數(shù)學(xué)模型電子教案 m★漢魅HanMei-課程講義2

第五章微分方程模型5.1傳染病模型5.2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5.3

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5香煙過濾嘴的作用5.6人口預(yù)測(cè)和控制5.7煙霧的擴(kuò)散與消失5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)模型描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程分析對(duì)象特征的變化規(guī)律預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài)研究控制對(duì)象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程5.1傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程模型4SI雪R模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)模型4消去dtSI嫩R模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析si101D模型4SI懷R模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)溉減相軌公線的個(gè)方向P1s0imP1:s0>1準(zhǔn)/i(t)先升寨后降歷至0P2:s0<1小/i(t)單調(diào)貫降至何01/~閾值P3P4P2S0模型4SI獲R模型預(yù)防芳傳染宣病蔓旱延的西手段(日接喬觸率)牢衛(wèi)生虎水平鴉(日治愈憂率)蜘醫(yī)療萄水平騾傳染缺病不野蔓延悅的條飛件——s0<1汗/的估辰計(jì)降低s0提高r0提高日閾值1/降低(=/),群體免疫模型4SI劉R模型被傳胞染人耀數(shù)的柜估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高礎(chǔ)閾值1/降低被傳敏染人著數(shù)比服例xs0-1/=5.疏2經(jīng)濟(jì)哨增長(zhǎng)寨模型增加氣生產(chǎn)腫發(fā)展峽經(jīng)濟(jì)增加秒投資增加磨勞動(dòng)青力提高暮技術(shù)建立退產(chǎn)值陷與資磨金、攪勞動(dòng)夢(mèng)力之碰間的閑關(guān)系研究妻資金恭與勞晶動(dòng)力場(chǎng)的最盒佳分歡配，當(dāng)使投抽資效陪益最差大調(diào)節(jié)凱資金菠與勞傲動(dòng)力督的增決長(zhǎng)率餓，使孫經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)俘率)增長(zhǎng)1.道格吸拉斯(D早ou使gl艘as貍)生產(chǎn)唯函數(shù)產(chǎn)值Q(t)F為待那定函關(guān)數(shù)資金K(t)勞動(dòng)拆力L(t)技術(shù)f(t)=裙f0模型紹假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著y的增果加而型增長(zhǎng)洲，但位增長(zhǎng)花速度斷遞減yg(y)01.道格乞拉斯(D堵ou酒gl速as捕)生產(chǎn)步函數(shù)含義疲？Do曬ug嶺la堅(jiān)s生產(chǎn)喊函數(shù)QK~單位情資金時(shí)創(chuàng)造誰的產(chǎn)揚(yáng)值QL~單位際勞動(dòng)核力創(chuàng)磚造的橡產(chǎn)值~資金肥在產(chǎn)我值中驕的份救額1-~勞動(dòng)謎力在雹產(chǎn)值弓中的剝份額更一僑般的陵道格膊拉斯(D鋼ou許gl沖as風(fēng))生產(chǎn)袖函數(shù)1.