表示，可用各點(diǎn)序號(hào)表示此處的相互作用力）

39.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）許多相同的小球按圖中所示方法堆積，第一層有一個(gè)球，

第二層有三個(gè)球，…，第”層有小則個(gè)球.現(xiàn)對(duì)第，”層的球按圖乙所示方法編寫坐

2

標(biāo)（，〃,〃,〃）（其中〃和〃分別表示球在，"層中的排數(shù)和從左往右數(shù)在該排的序數(shù)）.試

求出編號(hào)為（，4〃，/”的球與下面三個(gè)球、（〃i+l,〃+1,〃）、（〃i+l、〃+l,p+l）

之間的彈力，小球質(zhì)量為M

40.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）所謂暗物質(zhì)是指宇宙中那些既不發(fā)光也不反光，因而無法

看到的物質(zhì)，不過暗物質(zhì)與通常物質(zhì)都遵循萬有引力定律，天文觀測(cè)有跡象表明，暗

物質(zhì)的質(zhì)量可能占宇宙總質(zhì)量的90%至99%.如果能用磁譜儀探測(cè)到暗物質(zhì)，從而進(jìn)

一步測(cè)出宇宙中物質(zhì)的總平均密度。，那么，我們就能根據(jù)下面敘述的原理預(yù)言宇宙

膨脹的前景.

宇宙的膨張現(xiàn)象是在20世紀(jì)30年代由哈勃等科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的，它是指觀察者在宇宙中

的任何一個(gè)星系（例如。）上向任何一方向看去，會(huì)看到所有其他的星系（例如P）

都在遠(yuǎn)離自己，其速度v與距離R成正比，即v=如圖〃所示比例系數(shù)，叫哈勃

常量，單位為千米/（秒?光年）.

①如果認(rèn)為宇宙是均勻的各向同性的，其物質(zhì)密度為。，那么質(zhì)量為，”的星系戶在遠(yuǎn)

離觀察者。時(shí),所受到的宇宙所有其他物質(zhì)（包括圖〃球面內(nèi)、外兩部分）對(duì)它的總

引力是多少？

②如果質(zhì)量為，”的星系尸相對(duì)于。點(diǎn)的引力勢(shì)能自=-空”（其中M為圖〃中球面

IX

內(nèi)物質(zhì)的質(zhì)量：），星系P的總能量￡等于其動(dòng)能與引力勢(shì)能之和，以證明恰使4=0的

宇宙物質(zhì)密度2=黑.

8/rG

③試說明，通過比較現(xiàn)在宇宙的物質(zhì)密度。與上述密度A的大小即可預(yù)言宇宙膨張前

景：或永遠(yuǎn)膨張下去，或在將來的某一時(shí)刻停止膨張，轉(zhuǎn)而變?yōu)槭湛s.

41.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）桿8C、BD、CD、CE、CG、QG由光滑錢鏈連接，位

于正方體的邊和對(duì)角線上，各桿的質(zhì)量不計(jì)，如圖所示.皎鏈8、足及G是固定的，

在狡鏈O處有沿E。方向的作用力P,在錢鏈C處有沿CG方向的作用力Q.在平衡狀

態(tài)時(shí)，試求各桿的內(nèi)力

42.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，在xQv坐標(biāo)系內(nèi)，，=,時(shí),一質(zhì)量為次的小球

A以％的x正方向速度開始運(yùn)動(dòng)，A與。點(diǎn)間連接著一勁度系數(shù)為3原長(zhǎng)4=。的彈

簧，且“*＞幼、現(xiàn)有一小狗從。點(diǎn)出發(fā)，追A球，且追蹤時(shí)線路滿足如下規(guī)律:

（出發(fā)時(shí)/=?）

o

（1）任意時(shí)刻，狗、球、。三點(diǎn)共線

（2）任意時(shí)刻，狗、球的速度滿足：吟+v：粵=&+$粵

（下標(biāo)中*，「分別表示速度在x,方向上的分量〉試求：狗追上球的軌跡方程和時(shí)

間

43.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體,它們的密度分別

為月和自（月＜自）.現(xiàn)讓一長(zhǎng)為4密度為（月+2）/2的均勻木棍，豎直地放在上面

液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為3〃4,由靜止開始下落.試計(jì)算木棍到達(dá)最

低處所需的時(shí)間.假定由于木棍運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計(jì)，且兩液體都足

夠深，保證木棍始終都在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，既未露出液面,也未與容器相碰.

