微分方程的物理背景

微分方程的物理背景—動力機(jī)制的數(shù)學(xué)模型

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)為什么要學(xué)習(xí)常微分方程？常微分方程是物質(zhì)運(yùn)動動力機(jī)制的數(shù)學(xué)表述，大量的客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動過

程（包括自然界和社會界）的數(shù)學(xué)模型是常微分方程。因此，建立數(shù)學(xué)模型以后運(yùn)用數(shù)學(xué)的技巧求解方程則能精確描述運(yùn)動過程。如何建立數(shù)學(xué)模型？從物理、力學(xué)等已確定的自然規(guī)律出發(fā)，考慮其主要因素、忽略次要因素，提煉出狀態(tài)變量，包括自變量和因變量（未知函數(shù)），然后運(yùn)用相應(yīng)規(guī)律和實(shí)際情況，構(gòu)造出自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即相應(yīng)的微分方程。1.質(zhì)點(diǎn)的彈性振動機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束F(t)yo已確定的自然規(guī)律：1.牛頓第二定律:F=ma

2.胡克(Hooke.R)定律:質(zhì)點(diǎn)受到的彈性回復(fù)力與位移成正比，即f2=-ky其它事實(shí)：質(zhì)點(diǎn)在介質(zhì)中運(yùn)動所受阻力與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度成正比，即f1=-rv.令質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的距離為y(t),介質(zhì)中運(yùn)動所受阻力為f1，彈性回復(fù)力為f2，所受外力為F=f3，各力的數(shù)學(xué)表示代入牛頓第二定律得：即得再令得規(guī)范式特例1：真空中落體運(yùn)動機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)r=k=0,即介質(zhì)阻尼與彈性約束為0，且F=mg,則微分方程為再若t=0時(shí)，v(0)=v0,y(0)=y0則得特例2：簡諧振動當(dāng)r=0，F(xiàn)=0,則微分方程為可以驗(yàn)證方程的解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.RLC交變電路CRU(t)L已確定的事實(shí)：1.歐姆定律：2.楞次定律:3.Kirchhoff定律:其它事實(shí)：令電流i=i(t)，電阻的電勢降uR=uR(t)，電感的電勢降uL=uL(t)，電容的電勢降uC=uC(t)，電容電荷Q=Q(t)，電路輸入電壓U=U(t),根據(jù)Kirchhoff定律有即得再令得規(guī)范式※這說明有阻尼的機(jī)械振動與RLC電路，其運(yùn)動變化機(jī)理，在數(shù)學(xué)上是統(tǒng)一的。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.冷卻與衰變例1.1一溫度為500℃的物體置于20℃的環(huán)境中，2分鐘后溫度降為400℃，問10分鐘后溫度降至多少？冷卻定律：物體溫度下降速率和物體與環(huán)境溫差成正比令溫度為T=T(t),將冷卻定律表示成數(shù)學(xué)形式即得其中k為比例常數(shù)，從而得t與T的微元關(guān)系兩邊積分得根據(jù)初始數(shù)據(jù)t=0,T=500以及t=2,T=400即得C=480,在表達(dá)式中代入t=10得第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.2放射性衰變已確定規(guī)律：放射性物質(zhì)的放射速率與質(zhì)量本身成正比令放射性物質(zhì)的質(zhì)量為m=m(t),將放射律表示成數(shù)學(xué)形式即得其中k為比例常數(shù)，從而得t與m的微元關(guān)系兩邊積分得令初始數(shù)據(jù)為t=t0,m=m0即得從而放射過程為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.人口增長（1）馬爾薩斯人口律：若人口的生存環(huán)境寬松，食物充裕，則其增長率與人口基數(shù)成正比。設(shè)某地區(qū)人口總數(shù)為N=N(t),由馬爾薩斯人口律得從而得t與N的微元關(guān)系兩邊積分得令初始數(shù)據(jù)t=t0,N=N0即得（2）Logistic人口律：在人口群體中，由于生存競爭而產(chǎn)生一個(gè)與人口平方成正比的負(fù)增長率。設(shè)某地區(qū)人口總數(shù)為N=N(t),由Logistic律得令a<<b,N(t0)=N0解得otNN05.溶液淡化例1.3.容器內(nèi)有100升濃度10﹪的鹽溶液，若以3升/秒的勻速往容器中注入凈水，同時(shí)又以2升/秒的速度將攪勻后的溶液排出，問過程開始后1分鐘時(shí)溶液的濃度？溶液淡化是一不均勻的過程，須用微元法來分析！設(shè)時(shí)刻為t時(shí)溶液的含鹽量為x=x(t),任選時(shí)間微元區(qū)間[t,t+dt],由于dt充分小，因此微元時(shí)間間隔內(nèi)過程可視為均勻的。根據(jù)微分的定義即得根據(jù)廚師數(shù)據(jù)x(0)=10,即得溶液淡化的數(shù)學(xué)模型：求解后得：，1分鐘后，濃度為6.二體照運(yùn)動窗（行慢星繞琴日運(yùn)鳴動）Ke擦pl飽er三律死（被慮稱為粗“太床空憲爬法”蹄）：（A）行熄星繞刃日運(yùn)像動軌賊道是舟橢圓晚，太萌陽是井軌道另的一舅焦點(diǎn)威上；（B）太蹄陽與披行星勝的連誤線（域經(jīng)線玻）在夏相同裳時(shí)間信間隔棗內(nèi)掃豎過相逼同的呼面積洽；（C）行撐星公菌轉(zhuǎn)周菊期的廢平方饒與它涼到太傘陽平暗均距晶離的嚼立方的成正胳比。精確稈解釋建立蹦行星烏繞日器運(yùn)動鋤的數(shù)虎學(xué)模通型萬有澆引力省定律江：行殊星受撓到太大陽的熊引力f與矢遙徑r的平確方成壩反比墻，與屑行星暖質(zhì)量m與太怒陽質(zhì)鋸量M的乘汁積成丸正比等，引滋力方當(dāng)向與粗矢徑蹄方向布相反列。運(yùn)用酬牛頓蕩第二垂定律塌，表翠示成傅數(shù)學(xué)壓表達(dá)消式得例：其中ur表示框單位們矢徑撿。xPo?令骨這里表示乞動點(diǎn)P的極涼坐標(biāo)此時(shí)灶矢徑脹為記表示驕?zhǔn)笍将F方向負(fù)的單井位向宜量，表示結(jié)與矢立徑正蘿交的蟻單位某矢量則有潔如下浩關(guān)系守式：令v=v(訊t)表示U(舍t(yī))的瞬稍時(shí)速贊度，送則有令a=a(線t)表示v(象t)的瞬世時(shí)加妥速度喉，則蒜有簡記則有代入贏牛頓變第二坦定律勢得由于租兩個(gè)誼單位柄向量村的正茶交性吉即得這就御是二廢體運(yùn)揚(yáng)動方起程——由極島坐標(biāo)祖表示芬的行也星繞按日運(yùn)續(xù)動的載微分?jǐn)胤匠瘫?。試建川立具綿有下牲列性屢質(zhì)的賴曲線響滿足鏈的微唇分方孔程。1，曲線上任意點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的徑向夾角為。2，曲懇線上照任意絡(luò)點(diǎn)的橋切線耽介于欺兩個(gè)殊坐標(biāo)母之間榆的部頌分等秀于定啄長a.3.容器憲內(nèi)有10抬0升濃鼻度20眼﹪