悔D搭ou宮gl甲as生產(chǎn)愧函數(shù)w,r,K/吃L求資怠金與片勞動(dòng)祖力的錯(cuò)分配味比例K/關(guān)L(每個(gè)躁勞動(dòng)調(diào)力占念有的這資金)，使效迅益S最大資金避和勞憂動(dòng)力柜創(chuàng)造樣的效唇益資金艱來自岸貸款瞎，利降率r勞動(dòng)搖力付先工資w2）資辨金與計(jì)勞動(dòng)森力的傾最佳紡分配予（靜焦態(tài)模須型）3)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)鉗率)增長(zhǎng)與的條半件(動(dòng)態(tài)欲模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng),K(t),L(t)應(yīng)滿耐足的懶條件模型形假設(shè)投資蟻增長(zhǎng)引率與腔產(chǎn)值票成正充比(用一艇定比艘例擴(kuò)嫩大再啦生產(chǎn))勞動(dòng)奧力相尖對(duì)增濕長(zhǎng)率鳴為常裂數(shù)Be校rn鍛ou航ll卡i方程產(chǎn)值Q(t)增長(zhǎng)dQ/dt>03)經(jīng)濟(jì)可增長(zhǎng)險(xiǎn)的條陶件勞動(dòng)批力增把長(zhǎng)率騎小于法初始瓜投資層增長(zhǎng)傷率每個(gè)閘勞動(dòng)輝力的效產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng)dZ/dt>03)經(jīng)濟(jì)襯增長(zhǎng)神的條積件5.牢3正規(guī)美戰(zhàn)與更游擊陳戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)營(yíng)分類府：正健規(guī)戰(zhàn)滲爭(zhēng)，稱游擊柏戰(zhàn)爭(zhēng)冠，混想合戰(zhàn)梯爭(zhēng)只考音慮雙邊方兵名力多村少和傅戰(zhàn)斗雙力強(qiáng)翁弱兵力厘因戰(zhàn)虧斗及積非戰(zhàn)洽斗減灶員而外減少抽，因磚增援牽而增脈加戰(zhàn)斗視力與小射擊輪次數(shù)澤及命條中率嶄有關(guān)建模螺思路消和方巾法為孔用數(shù)雅學(xué)模濃型討辭論社甩會(huì)領(lǐng)秋域的飲實(shí)際禮問題癢提供扔了可倉(cāng)借鑒盾的示尾例第一民次世中界大丙戰(zhàn)La猶nc腔he博st高er提出預(yù)測(cè)蹤蝶戰(zhàn)役何結(jié)局爆的模脊型一般扮模型每方予戰(zhàn)斗財(cái)減員抹率取代決于因雙方戀的兵蕩力和戴戰(zhàn)斗坦力每方干非戰(zhàn)渾斗減逢員率砍與本怠方兵昌力成烤正比甲乙倒雙方籮的增灣援率慘為u(t),v(t)f,打g取決瓣于戰(zhàn)季爭(zhēng)類享型x(t)增~甲方足兵力講，y(t)買~乙方稠兵力模型勒假設(shè)模型正規(guī)駕戰(zhàn)爭(zhēng)摧模型甲方太戰(zhàn)斗退減員追率只幫取決落于乙嬌方的堆兵力踩和戰(zhàn)陰斗力雙方蜓均以鼻正規(guī)訊部隊(duì)已作戰(zhàn)忽略蓬非戰(zhàn)默斗減環(huán)員假設(shè)量沒有孔增援f(x,y)=ay,a~乙方甩每個(gè)撫士兵才的殺瘋傷率a=rypy,ry~射擊焦率，py~命中脂率0正規(guī)擾戰(zhàn)爭(zhēng)訴模型為判紐奉斷戰(zhàn)糞爭(zhēng)的險(xiǎn)結(jié)局瓜，不蕉求x(t),y(t)而在隆相平至面上嘴討論x與y的關(guān)東系平方鉗律叔模型乙方勝游擊藝戰(zhàn)爭(zhēng)若模型雙方繞都用幫游擊拉部隊(duì)探作戰(zhàn)甲方猾戰(zhàn)斗漁減員仰率還鳳隨著糕甲方某兵力蜂的增驚加而杏增加忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援f(x,y)=cx潑y,c~乙方龜每個(gè)愛士兵牢的殺守傷率c=rypyry~射擊搶率py~命中載率py=sry/sxsx~甲方活動(dòng)面積sry~乙方射擊有效面積0游擊姓戰(zhàn)爭(zhēng)禽模型線性晴律截模型0混合叫戰(zhàn)爭(zhēng)屠模型甲方晶為游祥擊部匙隊(duì)，陸乙方猜為正圍規(guī)部喝隊(duì)乙方旅必須10倍于擺甲方踐的兵等力設(shè)x0=1威00堤,rx/ry=1圍/2帆,px=0督.1份,sx=1貿(mào)(k太m2),sry=1藍(lán)(m2)5.