44.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）平臺(tái)人的質(zhì)量為"?，山勁度系數(shù)為*的輕彈黃來支持，彈

餐上⑶端與人相連，下端與地面相連，物塊8的質(zhì)量也是“3自由地放在平臺(tái)中

心，現(xiàn)用輕直向下的力尸=而=〃增把彈簧壓下（仍布彈性限度內(nèi)），如圖所示，

并在系統(tǒng)靜止時(shí)撤去外力，求此后八、8的運(yùn)動(dòng)情況及兩者各自到達(dá)的最大高度.（若

八、8間發(fā)生碰撞，則其碰撞為彈性碰撞）

45.（2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽）激光干沙引力波天文臺(tái)（UGO）2015年首次探測(cè)到了十億

光年外雙黑洞并合產(chǎn)生的引力波，注實(shí)了愛因斯坦理論關(guān)于存在引力波和黑洞的預(yù)

言。黑洞并合過程分為三個(gè)階段：第一階段（旋近階段），兩黑洞圍繞系統(tǒng)質(zhì)心在同一

平面內(nèi)做近似圓周的運(yùn)動(dòng)（見圖），損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為引力輻射能，兩者螺旋式逐漸

靠近：第二階段（并合階段），雙黑洞并合為一個(gè)黑洞：最后階段（衰蕩階段），并合

的黑洞池像至平衡狀態(tài)，成為一個(gè)穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)黑洞。在旋近階段，若忽略黑洞的自轉(zhuǎn)

和大小，則雙黑洞均可視為質(zhì)量分別恒為M與"?的質(zhì)點(diǎn)。它們之間距離/。隨時(shí)間而

逐漸減小。假定系統(tǒng)除了輻射引力波外無其它能量耗散，不考慮引力輻射的反作用.

可用牛頓引力理論進(jìn)行近似處理。

(1)引力波輻射功率除了與引力常量G成正比之外，還可能與兩黑洞的質(zhì)量M與小、兩

黑洞之間的距離〃、以及系統(tǒng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/、抬動(dòng)角速度，"和輻射引力波的傳播

速度(其大小等于真空中的光速。)有關(guān)，試選取描述轉(zhuǎn)動(dòng)體系輻射的三個(gè)物理量與G

一起導(dǎo)出引力波輻射功率的表達(dá)式(假設(shè)其中可能待定的無量綱比例常數(shù)為a)：

(2)若在初始時(shí)刻尸0時(shí)兩黑洞之間的距寓為U,且引力波輻射功率表達(dá)式中的無量綱

比例常數(shù)a是已知的，求兩黑洞從/=0時(shí)開始繞系統(tǒng)質(zhì)心旋轉(zhuǎn)360°所需要的時(shí)間；

(3)當(dāng)兩黑洞從，=()時(shí)開始繞系統(tǒng)質(zhì)心旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，它們間的距離恰好是其初始距離

的一半？

46.(2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽)我國(guó)大科學(xué)裝置散裂中子源于2018年建成并投入使用，它

在諸多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。歷史上，杳德威克在1932年首次確認(rèn)了中子的存在并測(cè)出

了它的質(zhì)量；哈密等人在1939年發(fā)現(xiàn)用中子失擊鈾原子核可使其分裂，同時(shí)放出中

子，引發(fā)鏈?zhǔn)椒磻?yīng)。為了使鏈?zhǔn)椒磻?yīng)能夠持續(xù)可控地進(jìn)行，可通過彈性碰撞使鈾核放

出的中子慢化。不考慮相對(duì)論效應(yīng)。

(1)查德威克用中子(質(zhì)量為，")轟擊質(zhì)量為叫的靜止靶核(氫核H或氮核"N,腹量

為“小或14”，“)。觀察它們的運(yùn)動(dòng)。設(shè)靶核的出射動(dòng)量與入射中子的初動(dòng)量之間的夾角

為a,試導(dǎo)出此時(shí)靶核的出射速率”和中子的末速率v分別與中子初速率%之間的關(guān)

系。該實(shí)驗(yàn)測(cè)得氫核的最大出射速率為3.30x10?m/s,氮核的最大出射速率為

4.70xl0，n/s，求，"和％的值。

(2)在上述實(shí)驗(yàn)中一個(gè)氮核也可能受到一束中子的連續(xù)撞擊。假設(shè)氮核開始時(shí)是靜止

的，每次與之相碰的中子的速率都姑％,碰撞都使得氮核速率的增量最大.試計(jì)算經(jīng)

過多少次碰撞后氮核的動(dòng)能與中子的初動(dòng)能近似相等？

(3)設(shè)經(jīng)過多次碰撞被減速的中子處于熱平衡狀態(tài)，其速率滿足麥克斯韋分布

/(v)=4H.產(chǎn)v:e?引

2TTKUT

這里3為玻爾茲蛀常量，7為系統(tǒng)的絕對(duì)溫愎。試計(jì)算在熱平衡時(shí)，中子的最概然速

率所對(duì)應(yīng)的動(dòng)能和最概然動(dòng)能。

47.(2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽)反粒子最早由狄拉克的理論所預(yù)言。1932年，安德森研究

宇宙射線時(shí)發(fā)現(xiàn)了電子的反粒子——正電子。此后，人類乂陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了反質(zhì)子等反粒

子。

用單粒子能量為6.8GcV的高能質(zhì)子束轟擊靜止的質(zhì)子靶，可產(chǎn)生反質(zhì)子，其反應(yīng)式為

p+p-----------------p+p+p+

l

TT+…

質(zhì)子和反質(zhì)子湮滅時(shí)可產(chǎn)生兀-介子，因此在反質(zhì)子束流中還伴隨有大量兀-介子。下圖

是探測(cè)反質(zhì)子的實(shí)驗(yàn)裝置原理圖。反質(zhì)子M利兀介子流依次通過閃爍計(jì)數(shù)器加、S,

和S,,S一與S?相距/=12m,在S?和S；之間放置有切倫科夫計(jì)數(shù)瑞&和C?。切倫科夫

il?數(shù)瑞通過探測(cè)切倫科夫輜射(帶電粒子在介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)速度超過介質(zhì)中光速時(shí)所激

發(fā)的電磁輻射)而確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)速度。G僅記錄速度較快的加介子，C?僅記錄

速度較慢的反質(zhì)子。實(shí)驗(yàn)中S,的作用是檢驗(yàn)前面的計(jì)數(shù)結(jié)果是否真實(shí)。

(I)在上述反應(yīng)中，假設(shè)末態(tài)質(zhì)子和反質(zhì)子速度相同，求反質(zhì)子從沏運(yùn)動(dòng)到另所需的時(shí)

間。。若介子與反質(zhì)子動(dòng)能相同，求it-介子從4運(yùn)動(dòng)到斗所需的時(shí)間J。

(2)運(yùn)動(dòng)速率為□"><'/〃)的帶電粒子通過折射率為"的介質(zhì)，求所產(chǎn)生的切倫科夫福

射傳播方向與帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向的夾角6。

(3)微分式切倫科夫計(jì)數(shù)器可以記錄速率在某一個(gè)區(qū)間的粒子數(shù)。下圖是其關(guān)于軸線

(圖中虛線)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的原理剖面圖。光收集系統(tǒng)包括半徑為1<的球面鏡和半徑可調(diào)

的環(huán)狀光闌。當(dāng)切倫科夫輻射傳播方向與帶電粒子運(yùn)動(dòng)方向的夾角。很小時(shí)，球面鏡

將帶電粒子激發(fā)的切倫科夫輻射會(huì)聚在其焦平而上,形成半徑為，?的輻射光環(huán)。投射

在計(jì)數(shù)蕭上。對(duì)于速率為v的帶電粒子激發(fā)的輻射，求光環(huán)的半徑。

(4)反質(zhì)子與質(zhì)子相遇會(huì)發(fā)生湮滅反應(yīng)p+pf3/。反應(yīng)末態(tài)粒子的總動(dòng)能與反應(yīng)初態(tài)