刪4藥物予在體維內(nèi)的洽分布農(nóng)與排仗除藥物目進(jìn)入逮機(jī)體宅形成血藥祥濃度(單位政體積摧血液傾的藥璃物量)血藥挨濃度悼需?；璩衷谧艘欢蚍秶瑑?nèi)——給藥池方案遙設(shè)計(jì)藥物暖在體銹內(nèi)吸下收、簽分布輝和排繡除過凝程——藥物旗動(dòng)力精學(xué)建立房室更模型——藥物鞋動(dòng)力搬學(xué)的?；竞蟛襟E房室——機(jī)體喊的一移部分汽，藥揉物在尿一個(gè)恢房室禾內(nèi)均鳳勻分渾布(血藥寺濃度丟為常龜數(shù))，在加房室浴間按每一定脈規(guī)律慚轉(zhuǎn)移本節(jié)臨討論二室鐵模型——中心仰室(心、毒肺、敲腎等)和周哲邊室(四肢峰、肌音肉等)中心室周邊室給藥排除模型倍假設(shè)中心黃室(1短)和周違邊室(2踩),容積夢(mèng)不變藥物斥在房擾室間抹轉(zhuǎn)移邀速率單及向秒體外纖排除鉆速率皮，與臟該室正血藥湊濃度效成正茶比藥物近從體獨(dú)外進(jìn)挖入中殲心室向，在暗二室網(wǎng)間相胸互轉(zhuǎn)喬移,從中穗心室班排出創(chuàng)體外模型騾建立線性踩常系棚數(shù)非概齊次尼方程對(duì)應(yīng)慕齊次疾方程毀通解模型該建立幾種禍常見陳的給逝藥方那式1.快速豪靜脈賞注射t=0瞬時(shí)注射崗劑量D0的藥雨物進(jìn)偉入中趴心室,血藥轟濃度隸立即山為D0/V1給藥煩速率f0(t)和初賀始條列件2.恒速港靜脈冤滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)魯規(guī)律鉛趨于茂零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt￡￡吸收室中心室3.口服記或肌曬肉注妻射相當(dāng)?shù)鹩谒幒阄?劑量D0)先進(jìn)烘入吸血收室眨，吸未收后賣進(jìn)入崖中心頂室吸收牽室藥括量x0(t)參數(shù)炎估計(jì)各種撿給藥師方式翻下的c1(t),c2(t)取決彎于參針數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速診靜脈刺注射D0,在ti(i=1叔,2芹,n)測(cè)得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,由較小的用最小二乘法定B,參數(shù)賺估計(jì)進(jìn)入中心室的藥物全部排除過濾島嘴的僅作用遲與它扯的材貿(mào)料和額長(zhǎng)度解有什緩么關(guān)銀系人體駐吸入悄的毒制物量為與哪煉些因菠素有季關(guān)，蓋其中煎哪些央因素盆影響菠大，琴哪些丹因素料影響建小。模型北分析分析穗吸煙報(bào)時(shí)毒犁物進(jìn)館入人稀體的吳過程掛，建浪立吸系煙過半程的運(yùn)數(shù)學(xué)鋪模型美。設(shè)想感一個(gè)“機(jī)器斯人”在典胞型環(huán)冊(cè)境下腦吸煙炸，吸征煙方述式和蠢外部車環(huán)境拼認(rèn)為毀是不章變的核。問題5.捏5香煙矛過濾脖嘴的坑作用模型級(jí)假設(shè)定性墓分析1）l1~煙草很長(zhǎng)，l2~過濾大嘴長(zhǎng)雁，l鋪=度l1+l2，毒物挨量M均勻賞分布診，密振度w0=M/l12）點(diǎn)較燃處購(gòu)毒物抬隨煙京霧進(jìn)缺入空約氣和更沿香默煙穿婚行的來數(shù)量民比是a′:a,a′+a=13）未加點(diǎn)燃雅的煙猾草和頑過濾食嘴對(duì)價(jià)隨煙蜂霧穿抓行的丙毒物論的(單位彼時(shí)間)吸收漁率分憤別是b和4）煙端霧沿暈香煙叫穿行顯速度籌是常揉數(shù)v，香煙球燃燒功速度酬是常返數(shù)u，v待>>毒uQ~吸一驅(qū)支煙幫毒物壩進(jìn)入哀人體反總量模型協(xié)建立0t=0暖,x=0，點(diǎn)燃肥香煙q(x,護(hù)t)恢~毒物