粒子的總動(dòng)能之差即為反應(yīng)能Q。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)質(zhì)子和反質(zhì)子的動(dòng)能可忽略。末

態(tài)三個(gè)/介子的總動(dòng)能是一個(gè)常量，可用Dalitz圖表示總動(dòng)能在三個(gè)反介子之間的分

配。如下圖所示，Dalitz圖是一個(gè)高為I的等邊三用形，P點(diǎn)到三邊的距南等于三個(gè)/

介子的動(dòng)能占反應(yīng)能的比率，即4=%/Q,I"表示第個(gè)小介子的動(dòng)能,

i=l,2,3。以底邊為X軸，底邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，底邊上的中垂線為丫軸建立坐標(biāo)系。求P

點(diǎn)可能的分布范圍邊界的表達(dá)式，用反應(yīng)能Q、介子質(zhì)量”》和真空中的光速，?表

示。并討論若叫。=。時(shí)，P點(diǎn)的分布范圍邊界的表達(dá)式。

己知：真空中的光速c=2.998xl()8nvs,質(zhì)子質(zhì)量=93&2720MeV/c)中性兀介子

質(zhì)量用小=134.9766MeV/c2,帶電/介子質(zhì)量何必=139.5702MeV/M。

48.(2020,全國(guó)?高三競(jìng)賽)據(jù)《苗子?有坐篇》記載，孔子觀于魯桓公之廟，有欹

(qT)器焉。欹蕭者，“虛則欹，中則正，滿則覆?！皯覓焓届テ鲗?shí)物如圖7a所示：欹

潴空時(shí)，器身傾斜：注水適中，器身正立：注水過滿，器身傾溫。圖7b為懸掛式欹器

的正視剖面圖。整個(gè)欹器的外輪廓是相對(duì)于Z軸的回轉(zhuǎn)面，7,軸為內(nèi)部管腔的對(duì)稱

軸，容器內(nèi)壁與外壁的半球殼半徑分別為4=尺和&=百代，兩半球的球心O和。'均

位于X軸上。牙軸和Z軸相距/=3穴八()，欹器圓柱部分的長(zhǎng)度/=2及，欹器的一對(duì)懸

掛點(diǎn)所在直線與XOZ平面交于。點(diǎn)，其坐標(biāo)為(％=-R/M),%=26R/j欹器

材質(zhì)均勻，其密度月為水的密度2的3倍。不計(jì)摩擦。

ZZ'

(1)求空欹涔自由懸掛平衡時(shí)Z軸與豎直方向的夾角。

(2)求空欹潞繞一對(duì)懸掛點(diǎn)所在軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其在平衡位置附近微振動(dòng)的角頻率(已

Q

知密度為。、半徑為R的勻質(zhì)球體繞過其質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/.=13R'；半徑為

R、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的勻質(zhì)硼柱體繞過其質(zhì)心且平行于圓柱底面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

,_npR2L(3R2+1})

-12"

(3)讓空欹器臼由懸掛，并開始往欹器內(nèi)緩慢注水，問欹湍內(nèi)水面到底部的距離h為多

少時(shí)器身正立？

(4)簡(jiǎn)述“滿則覆”的臨界條件。

49.(2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽)球磨機(jī)利用旋轉(zhuǎn)圓筒驅(qū)動(dòng)缽鋼球?qū)ΦV石顆粒進(jìn)行沖擊和剝

磨。如圖，某球磨機(jī)網(wǎng)］筒半在為R,繞其(水平)對(duì)稱軸勻速旋轉(zhuǎn)。球磨機(jī)內(nèi)裝有礦

石顆粒和一個(gè)質(zhì)量為的銃鋼小球，鋼球與筒壁之間摩擦系數(shù)足夠大。若圓筒轉(zhuǎn)速較

低，球磨機(jī)內(nèi)的鋼球達(dá)到一定高度后會(huì)因?yàn)槠浔旧淼闹亓垦貓A筒內(nèi)壁滑滾下落(被稱

為處于瀉落狀態(tài))，此時(shí)礦石被鋼球剝磨：若圓筒旋轉(zhuǎn)的角速度超過某臨界值，鋼球隨

著圓筒旋轉(zhuǎn)而不下落(被稱為處于離心狀態(tài))，球磨機(jī)研磨作用停止；若網(wǎng)筒的加速度

介于上述兩情形之間，鋼球沿圓筒內(nèi)壁上升至某一點(diǎn)后會(huì)脫離圓筒落下(被稱為處于

拋落狀態(tài))沖擊筒中的礦石粉，此時(shí)礦石被沖磨。電力加速度大小為g,求：

(I)能使球磨機(jī)正常工作的圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的范圍：

(2)能使鋼球?qū)ΦV石的沖擊作用最大時(shí)的圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)用速度以及鋼球?qū)ΦV石的最大沖擊

功。

(可利用不等式：設(shè)4.%均為正數(shù)，則

出必???“〃s

n

等號(hào)當(dāng)口僅當(dāng)?）=?,='-?=??時(shí)成立。）

50.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽》如圖，一個(gè)半徑為，?的均質(zhì)超球向上、下兩個(gè)固定的平行

硬板之間發(fā)射，與兩板接連碰撞3次后，兒乎返回原處：取*軸水平向右，）.軸豎宜

向下，z軸正向按右手螺旋確定。開始時(shí)球心速度的水平分量為%z方向的分量為

0,球繞過球心的軸（平行于二軸）的角速度大小為g”（外；＜%/，?）。不考慮重力。

（1）求超球與板碰撞第1次后球心速度的水平分量%和球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度外：；

（2）求超球與板碰撞第2次后球心速度的水平分量%和球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度?：：

（3）求超球與板碰撞第3次后球心速度的水平分量匕和球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度電:。

提示：已知一質(zhì)量為"?、半徑為，?的均質(zhì)球體繞過球心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J=2"M/5:超球是一種硬質(zhì)橡皮球體，它在硬板面上的反跳可視為是完全彈性的，

換言之，在接觸點(diǎn)無滑動(dòng)，它在接觸點(diǎn)受到靜摩擦力與正壓力時(shí)產(chǎn)生的切向形變和法

向形變可視為是彈性的，為簡(jiǎn)化起見，假設(shè)這兩種形變是彼此無關(guān)的（因而相應(yīng)的彈

力各自均為保守力）。

競(jìng)賽專題1力學(xué)

50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某同學(xué)經(jīng)過一段時(shí)間練習(xí)，掌握了控制籃球的技巧。如圖所

示，在距寓地面一定高度的地方，讓其轉(zhuǎn)動(dòng)起來，初速度為0釋放，和地面發(fā)生彈性

碰撞，即在豎宜方向速度大小不變。下面說法中正確的有（）

A.不考慮空氣影響，地面有摩擦，則碰撞前后相比動(dòng)能總量增加

B.不考慮空氣影響，地面有摩擦，摩擦系數(shù)為〃，則籃球彈起瞬間，速度方向和豎直

方向的夾角的最大可能值為arctan“

C.不考慮空氣影響，地面光滑，則籃球一定豎直彈起

D.考慮空氣影響,籃球的落點(diǎn)會(huì)比釋放點(diǎn)偏右

【答案】C

【解析】

【詳解】

A.動(dòng)能包括平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，摩擦力做功總是損失動(dòng)能.即加加的平動(dòng)動(dòng)能小