莖流量w(x,奪t)掩~毒物孔密度1)燥求q(x,0壩)=q(x)t時(shí)刻儀，香扛煙燃雞至x=ut1)繞求q(x,0竭)=q(x)2)假求q(l,t)3)求w(ut,t)4)計(jì)算Q結(jié)果政分析煙草為什豈么有拔作用?1）Q與a,疼M成正超比，aM是毒耽物集妻中在x=l處的師吸入行量2)~過濾嘴因素，,l2~負(fù)指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草四的吸才收作禮用b,期l1~線性作用帶過溉濾嘴不帶廉過濾載嘴結(jié)果胳分析4)與另撓一支今不帶洗過濾西嘴的葉香煙帳比較涌，w0,垮b,攔a及,裕v,膊l均相惰同，圖吸至x=奶l1扔掉提高-b與加際長(zhǎng)l2，效果桃相同5.天6人口蟲預(yù)測(cè)杯和控養(yǎng)制年齡飾分布正對(duì)于避人口辨預(yù)測(cè)勢(shì)的重拌要性只考凡慮自宿然出耕生與情死亡杠，不豆計(jì)遷鴿移人口起發(fā)展等方程人口嚴(yán)發(fā)展艙方程一階賀偏微碼分方衛(wèi)程人口位發(fā)展滴方程~已知轉(zhuǎn)函數(shù)頓（人勵(lì)口調(diào)糟查）~生育練率（千控制載人口橫手段參）0tr生育莊率的烏分解~總和分生育懷率h~生育繪模式0人口屬發(fā)展典方程檔和生尚育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密正反渴饋系聲統(tǒng)滯后品作用膝很大人口恒指數(shù)1）人壁口總遮數(shù)2）平糞均年季齡3）平帖均壽眾命t時(shí)刻鳳出生勉的人帳，死瓣亡率吹按(r,t)計(jì)算刻的平咱均存賣活時(shí)毒間4）老當(dāng)齡化餐指數(shù)控制對(duì)生育冤率控制N(t)不過縱大控制(t)不過宮高5.稅7煙霧顆的擴(kuò)服散與井消失現(xiàn)象夸和問題炮彈冒在空因中爆叔炸，賄煙霧恭向四悉周擴(kuò)狀散，燥形成探圓形痰不透疊光區(qū)谷域。不透馬光區(qū)挺域不蹈斷擴(kuò)目大，廉然后杏區(qū)域年邊界嫩逐漸曬明亮扶，區(qū)映域縮價(jià)小，制最后六煙霧老消失藍(lán)。建立反模型痕描述間煙霧交擴(kuò)散膜和消榆失過壟程，耐分析誓消失泥時(shí)間融與各莫因素促的關(guān)順系。問題拔分析無窮幟空間翠由瞬差時(shí)點(diǎn)番源導(dǎo)悟致的疾擴(kuò)散個(gè)過程啊，用芬二階怠偏微智分方微程描弊述煙尸霧濃液度的術(shù)變化統(tǒng)。觀察劣的煙盆霧消挎失與辱煙霧舒對(duì)光貌線的帝吸收扛，以破及儀皆器對(duì)夜明暗癢的靈膊敏程關(guān)度有斬關(guān)。模型河假設(shè)1）煙跌霧在惱無窮顏空間推擴(kuò)散聯(lián)，不暴受大搜地和莫風(fēng)的去影響宋；擴(kuò)艱散服助從熱奸傳導(dǎo)泰定律繡。2）光較線穿仆過煙慨霧時(shí)支光強(qiáng)社的減沸少與獄煙霧孤濃度拖成正瘡比；鉆無煙叮霧的趣大氣瘡不影允響光提強(qiáng)。3）穿燈過煙素霧進(jìn)陶入儀謙器的路光線繞只有劑明暗鄰之分蝕，明語暗界歐限由東儀器序靈敏深度決走定。模型紐奉建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律熱傳沉導(dǎo)定壘律：采單位葵時(shí)間舒通過渠單位濫法向陰面積園的流朗量與今濃度半梯度聽成正勵(lì)比曲面積分的奧氏公式1）煙霧濃度的變化規(guī)律初始脂條件Q~炮彈靠釋放廊的煙剃霧總役量~單位乳強(qiáng)度拍的點(diǎn)米源函調(diào)數(shù)對(duì)任驚意t,晶C的等冤值面簡(jiǎn)是球勉面x2+y2+z2=R2;RC僅當(dāng)t,對(duì)任征意點(diǎn)(x,吼y,拘z),C01）煙霧濃度的變化規(guī)律2）穿濕過煙演霧光損強(qiáng)的脾變化方規(guī)律光強(qiáng)彈的減百少與仔煙霧伯濃度定成正棕比3）儀氏器靈濃敏度羞與煙龜霧明適暗界奏限煙霧眉濃度省連續(xù)勵(lì)變化煙霧聽中光嶼強(qiáng)連秋續(xù)變介化儀器z-設(shè)光浙源在z=-,儀器鳴在z=,則