于減少的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤：

B.在碰撞過程中質(zhì)心速度反向，于是可知支持力沖量為2"“，，對(duì)應(yīng)摩擦力沖量的最大

值2“”“，，摩擦力提供的最大的水平速度為2/田（相對(duì)運(yùn)動(dòng)一在存在，也即要求球一開

始的轉(zhuǎn)動(dòng)速度足夠大），那么彈起之后，速度與豎直方向的夾角最大值應(yīng)該為arctan

（2“），選項(xiàng)B錯(cuò)誤：

C.不考慮空氣影響,地面光滑，則籃球落地時(shí)水平方向不受力，則籃球一定豎直彈

起,選項(xiàng)C正確：

D.考慮空氣影響，籃球順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則其落點(diǎn)會(huì)比釋放點(diǎn)偏左，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

故選C。

2.（2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽）有兩個(gè)同樣的梯子，其頂部用活頁連在一起，在兩梯中間某

相對(duì)的位置用一輕繩系住，便形成了人字梯。如圖所示，將兩個(gè)同樣的人字梯甲、乙

放置于水平地面上，甲梯用的繩更長(zhǎng)一些。當(dāng)某人先、后站在甲、乙兩梯頂端時(shí)，下

述說法正確的是（）

甲乙

A.甲梯所受地面的支持力一定較大

B.甲、乙兩梯所受地面的支持力一定相等

C.繩子被張緊時(shí)，中梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大

D.繩子被張緊時(shí).中梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】

本題考查現(xiàn)實(shí)模型的受力分析。將人字梯和人作為整體，甲、乙兩梯所受地而的支持

力等于兩梯和人的重力之和，故甲、乙兩梯所受地而的支持力相等，A錯(cuò)誤，B正

確：輕繩完全張緊時(shí)，對(duì)整體分析可知，人形梯水平方向上不受地面的摩擦力作用，

C、D錯(cuò)誤。

二、多選題

3.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，某同學(xué)經(jīng)過段時(shí)間練習(xí)，掌握了利用在瓶中裝不

同離度的水，在瓶口吹出不同頻率聲音，以演奏樂曲的技巧。以下說法中正確的有

（）

aaa

A.若瓶中水柱高度之比為2：3：4,則吹出來的聲音頻率之比也為2：3：4

B,吹出來聲音頻率主要由在空氣柱中聲波形成的駐波頻率來決定

C.空氣駐波在水面附近是波節(jié)，在瓶口附近是波腹

D.空氣柱長(zhǎng)度越長(zhǎng),發(fā)出的聲音頻率越高

【答案】BC

【解析】

【詳解】

AD.用嘴吹瓶子時(shí)是靠里面的空氣柱發(fā)聲，空氣柱越短振動(dòng)越快.發(fā)出的聲音頻率越

高，普調(diào)越高,與水柱高度無關(guān)，則AD錯(cuò)誤；

B.吹出來聲音頻率主要由在空氣柱中聲波形成的駐波頻率來決定，駐波頻率越高，則

吹出來的聲音頻率越高，選項(xiàng)B正確；

C.空氣駐波在水面附近是波節(jié)，在瓶口附近是波腹，選項(xiàng)C正確。

故選BC.

4.（2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽）甲、乙兩軍在同一半直公路上以相同速度30m/s同向行駛，

甲車在前，乙車在后，兩車距離100m。從/=0時(shí)起，甲、乙兩車的加速度隨時(shí)間變化

如圖所示。取運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍露f法正確的是（）

,^/(m-s'2)Ma/(m-s-2)

5---；----

9-0~~：369：tTs

tI

tI

-5----：

-10——

甲乙

A./=3s時(shí)刻兩東距離最近

B.，=9s時(shí)刻兩年距離為100m

C.3~9s內(nèi)乙車做勻減速運(yùn)動(dòng)

D.，=9s肘刻乙車速度為零

【答案】CD

【解析】

【詳解】

A.圖像的面枳表示速度變化量，因此在3s末甲車的速度變化量為

Ar=/〃]=-10x3=-30rrVs

可知此時(shí)甲乍的速度為零，中年的位移為

=—=—-45m

2a2()

乙車的位移為

.v,=17j=30x3=90?！?/p>

則此時(shí)兩車之間的距離為

Av=100-90+45=55m

此時(shí)乙車沒追趕上甲車,乙車速度比甲車速度大，因此距離進(jìn)一步緇小，A錯(cuò)誤;

BCD.甲車9s末的速度為